The Convariogram of Axisymmetric Convex Domains and Applications

在n维欧氏空间$\mathbb{R}^{n}$中，设K为凸体(具有非空内点的紧凸集)，V_n为n维勒贝格测度，S^n-1为球心在原点的n-1维单位球面^[15-16]. S^n-1中的每一个元素u称为一个方向. 经过原点且与方向u平行的直线记为G_u. 垂直于方向u且通过原点的n-1维子空间记为u^⊥. 凸体K在u^⊥上的正交投影记为∏r_u^⊥K.

定义1^[13]  设G(x，u)为平行于方向u且与∏r_u^⊥K相交于点x处的直线，则称函数

为凸体K在$t \in \mathbb{R}^{1}$处沿方向u的定向弦长分布函数，其中$b_{K}(u)=V_{n-1}\left(\prod r_{u} \perp K\right)$.

定义2  在$\mathbb{R}^{n}$中，称函数$t_{\text {max }}(u)=\max \left\{V_{1}\left(G_{u} \cap K\right)\right\}$为凸体K沿方向u的最大弦长.

定义3^[17]  在$\mathbb{R}^{n}$中，称函数r(l，u)=min{l，t_max(u)}为凸体K的限弦函数.

定义4^[18]  在$\mathbb{R}^{n}$中，设$y \in u^{\perp}$，则称函数

为凸体K沿方向u的X-射线.

定义5^[18]  在$\mathbb{R}^{n}$中，称函数

为凸体K的限弦投影函数. 特别地，当t=0时，A_K(t，u)就是K在u^⊥上的正交投影；当t≥t_max(u)时，A_K(t，u)=0.

定义6^[13]  在$\mathbb{R}^{n}$中，称函数

为凸体K的弦协差^[1]，其中K+h={x+h，x∈K}. 特别地，C_K(0)=V_n(K).

注1  对于每一个$h \in \mathbb{R}^{n}$，都会存在一个方向u∈S^n-1以及常数l，使得h=(l，u). 为方便起见，记

其中l为h的长度. 特别地，当l=t_max(u)时，C_K(lu)=0.

性质1^[2]  设A_K(t，u)和C_K(lu)分别为$\mathbb{R}^{n}$中凸体K的限弦投影函数和弦协差，则有

特别地，当l=0时，由(1)式，可得

将(2)式代入(1)式，可得

注2  在$\mathbb{R}^{2}$中，方向u∈S¹可表示为(cos φ，sin φ)，φ∈[0，2π]，所以凸体$K \in \mathbb{R}^{2}$的限弦投影函数A_K(t，u)、弦协差C_K(lu)、定向弦长分布函数F(tu)分别可用A_K(t，φ)，C_K(lφ)，F(tφ)替代，因此(3)式可化为

其中F为凸体K的面积.

定理1  设Π是边长为a的正五边形域，当0≤l≤a时，其弦协差函数为

其中，C_Π1，C_Π2，C_Π3如(12)-(14)式所示.

定理2  设Π是边长为a的正五边形域，当0≤l≤a时，Π在t处沿方向u的定向弦长分布函数为

定理3  设Π是边长为a的正五边形域，N是长度为l(≤a)的无向小针，则小针N含于Π内的运动测度为

定理4  设Π是边长为a的正五边形域，N是长度为l(≤a)的无向小针，则小针N含于Π内的几何概率为

定理5  设Π是边长为a的正五边形域，N_u是长度为l(≤a)且方向为u=(cos φ，sin φ)的有向小针，则小针N_u含于Π内的几何概率为

设G为$\mathbb{R}^{2}$中的直线，其广义法式方程为

定义7^[17]  设K为$\mathbb{R}^{2}$中的凸体，对任意实数t，当0≤φ＜2π时，称函数

为凸体K的广义支持函数.

凸体的广义支持函数与限弦投影函数有以下关系^[17]：

设Π是边长为a的正五边形域，其边界为正五边形ABCDE，现以AB所在直线为y轴，线段AB的中点为原点O，对称轴OD为x轴建立直角坐标系. 由(9)式和(4)式可得弦协差为

下面证明定理1.

定理1的证明  Π的5条边所在的直线方程分别为：

其中

设直线G与5条边AE，ED，DC，CB，BA的交点坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，(x₃，y₃)，(x₄，y₄)，(x₅，y₅)，分别联立直线G的方程与5条边的方程，可解得

为了计算C_Π(tφ)，将区间[0，π]划分成$\left[0, \frac{\pi}{5}\right], \left[\frac{\pi}{5}, \frac{2 \pi}{5}\right], \left[\frac{2 \pi}{5}, \frac{3 \pi}{5}\right], \left[\frac{3 \pi}{5}, \frac{4 \pi}{5}\right], \left[\frac{4 \pi}{5}, \pi\right]$5个子区间.当$\varphi \in\left[0, \frac{\pi}{5}\right]$时，令

则有

因此，当0≤t≤a时，直线G与边ED，DC相交，且有

解此方程可得

因此弦协差为

当$\varphi \in\left[\frac{\pi}{5}, \frac{2 \pi}{5}\right]$时，令

则有

因此，当0≤t≤a时，直线G与边AE，ED相交，且有

解此方程可得

因此弦协差为

当$\varphi \in\left[\frac{2 \pi}{5}, \frac{3 \pi}{5}\right]$时，令

则有

因此，当0≤t≤a时，直线G与边AE，ED相交，同$\varphi \in\left[\frac{\pi}{5}, \frac{2 \pi}{5}\right]$的情形，有C_Π(lφ)=C_Π2.

当$\varphi \in\left[\frac{3 \pi}{5}, \frac{4 \pi}{5}\right]$时，令

则有

因此，当0≤t≤a时，直线G与边BA，AE相交，且有y₅-y₁=t cos φ，解此方程可得

因此弦协差为

当$\varphi \in\left[\frac{4 \pi}{5}, \pi\right]$时，令

则有

因此，当0≤t≤a时，直线G与边BA，AE相交，同$\varphi \in\left[\frac{3 \pi}{5}, \frac{4 \pi}{5}\right]$的情形，有C_Π(lφ)=C_Π3.

综上所述，当t∈[0，a]时，正五边形域Π的弦协差为

引理1^[12]  设K为$\mathbb{R}^{n}$中的凸体，对于每一个方向u∈S^n-1，当t≥0时，其弦协差C_K(tu)关于变量t可微，且满足

特别地，当t=0时，有

引理2^[14]  设K为$\mathbb{R}^{n}$中的凸体，L是长度为l的线段，则L含于K内的运动测度为

其中O_i表示i维单位球面Sⁱ的面积.

引理3^[13]  设K为$\mathbb{R}^{n}$中的凸体，L是长度为l的线段，则L与凸体K相交的运动测度为

其中∂K表示凸体K的边界.

引理4^[11]  设K为$\mathbb{R}^{n}$中的凸体，L_u是长度为l且方向为u的有向线段，则L_u含于凸体K内的概率为

定理2的证明  由(15)式可得凸体K在t点处沿方向u的定向分布函数为

因此正五边形域Π的定向弦长分布函数可表示为

由(11)式可得

由(16)式可得

将(21)-(22)式代入(20)式，(6)式得证.

定理3的证明  由限弦函数的定义可得，当l≤t_max(u)时，r(l，u)=l. 因此(3)式可表示为

当l≥t_max(u)时，r(l，u)=t_max(u)，因此(3)式可表示为

综上所述，凸体K的弦协差可表示为

将(23)式代入(17)式，得

在(24)式中，取n=2，可得长度为l的小针N含于正五边形域Π内的运动测度为

将(12)-(14)式代入(25)式，(7)式得证.

定理4的证明  长度为l(≤a)的无向小针N含于正五边形域Π内的几何概率为

在引理3中，取n=2，则长度为l(≤a)的无向小针N与正五边形域Π相交的运动测度为

将(7)式、(27)式代入(26)式，(8)式得证. 证毕.

定理5的证明  在引理4中，取n=2，则长度为l(≤a)且方向为u的有向小针N_u含于Π内的几何概率为

将(12)-(14)式代入(28)式，(9)式得证.

本文以正五边形域为例，讨论了轴对称凸域的弦协差及其应用，其他轴对称凸域(如等腰梯形域)可类似讨论. 首先详细地给出了正五边形域的广义支持函数的求解过程，并利用这个函数，给出当l≤a时正五边形域的弦协差的具体解析式，增加了能够求解弦协差解析式的2维凸域的种类. 接着，利用弦协差得到小针含于正五边形域内的运动测度. 在此基础上，分别计算了无向小针、有向小针含于正五边形域内的几何概率. 虽然以上结果讨论的均是当小针长度不超过正五边形边长时的情形，但却提供了一种计算方法，其他情形都可类似讨论.

另外，利用定理3中的结果，可进一步将Buffon投针问题进行推广，求出小针与特殊网格相遇的概率. 虽然正五边形不能铺满整个平面，无法组成Buffon网格，但是添加一个边长与之相等的菱形，却可以铺满整个平面. 因此，利用定理3所得的运动测度，可进一步研究小针与此新型网格相交的概率.