Super-Biderivations and Super-Commuting Maps on a Class of Deformative Super W-Algebras

在本文中，$\mathbb{Z}$表示整数集，$\mathbb{C}$表示复数域，所有的模(向量空间)都定义在$\mathbb{C}$上.

令L是结合代数，若映射ψ：L→L满足ψ(x)x = xψ(x)(∀x∈L)，则称ψ是交换的.结合代数上的交换映射理论有较长的历史，具有丰富的结果，应用于如李代数等许多领域.记

李代数上的交换映射ψ也可定义为[ψ(x)，x] = 0(∀x∈L)^[1-2].将交换映射推广到李超代数上，分成标准和非标准的^[3-4].如超Virasoro代数上的所有线性超交换映射是标准的^[3].

在研究顶点算子代数时产生的W-代数W(2，2)，在物理理论以及数学的许多领域起重要作用^[5]，其作为复数域上的向量空间，有基$\left\{L_{m}, I_{m} | m \in \mathbb{Z}\right\}$，并满足如下李括号：

已有许多关于W(2，2)的结构与表示的研究成果^[5-10].形变超W-代数W_t^s(2，2)^[11](下面简记为$\widetilde{W}$)的偶部分是W(2，2).$\widetilde{W}$是复数域上的向量空间，其基$\left\{L_{m}, I_{m}, G_{p}, H_{p} | m \in \mathbb{Z}, p \in s+\mathbb{Z}\right\}$满足如下关系式(未出现的为0)：

其中s = 0，$\frac{1}{2}, t \in \mathbb{C}$.

双导子是研究结合代数或李代数上交换映射的有效工具^[12-13].对于结合超代数和李超代数，超双导子起同样重要的作用^[3-4,14].超双导子分为内导子和非内导子，如超Virasoro代数上的所有超双导子是超双内导子^[3].注意到对L中的齐次元x，y，有|φ(x，y)| = |x|+|y|.

本文考虑$\widetilde{W}$上的超双导子和超交换映射.证明$\widetilde{W}$上的超斜对称超双导子存在非内导子.基于此结果，得到此代数上的线性超交换映射是非标准的.这个结果有别于文献[3,14].

引理1  $\forall L_{m}, L_{n} \in \widetilde{W}, m, n \in \mathbb{Z}$，存在λ₁，λ₂∈$\mathbb{C}$，使得

证 因为|φ(L_m，L_n)| = |L_m|+|L_n| = 0，所以可设

其中$a_{a}^{(1)}\in \mathbb{C}, b_{\beta }^{(1)}\in \mathbb{C}$.

当m = n时，[L_m，L_n] = 0，由文献[3]中引理2.2得φ(L_m，L_n)∈Z($\widetilde{W}$) = 0.下设m≠n，由文献[3]中引理2.2有

因此

从而：

所以当α≠m+n时，a_α⁽¹⁾ = 0；当β≠m+n时，b_β⁽¹⁾ = 0.故

由文献[3]中引理2.1有

可得

由k的任意性，从而：

因此：

分别令a₁⁽¹⁾ = λ₁，b₁⁽¹⁾ = λ₂，引理1得证.

引理2  $\forall L_{m}, I_{n} \in \widetilde{W}, m, n \in \mathbb{Z}$，则$\varphi\left(L_{m}, I_{n}\right) = \lambda_{1}(m-n) I_{m+n} = \lambda_{1}\left[L_{m}, I_{n}\right]$.

证  因为|φ(L_m，I_n)| = |L_m|+|I_n| = 0，所以可设

其中$a_{a}^{(2)}\in \mathbb{C}, b_{\beta }^{(2)}\in \mathbb{C}$.

当m = n时，[L_m，I_n] = 0，从而φ(L_m，I_n)∈Z($\widetilde{W}$) = 0.下设m≠n，由

因此

从而当α≠m+n时，a_α⁽²⁾ = 0.故$\varphi\left(L_{m}, I_{n}\right) = a_{m+n}^{(2)} L_{m+n}+\sum\limits_{\beta \in \mathbb{Z}} b_{\beta}^{(2)} I_{\beta}$.

又由

可得

因此a_m+n⁽²⁾ = 0，且当β≠m+n时，b_β⁽²⁾ = 0.由k的任意性，从而b_m+n⁽²⁾ = λ₁(m－n).引理2得证.

引理3  $\forall G_{r}, G_{s} \in \widetilde{W}$，r，s∈$\mathbb{Z}$或$r, s \in \frac{1}{2}+\mathbb{Z}$，则$\varphi\left(G_{r}, G_{s}\right) = \lambda_{1} I_{r+s} = \lambda_{1}\left[G_{r}, G_{s}\right]$.

证  因为|φ(G_r，G_s)| = |G_r|+|G_s| = 0，所以可设

其中$a_{a}^{(3)}\in \mathbb{C}, b_{\beta }^{(3)}\in \mathbb{C}$.由[φ(G_r，G_s)，[G_r，G_s]] = 0，因此

从而当α≠r+s时，a_α⁽³⁾ = 0.故$\varphi\left(G_{r}, G_{s}\right) = a_{r+s}^{(3)} L_{r+s}+\sum\limits_{\beta \in \mathbb{Z}} b_{\beta}^{(2)} I_{\beta}$.

又由

可得

因此a_r+s⁽³⁾ = 0，且当β≠r+s时，b_β⁽³⁾ = 0.由k的任意性，从而b_r+s⁽³⁾ = λ₁.所以φ(G_r，G_s) = λ₁I_r+s.

引理4  $\forall L_{m}, H_{p} \in \widetilde{W}, m \in \mathbb{Z}, p \in \mathbb{Z}$或$p \in \frac{1}{2}+\mathbb{Z}$，则$\varphi\left(L_{m}, H_{p}\right) = \lambda_{1}\left(\frac{m}{2}-p\right) H_{m+p} = \lambda_{1}\left[L_{m}, H_{\rho}\right]$.

证  因为|φ(L_m，H_p)| = |L_m|+|H_p| = 1，所以可设

其中$a_{a}^{(4)}\in \mathbb{C}, b_{\beta }^{(4)}\in \mathbb{C}$.

当ε = 0时，由

可得

因此a_α⁽⁴⁾ = 0，且当β≠m+p时，b_β⁽⁴⁾ = 0，$b_{m+p}^{(4)} = \lambda_{1}\left(\frac{m}{2}-p\right)$.所以

当ε = 1时，由

可得

因此a_α⁽⁴⁾ = 0，且当β≠m+p时，b_β⁽⁴⁾ = 0，$b_{m+p}^{(4)} = \lambda_{1}\left(\frac{m}{2}-p\right)$.所以

引理5  $\forall L_{m}, G_{r} \in \widetilde{W}, m \in \mathbb{Z}, r \in \mathbb{Z}$或$r \in \frac{1}{2}+\mathbb{Z}$，则

证  因为|φ(L_m，G_r)| = |L_m|+|G_r| = 1，所以可设

其中$a_{a}^{(5)}\in \mathbb{C}, b_{\beta }^{(5)}\in \mathbb{C}$.

当ε = 0时，由

可得

所以：

因此当α≠m+r时，$a_{\alpha}^{(5)} = 0, a_{m+r}^{(5)} = \lambda_{1}\left(\frac{m}{2}-r\right)$.代入(1)式，则当β≠m+r时，b_β⁽⁵⁾ = 0，且

即$b_{m+r}^{(5)} = \lambda_{2}(m-2 r)+\lambda_{1} t(m+1)$.所以

当ε = 1时，由

可得

所以：

因此当α≠m+r时，$a_{\alpha}^{(5)} = 0, a_{m+r}^{(5)} = \lambda_{1}\left(\frac{m}{2}-r\right)$.代入(3)式，则当β≠m+r时，b_β⁽⁵⁾ = 0，且

即$b_{m+r}^{(5)} = \lambda_{2}(m-2 r)+\lambda_{1} t(m+1)$.所以

引理6  $\forall I_{m}, G_{r} \in \widetilde{W}, m \in \mathbb{Z}, r \in \mathbb{Z}$或$r \in \frac{1}{2}+\mathbb{Z}$，则$\varphi\left(I_{m}, G_{r}\right) = \lambda_{1}(m-2 r) H_{m+r} = \lambda_{1}\left[I_{m}, G_{r}\right]$.

证明过程类似于引理4.

定理1  如果φ是$\widetilde{W}$上的超斜对称超双导子，则φ有如下形式：

其中λ₁，λ₂∈$\mathbb{C}$，φ₀是上的双线性映射.

证  构造$\widetilde{W}$上的双线性映射φ₀，满足如下条件：

其中$m, n \in \mathbb{Z}, r \in \frac{\varepsilon}{2}+\mathbb{Z}, \varepsilon = 0, 1, (x, y)$是除了(L_m，L_n)和(L_m，G_r)的其它基对.

易证φ₀是$\widetilde{W}$上的非内导子.若[x，y] = 0，则由文献[3]的引理2.2及φ₀的定义可得结论.若[x，y]≠0，则由引理1-6，可得结论.

定理2 设ψ是$\widetilde{W}$上的超交换映射，则ψ有如下形式

其中λ∈$\mathbb{C}$，ψ₀是$\widetilde{W}$上的线性映射.从而$\widetilde{W}$上的线性超交换映射是非标准的.

证 设ψ是$\widetilde{W}$上的线性超交换映射.定义φ：$\varphi : G \times G \longrightarrow G, \varphi(x, y) \longmapsto[\psi(x), y](x, y \in G)$.注意到φ保持G上的Z₂-阶，而且

即φ相对第二个元素是超导子.因为ψ是线性超交换映射，所以[ψ(x)，y] = (－1)^|x||y|[x，ψ(y)]，因此φ相对第一个元素也是超导子.所以φ是$\widetilde{W}$上的超双导子.又由φ的定义，它是超斜对称的.这样，φ是$\widetilde{W}$上的超斜对称的超双导子.由定理1，存在λ₁，λ₂∈$\mathbb{C}$，使得

由φ的定义，因此

引入$\widetilde{W}$上的辅助线性映射ψ₀，满足如下条件：

其中m∈$\mathbb{Z}$，x是异于L_m的基.从而

由(4)式有

因为$\widetilde{W}$无中心，所以

进一步地，在(5)式中取x = G_r，由[ψ(G_r)，G_r] = 0，可得λ₁ = 0.记λ₂为λ，从而定理2得证.