Boundedness of Higher Order Commutators with Variable Kernels on the Weighted Morrey-Herz Spaces

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记S^n-1为$\left(\mathbb{R}^{n}\right) $(n≥2)中的单位球面，其上的Lebesgue测度用dσ=dσ(x′)表示. 定义在$\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} $上的函数Ω(x，z)∈L^∞$\left(\mathbb{R}^{n}\right) $×L^r(S^n-1)(r≥1)，满足

其中$z^{\prime}=\frac{z}{|z|}, \forall z \in \mathbb{R}^{n} $\{0}，且满足消失条件

并设

用$L_{\omega}^{q}\left(\mathbb{R}^{n}\right) $表示加权Lebesgue空间，即f∈$L_{\omega}^{q}\left(\mathbb{R}^{n}\right) $是指

设b∈BMO$\left(\mathbb{R}^{n}\right) $，对m∈$\mathbb{Z}_{+} $，带变量核的高阶交换子定义为

其中

文献[1]证明了带粗糙核的高阶交换子M_b，m，Ω当m=1时(简记为M_b，Ω)在齐次Herz空间上的有界性. 文献[2]得到了M_b，m，Ω在齐次Morrey-Herz空间上的有界性. 随后，文献[3]又证明了当b∈BMO$\left(\mathbb{R}^{n}\right) $，m∈$\mathbb{Z}_{+} $时，M_b，Ω是齐次Morrey-Herz空间上的有界算子. 文献[4]利用Sharp极大函数，证明了带变量核的Marcinkiewicz积分算子μ_Ω和某一类加权Lipschitz空间的函数b生成的交换子的加权有界性. 最近，文献[5]得到了变量核Marcinkiewicz积分与BMO函数生成的交换子在变指标Herz-Hardy空间上的有界性. 有关变量核积分算子及其交换子的相关结果详见文献[6-13].

受以上研究的启发，一个自然的问题就是：带变量核的高阶交换子M_b，m，Ω在齐次Morrey-Herz空间上是否也有界? 本文考虑了这一问题，并证明了带变量核的高阶交换子M_b，m，Ω在加权齐次Morrey-Herz空间上的有界性，推广了以往非变量核的结果.

首先给出一些定义与记号：

设k∈$\mathbb{Z} $，记

及C_k=B_k\B_k-1，并记χ_k=χ_Ck为集C_k的特征函数.

定义1^[14]  设α∈$\mathbb{R} $，0≤q＜∞，0≤p＜∞，ω₁，ω₂是非负权函数，定义加权齐次Morrey-Herz空间$M \dot{K}_{p, q}^{\alpha, \lambda}\left(\mathbb{R}^{n}\right) $为

其中

定理1  对某个r∈(0，∞]，设Ω∈L^∞$\left(\mathbb{R}^{n}\right) $×L^r(S^n-1)是0阶齐次函数且满足(2)式，设b∈BMO$\left(\mathbb{R}^{n}\right) $，带变量核的高阶交换子M_b，m，Ω由(4)式所定义. 如果p∈(0，∞]，q∈(1，∞)，ω₁∈A_m1，ω₂∈A₁和λ＞0，若α，λ，r和q满足以下条件之一：

(a) q＞r′，0＜λ≤$\frac{n}{q m_{1}} $且α∈ $\left(\frac{\lambda m_{1}-\frac{n}{q}}{\delta_{\omega_{1}}}, \frac{\frac{n}{r^{\prime}}-\frac{n}{q}+\frac{1}{r}}{m_{1}}\right) $；

(b) q＜r，α∈$\left(\frac{\frac{n}{r}-\frac{n}{q}-\frac{1}{r}+\lambda m_{1}}{\delta_{\omega_{1}}}, \frac{n\left(1-\frac{1}{q}\right)}{m_{1}}\right) $.

则M_b，m，Ω在$M \dot{K}_{p, q}^{\alpha, \lambda} $(ω₁，ω₂)上有界.

引理1^[15]  对某个r∈(1，∞]，假定Ω∈L^∞$\left(\mathbb{R}^{n}\right) $×L^r(S^n-1). 若a＞0，0＜d≤r和-n+$\frac{d(n-1)}{r} $＜β＜∞，则

引理2^[16]  如果ω∈A_p(1≤p＜∞)，则存在常数C＞0和δ_ω(0＜δ_ω＜1)，使得：当k＜j时，ω(B_k)/ω(B_j)≤C2^(k-j)nδ_ω；当k＞j时，ω(B_k)/ω(B_j)≤C2^(k-j)np.

定理1的证明  首先证明在条件(a)下，结论成立.

若f∈$ M \dot{K}_{p, q}^{\alpha, \lambda}$(ω₁，ω₂)，记

设

则

首先考察F₂. 由M_b，m，Ω在L_ω2^q$\left(\mathbb{R}^{n}\right) $上的有界性可得

关于F₁，注意到x∈C_k，y∈C_j，j≤k-2，因此|x-y|~|x|，且ω₂∈A₁. 于是由假设

再根据引理1以及文献[3]中定理1的证明方法，有

可选择适当的β，使得

所以，根据引理2，有

当0＜p≤1时，由$\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|\right)^{p} \leqslant \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|^{p} $可得

当1＜p≤∞时，由Hölder不等式，可得

最后来估计F₃. 注意到，当x∈C_k，y∈C_j，j≥k+2时，有|x-y|~|y|，类似于F₁的估计方法，我们有

于是

当0＜p≤1时，由引理2，可得

当1＜p≤∞时，由引理2，可得

类似地可证在条件(b)下结论也成立，至此，定理1得证.