Multiple Solutions for a Class of Kirchhoff Type Equation Involving Neumann Boundary Condition

考虑如下带Neumann边界条件的Kirchhoff型方程：

其中：$\Omega \subset \mathbb{R}^{N} $是有界光滑区域；n为外法向的单位向量；b>0，1 < q < 2，λ>0为参数；β(x)∈L^s(Ω)，$ s>\frac{N}{2} ; f : \overline{\Omega} \times \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$满足Carathéodory条件.

当b=0时，方程(1)为一类带Neumann边界条件的半线性椭圆方程，文献[1]利用临界点理论和Morse理论获得了在λ=0的情形下该类方程非平凡解的多重性，文献[2]利用变分原理、截断和扰动技术及临界群理论获得了在λ>0的情形下该类方程的多重解.

当β(x)≡0时，方程(1)为一类经典的Kirchhoff型方程，文献[3]利用山路引理和极小化理论获得了该方程至少存在3个非平凡解，文献[4]应用极小极大原理研究了该类方程在λ=0时的多重变号解.关于Dirichlet边值条件，许多学者也获得了该类方程非平凡解的存在性和多重性(见文献[5-10]).

记：

定义τ：$H^{1}(\Omega) \longrightarrow \mathbb{R} $，且对$ \forall u \in H^{1}(\Omega)$，有

显然，$\tau \in C^{1}\left(H^{1}(\Omega), \mathbb{R}\right) $.

由文献[2]知，对$ \forall u \in H^{1}(\Omega)$，存在$\hat{c} \in(0, 1), \gamma>0 $，使得

由文献[11]知，方程(1)对应的特征值序列为$\left\{\hat{\lambda}_{k}\right\}_{k \geqslant 1} $，且当k→+∞时，$ \hat{\lambda}_{k} \rightarrow+\infty$.特别地，

记$ \hat{u}_{1}$是$ \hat{\lambda}_{1}$对应的满足且正的特征函数，$ \left\|\hat{u}_{1}\right\|_{2}=1$.方程(1)对应的泛函为

其中

显然，$ I_{\lambda} \in C^{1}\left(H^{1}(\Omega), \mathbb{R}\right)$，且对$\forall \varphi \in H^{1}(\Omega) $，有

设$ f : \overline{\Omega} \times \mathbb{R}^{1} \longrightarrow \mathbb{R}^{1}$是Carathéodory函数，对$ \forall x \in \Omega, f(x, 0)=0$.进一步假设：

(F₀) $\beta(x) \in L^{s}(\Omega), s>\frac{N}{2} $；

(F₁) 对$ \forall(x, t) \in \Omega \times \mathbb{R}$，存在$a(x) \in L^{\infty}(\Omega)_{+} $，使得

(F₂) 存在v(x)∈L^∞(Ω)满足$ $，且∀x∈Ω，

(F₃) 存在η₀，$\hat{\eta}_{0} \in L^{\infty}(\Omega) $，使得$ \hat{\lambda}_{1} \leqslant \eta_{0}(x)$在Ω上几乎处处成立，$ \eta_{0}(x) \neq \hat{\lambda}_{1}$，且对∀x∈Ω，有

引理1^[11]   假设v(x)∈L^∞(Ω)，使得$ v(x) \leqslant \hat{\lambda}_{1}$在Ω上几乎处处成立，且$ v(x) \neq \hat{\lambda}_{1}$，则存在c₀>0，使得对∀u∈H¹(Ω)，有

引理2   假设(F₀)，(F₁)，(F₂)成立，则当λ>0时，泛函I_λ是强制的.

证   由(F₁)和(F₂)知，对∀ε>0，存在c_ε>0，使得对$ \forall(x, u) \in \Omega \times \mathbb{R}$，有

由(3)式和(4)式知，对∀u∈H¹(Ω)，有

由引理1及H¹(Ω)中范数的性质，有

取ε∈(0，c₀)，可得当‖u‖→+∞时，I_λ(u)→+∞.故I_λ是强制的.

引理3   假设(F₀)，(F₁)成立，则当λ>0时，泛函I_λ在H¹(Ω)中满足(PS)条件.

证   对任一实数c，令{u_n}为H¹(Ω)中的(PS)_c序列，且当n→∞时，

由引理2知，{u_n}在H¹(Ω)中有界.因此，存在{u_n}的子列(仍记为{u_n})与u∈H¹(Ω)，使得{u_n}在H¹(Ω)中弱收敛于u，在L²(Ω)中收敛于u，且在Ω上几乎处处收敛于u.由(2)-(5)式知

由(F₁)和Hölder不等式知

由{u_n}在L²(Ω)中收敛于u知，当n→∞时，‖u_n－u‖₂→0.因此，当n→∞时，有：

由(5)式知，当n→∞时，有

因为{u_n}在H¹(Ω)中弱收敛于u，且{u_n}有界，所以当n→∞时，有

由(5)-(9)式知，当n→∞时，‖u_n－u‖→0.故I_λ在H¹(Ω)中满足(PS)条件.

引理4   假设(F₀)，(F₁)，(F₃)成立，则存在λ₀>0，t₁>0，使得当λ∈(0，λ₀)时，$I_{\lambda}\left(t_{1} \hat{u}_{1}\right)<0 $.

证   由(F₁)，(F₃)知，对∀ε>0，存在c₁>0，r>2，使得对$ \forall(x, u) \in \Omega \times \mathbb{R}$，有

当t≠0时，有

由$\hat{u}_{1}>0 $，(F₃)和H¹(Ω)中范数的性质知

取ε∈(0，ε^*)，则存在c₂，c₃>0，使得

由r>2知，存在λ₀>0，t₁>0，使得当λ∈(0，λ₀)时，$I_{\lambda}\left(t_{1} \hat{u}_{1}\right)<0 $.

引理5   假设(F₀)，(F₁)，(F₃)成立，则当λ>0时，u=0是I_λ的局部极小点.

证   由(F₁)，(F₃)知，存在c₄>0，使得对$ \forall(x, u) \in \Omega \times \mathbb{R}$，有

对∀u∈H¹(Ω)，有

其中$ c_{5}=c_{4}+\frac{\gamma}{2}>0$.当$ \frac{\lambda u^{\sigma-2}}{q} \geqslant c_{5}$，即$ u \leqslant\left(\frac{\lambda}{q c_{5}}\right)^{\frac{1}{2-q}}$时，有

所以u=0是I_λ在C¹(Ω)中的局部极小点.由文献[12]知，u=0是I_λ在H¹(Ω)中的局部极小点.

定理1   假设(F₀)－(F₃)成立，则存在λ₀>0，使得当λ∈(0，λ₀)时，方程(1)在H¹(Ω)中至少有两个非平凡解.

证   由引理2知泛函I_λ是强制的.因此，利用Sobolev嵌入定理及范数的弱下半连续性知I_λ是弱下半连续的.由Weierstrass定理，存在u₀∈H¹(Ω)，使得

由引理4有$ I_{\lambda}\left(t_{1} \hat{u}_{1}\right)<0$，所以I_λ(u₀) < 0=I_λ(0).因此，u₀≠0.由引理5知，存在足够小的ρ∈(0，1)，使得

由引理4和(10)式知，I_λ满足山路引理条件.所以存在$ \hat{u} \in H^{1}(\Omega)$，使得：

由(10)式和(11)式知，$ \hat{u} \notin\left\{0, u_{0}\right\}$.因此，方程(1)在H¹(Ω)中至少存在两个非平凡解.