Connectedness of Super Efficient Point Sets for Set-Valued Vector Optimization Problems with Parameters

本文假设X，Y和Z均为Hausdorff局部凸的拓扑线性空间，Y^*为Y的拓扑对偶空间. N(0)为Y的零点邻域基. 设M⊂Y且M≠Ø，分别用int(M)，cl(M)，conv(M)，表示M的内部、闭包以及凸包. 由M生成的锥记为cone(M)={lm：l≥0，m∈M}.

设C⊂Y为非空闭凸点锥，且int(C)≠Ø(其中int(C)表示C的内部). C^*为C的拓扑对偶锥，记为

C^#为C的对偶锥C^*的拟内部，记为

非空凸子集B⊆C称为C的基，若C=cone(B)且0∉cl(B). 显然有：

(i) C^#⊂C^*；

(ii) 有基底的锥一定是点锥.

另外，以下结论也是成立的：

(i) C^#≠Ø⇔C有基；

(ii) int(C^*)≠Ø⇔C具有有界基.

定义1^[7]   设D⊂Y为非空子集. y^*∈D称为D关于C的有效点，记为y^*∈E(D，C)，如果(D-y^*)∩(-C)⊂C. 如果C为点锥，则y^*∈D为有效点⇔(y^*-D)∩C={0}⇔(y^*-C)∩D={y^*}.

定义2^[7]  设D⊂Y为非空子集. y^*∈D称为D关于C的超有效点，记为y^*∈SE(D，C)，设N(0)是Y的零点邻域基，若对∀V∈N(0)，都∃U∈N(0)，使得

注1  显然，超有效点必为有效点，即SE(D，C)⊂E(D，C). 反之不成立.

引理1^[3]   设D⊂Y为非空子集，C⊂Y是闭凸点锥，且C有有界基B，则

接下来，我们介绍一下集值映射的一些基本概念和结论.

定义3   设A⊂X为非空的凸子集，C⊂Y为凸锥，F：A→2^Y为集值映射：

(i) F称为C-凸的^[8]，如果∀x₁，x₂∈A，∀t∈[0, 1]，有

(ii) F称为C-类凸的^[9]，如果

注2   F：A→2^Y为C-类凸的⇔F(A)+C为凸集.

定义4^[10]   A⊆X称为弧连通的，如果∀x₁，x₂∈A，存在一个连续映射φ_x1，x2：[0, 1]→A，使得

定义5^[11]   设Ø≠A⊆X为弧连通集，集值映射F：A→2^Y称为C-弧连通的，如果∀t∈[0, 1]，∀x₁，x₂∈A，有

称F：A→2^Y为(-C)-弧连通的，如果∀t∈[0, 1]，∀x₁，x₂∈A，有

注3   C-弧连通的必为C-类凸的，反之不成立.

例1   设X=ℝ²，A₁={(0，0)，(0，1)，(1，0)}，C=ℝ₊²，F：A₁→2^Y定义为：

则F在A₁上是C-类凸的，但F不是C-弧连通的.

引理2^[12]   如果集值映射F：A→2^Y是C-弧连通的，则F(A)+C是凸集.

注4   由注1和引理2可知，C-弧连通的集值映射必为C-类凸的集值映射，则以下命题(引理3、引理4、推论1、引理5)中的F：A→2^Y为C-类凸集值映射，设定为C-弧连通的，命题依然成立.

引理3^[3]   设Ø≠A⊂X为子集，集值映射F：A→2^Y为C-类凸的，C具有有界基B，则

引理4^[3]   设Ø≠A⊂X为子集，集值映射F：A→2^Y为C-类凸的，C具有有界基B. 则y^*∈SE(F(A)，C)的充要条件是：∃h∈int(C^*)，使得

推论1^[3]   设Ø≠A⊂X为子集，集值映射F：A→2^Y为C-类凸的，C具有有界基B，则有

其中

引理5^[3]   设Ø≠A⊂X为子集，集值映射F：A→2^Y为C-类凸的，h∈int(C^*). 则

引理6^[13]   设X和Y均为Hausdorff拓扑空间，其中X是紧的，如果集值映射F：X→2^Y为上半连续的，且∀x∈X，F(x)是紧的，则F(X)必是紧的.

定义6^[14]   设A⊂X为任一非空子集，称集值映射F：A→2^Y在x₀∈A处均为上半连续的，如果对F(x₀)任意给定的邻域$\widetilde{V} \subset Y $，都存在x₀的邻域$\tilde U $，使得$F(\widetilde{U}) \subset \widetilde{V}, \forall x \in \widetilde{U} $.

称F在A上是上半连续的，如果F在A上每一点均是上半连续的.

引理7^[12]   称F：A⊂X→2^Y为上半连续集值映射，如果满足：

(i) A⊂X为连通集；

(ii) ∀x∈A，F(x)是非空连通集，则F(A)为连通集.

定义7^[15]   设X为拓扑线性空间. 集合A⊂X称为有界，如果它能被X中的每一个零元邻域吸收，即对于每一个V∈N(0)，存在一个l＞0，使得A⊂lV.

定义8^[15]   设X为拓扑线性空间，则在X上由X^*生成的F-拓扑称为弱拓扑，记为T_X^*或T_W. 相应的局部凸空间记为(X，T_X^*)，(X，T_W)或X_W.

若集合A关于弱拓扑有界，则称A为弱有界，或称为A⊂X_W有界.

引理8^[15]   (Banach-Mackey)设X为局部凸空间，则A⊂X有界当且仅当A⊂X_W有界.

引理9^[16]   设X₁，X₂，…，X_n是n≥1个弧连通空间. 则积空间X₁×X₂×…×X_n也是弧连通空间.

引理10^[17]   设X，Y和Z均是拓扑空间. 设$\widetilde{F}$：X→Y，$\widetilde{G}$：Y→Z均是集值映射.

(i) 如果$\widetilde{F}$和$\widetilde{G}$均是下半连续的，则$\widetilde{G} \circ \widetilde{F}$也是下半连续的.

(ii) 如果$\widetilde{F}$和$\widetilde{G}$均是上半连续的，则$\widetilde{G} \circ \widetilde{F}$也是上半连续的.

引理11^[18-19]   设X，Y均为Hausdorff拓扑线性空间，F：X→2^Y是集值映射，x₀∈X，F(x₀)是紧集，则F在x₀∈X处是上半连续的当且仅当对于X中的任意的网{x_α：α∈I}且x_α→x₀，Y中的任意的网{y_α：α∈I}且y_α∈F(x_α)，∀α∈I，均存在y₀∈F(x₀)和{y_α：α∈I}的一个子网{y_β：β∈Δ}，使得y_β→y₀.

设X，Y和Z均为Hausdorff局部凸的拓扑线性空间，E⊂X为非空子集，Λ⊂Z为非空子集，H：Λ→2^E是集值映射，含参数λ∈Λ的目标集值映射F：E×Λ→2^Y，且∀x∈E，∀λ∈Λ，F(x，λ)≠Ø，∀λ∈Λ，H(λ)≠Ø.

考虑以下含参数集值向量优化问题(PSVOP)：

定义9   设x^*∈H(λ)，y^*∈F(x^*，λ)称为F(H(λ)，λ)关于C的(PSVOP)中的含参超有效点，设N(0)是Y的零点邻域基，若对∀V∈N(0)，都∃U∈N(0)，使得

(PSVOP) 中的含参超有效点的全体记为SE(F(H(λ)，λ)，C).

命题1   设X，Y，Z均为Hausdorff局部凸的拓扑线性空间，E⊂X为非空的紧子集，且E为弧连通的，Λ⊂Z为非空的弧连通集，C⊂Y为闭凸点锥，且C具有有界基B. 如果同时满足下列条件：

(i) F：E×Λ→2^Y为上半连续的集值映射(其中Y上的拓扑是弱拓扑σ(Y，Y^*))；

(ii) F为C-弧连通的，且F在E×Λ上取弱紧值；

(iii) H：Λ→2^E为集值映射，且∀λ∈Λ，H(λ)为非空的弧连通紧子集.则SE(F(H(λ)，λ)，C)，∀λ∈Λ是非空的连通集.

证   若以下无特别说明，都假设任意取定λ∈Λ，F(x，λ)均定义在H(λ)上.

由于E为弧连通的，Λ为弧连通的，则由引理9可知，E×Λ也是弧连通的.

又因为含参数的目标集值映射F在E×Λ是C-弧连通的，且H(λ)×{λ}是弧连通的，故F在H(λ)×{λ}是C-弧连通的. 即F(x，λ)在H(λ)上是C-弧连通的. 由引理2可知

是凸集. 由注2知，F(x，λ)是H(λ)上的C-类凸的映射. 又因为C⊂Y是具有有界基B的凸锥，所以由推论1知

其中，PE(F(H(λ)，λ)，h)={y^*∈F(H(λ)，λ)|h(y^*)≤h(y)，∀y∈F(H(λ)，λ)}. 由于F(H(λ)，λ)+C是凸集，含参数的目标集值映射F：E×Λ→2^Y是上半连续的集值映射，故集值映射F：H(λ)×{λ}→2^Y也是上半连续的映射. 又因为F在E×Λ上取弱紧值，故F在H(λ)×{λ}上也取弱紧值. 由引理6知，F(H(λ)，λ)是拓扑空间σ(Y，Y^*)上的弱紧集. 即F(H(λ)，λ)是拓扑空间(Y，σ(Y，Y^*))上的紧集. 因此，任取h∈int(C^*)，则PE(F(H(λ)，λ)，h)≠Ø，∀λ∈Λ. 于是由推论1知，

又由引理3知，∀λ∈Λ，

下面证明SE(F(H(λ)，λ)，C)为连通集，证明过程分为3部分.

(I) 先证φ(h)是连通集.

首先定义集值映射

并令

对∀h∈int(C^*)，设

因为PE(F(H(λ)，λ)，h)≠Ø，由引理5可知

任取y₁，y₂∈PE(conv(F(H(λ)，λ))，h)，t∈(0，1)，则有

设y=ty₁+(1-t)y₂，因为conv(F(H(λ)，λ))是凸集，所以y∈conv(F(H(λ)，λ))，且对∀z∈conv(F(H(λ)，λ))，有

即y=ty₁+(1-t)y₂∈PE(conv(F(H(λ)，λ))，h). 因此PE(conv(F(H(λ)，λ))，h)为凸集，从而PE(conv(F(H(λ)，λ))，h)为连通集.

故φ(h)=PE(conv(F(H(λ)，λ))，h)也为连通集.

(II) 因为int(C^*)⊂Y^*为凸集，所以int(C^*)为连通集.

(III) 再证集值映射φ：int(C^*)→2^{conv(F(H(λ)，λ))}是上半连续的(其中int(C^*)上的拓扑为强拓扑β(Y^*，Y)，F(H(λ)，λ)上的拓扑为Y上的弱拓扑σ(Y，Y^*)).

否则的话，则∃h₀∈int(C^*)，使得φ在h₀∈int(C^*)处不是上半连续的. 因此，存在φ(h₀)的弱开邻域V⊂Y(关于σ(Y，Y^*))，以及网{h_α：α∈Δ}⊂int(C^*)，且使得$h_{a} \stackrel{\beta\left(Y^{*}, Y\right)}{\longrightarrow} h_{0} $，但

由于F(H(λ)，λ)是弱紧集，不失一般性，故可以假设网{y_α：α∈Δ}，使得

且y_α∈φ(h_α)，但是

又由于V是开集，因此y₀∉V.

由推论1和引理3可得，

因为y_α∈φ(h_α)，则有

设K：=F(H(λ)，λ)，由于K是弱紧的，因此，K是弱有界的. 再由引理8可知，K是Y中的有界集.

定义

由于K是有界集，则P_K为Y^*上的连续半范，$\forall \varepsilon>0, U:=\left\{h^{*}: P_{K}\left(h^{*}\right)<\frac{\varepsilon}{2}\right\}$是Y^*中关于强拓扑β(Y^*，Y)的一个零元邻域. 由于$h_{\alpha} \stackrel{\beta\left(Y^{*}, Y\right)}{\longrightarrow} h_{0}$，则∃α₀∈Δ，使得h_α-h₀∈U，α≥α₀.

从而对∀α≥α₀，有

因此，对∀y∈K，有

且有

另外，又由于$y_{\alpha} \stackrel{w}{\longrightarrow} y_{0}, h_{0} \in Y^{*}$，则对于上述的∀ε＞0，∃α₁∈Δ，使得

由(3)式和(4)式得

于是

对(2)式两边同时取极限，得

于是有y₀∈φ(h₀)⊆V. 又因为$y_{\alpha} \stackrel{w}{\longrightarrow} y_{0}$，V为弱开邻域，则∃α₂∈Δ，使得

这与(1)式矛盾，故所定义的集值映射φ在int(C^*)上是上半连续的.

综上，由引理7知，∪{φ(h)：h∈int(C^*)}是连通的. 即∪_h∈int(C^*)PE(conv(F(H(λ)，λ))，h)是连通的. 又由推论1和引理5可得

故SE(F(H(λ)，λ)，C)是非空的连通集.

定理1   设X，Y和Z均为Hausdorff局部凸的拓扑线性空间，E⊂X和Λ⊂Z均为非空的弧连通紧子集，C⊂Y为闭凸点锥，C具有有界基B. 如果同时满足下列条件：

(i) 集值映射H：Λ→2^E和F：E×Λ→2^Y均为连续的(其中Y上的拓扑为弱拓扑σ(Y，Y^*))；

(ii) H，F均为C-弧连通的，且对∀λ∈Λ，H(λ)为弧连通紧子集.

(iii) F在E×Λ上取弱紧值.

(iv) 对∀λ∈Λ，SE(F(H(λ)，λ)，C)=∪_h∈CΩPE(F(H(λ)，λ)，h)，其中C_Ω为int(C^*)中关于强拓扑β(Y^*，Y)的紧子集.

则∪_λ∈ΛSE(F(H(λ)，λ)，C)是非空的连通集.

证   定义集值映射

使得T(λ)=SE(F(H(λ)，λ)，C). 由命题1可知，对于∀λ∈Λ，T(λ)=SE(F(H(λ)，λ)，C)≠Ø，因此，∪_λ∈ΛSE(F(H(λ)，λ)，C)≠Ø.

下面将证明过程分为3步进行：

(I) 先证T(λ)是连通的.

由命题1知，对于∀λ∈Λ，SE(F(H(λ)，λ)，C)是连通的，因此

是连通的.

(II) 因为Λ是弧连通的，所以Λ是连通的.

(III) 再证T：Λ→2^Y在Λ上是上半连续的(Y上的拓扑为弱拓扑σ(Y，Y^*)).

否则的话，∃λ₀∈Λ，使得T在λ₀∈Λ处不是上半连续的，因此，存在T(λ₀)的弱开邻域V⊂Y(关于σ(Y，Y^*))以及网{λ_i：i∈I}⊂Λ(且有λ_i→λ₀)使得

即∃{y_i：i∈I}，使得

其中I为指标集. 由推论1和引理5知

又由于

故有

由于y_i∈T(λ_i)，则∃h_i∈C_Ω，使得

因为网{h_i}⊂C_Ω，且由C_Ω是紧的，不妨设h₀∈C_Ω，使得

从而有

由于H(λ)及F(x，λ)均是下半连续的，故由引理10知，F(H(λ)，λ)关于λ是下半连续的，从而，对于∀v₀∈F(H(λ₀)，λ₀)，∃v_i∈F(H(λ_i)，λ_i)，使得

又因为H(λ)及F(x，λ)均是上半连续的，所以由引理10可知，G：Λ→2^Y，G(λ)=F(H(λ)，λ)，∀λ∈Λ是上半连续的，又由命题1的证明过程可知，F(H(λ)，λ)是弱紧集，从而F(H(λ₀)，λ₀)为弱紧的. 因此，由引理11知，不失一般性，可假设∃y₀∈F(H(λ₀)，λ₀)，使得

记L：=∪_λ∈ΛF(H(λ)，λ). 因为G是上半连续的，且G(λ)=F(H(λ)，λ)是弱紧的，故L是弱紧的. 因此，L是弱有界的. 又由引理8可知，L是有界的.

这里定义

易知P_L为Y^*上的连续半范，∀ε＞0，U^*：={h：P_L(h)＜ε2}是Y^*中关于强拓扑β(Y^*，Y)的一个零元邻域，由$h_{i} \stackrel{\beta\left(Y^{*}, Y\right)}{\longrightarrow} h_{0}$知，∃i₀∈I，使得h_i-h₀∈U^*，∀i≥i₀. 从而有

即有

又因为$y_{i} \stackrel{w}{\longrightarrow} y_{0}$，h₀∈C_Ω，因此，对于上述的∀ε＞0，∃i₁∈I，使得

由(7)式和(8)式得

因此

同理可证$\mathop {\lim }\limits_i {h_i}\left( {{v_i}} \right) = {h_0}\left( {{v_0}} \right)$.

对(6)式两边同时取极限得

于是y₀∈φ(λ₀)⊆V，由$y_{i} \stackrel{w}{\longrightarrow} y_{0}$，V为弱开邻域，则∃i₂∈I，使得

这与(5)式矛盾. 故T在Λ上是上半连续的.

综上所述，由引理7知，∪_λ∈ΛSE(F(H(λ)，λ)，C)是连通的. 证毕.