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近年来，在Banach格及其算子理论的研究中，算子所在空间的性质和算子本身的性质的讨论成为热点.文献[1]提出了弱*Dunford-Pettis算子的定义，并探究了弱*Dunford-Pettis算子与序极限算子、极限算子间的相互关系.文献[2]在研究非紧算子的测度时，提出无界收敛性可以作为研究非紧算子测度的工具.文献[3]研究了无界范数收敛的性质，并探究了无界范数收敛与其它收敛的关系.文献[4]提出了无界绝对弱收敛的定义，并探究了无界绝对弱收敛和弱收敛之间的关系.文献[5]提出了无界绝对弱收敛的Dunford-Pettis算子，简称uaw-Dunford-Pettis算子.
本文结合无界绝对弱收敛性和弱*Dunford-Pettis算子的概念，提出一类定义在Banach格上的新算子——无界绝对弱收敛的弱*Dunford-Pettis算子，简称uaw-w*Dunford-Pettis算子.通过构造不交列，探究uaw-w*Dunford-Pettis算子的等价刻画和控制性，并获得相关推论.最后，研究该算子与相关算子之间的关系.
文中算子T：E→F代表全体有界线性算子，E，F表示Banach格，并用E′和F′分别表示E和F的共轭空间，算子T：E→F的共轭算子为T′：F′→E′.算子T与其共轭算子之间满足如下关系：
其中x∈E，f∈F′.
在赋范空间X中，{xα}⊂X，如果对任意的x′∈X′(X的共轭空间记为X′)，有x′(xα)→x′(x)，那么称xα弱收敛到x，记作
${x_\alpha }\mathop \to \limits^w x$ ；同理，{x′α}⊂X′，如果对任意的x∈X，有x′α(x)→x′(x)，则称x′α弱*收敛到x′，记作$x_\alpha ^\prime \mathop \to \limits^{{\mathit{w}^*}} {x^\prime }$ [6]. {xα}⊂E，如果对任意的μ∈E+，有$\left({\left| {{x_a} - x} \right| \wedge \mu } \right)\mathop \to \limits^w 0$ ，则称xα无界绝对弱收敛到x，记作$x_{\alpha} \stackrel{u a w}{\longrightarrow} x$ [4]. Banach格E具有弱序列连续格运算是指：对E中任意的弱收敛到0的序列{xn}，都有{|xn|}弱收敛到0. Banach格E′具有弱*序列连续格运算是指：对E′中任意弱*收敛到0的序列{fn}，都有{|fn|}弱*收敛到0[6].
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定义1 设E，F是Banach格，算子T：E→F是从E到F的有界线性算子.如果对E中任意的范数有界的无界绝对弱收敛到0的序列{xn}和F′中任意的弱*收敛到0的序列{fn}，有fn(T(xn))→0成立，则称T为无界绝对弱收敛的弱*Dunford-Pettis算子，简称uaw-w*Dunford-Pettis算子.
下面通过构造不交列，给出uaw-w*Dunford-Pettis算子的等价刻画.
定理1 设T：E→F是从Banach格E到Banach格F的正算子，若F′具有弱*序列连续格运算，则下列结论等价：
(ⅰ) T是uaw-w*Dunford-Pettis算子；
(ⅱ)对任意的范数有界的不交序列{xn}⊂E+和任意的弱*收敛到0的序列{fn}⊂(F′)+，有fn(T(xn))→0.
证 (ⅰ)⇒(ⅱ).由文献[4]中引理2知，不交列是无界绝对弱收敛到0的序列.结合定义1，则(ⅰ)⇒(ⅱ)显然成立.
(ⅱ)⇒(ⅰ).如果(ⅰ)不成立，则存在范数有界的无界绝对弱收敛到0的序列{xn}⊂E和弱*收敛到0的序列{fn}⊂F′，使得
由于
$f_{n} \stackrel{w^{*}}{\longrightarrow} 0$ ，F′具有弱*序列连续格运算，则$\left|f_{n}\right| \stackrel{w^{*}}{\longrightarrow} 0, T^{\prime}\left|f_{n}\right| \stackrel{w^{*}}{\longrightarrow} 0$ .则存在{xn}的子序列{yn}和{fn}的子序列{gn}，对任意的n≥1，满足和
由文献[6]中定理4.35知，可以构造不交列
由文献[4]的引理2知，
$z_{n+1} \stackrel{u a w}{\longrightarrow} 0$ ，并且对于充分大的n，有：
由于范数有界且不交的序列{zn+1}⊂E+，{|gn+1|}⊂(F′)+且
$\left|g_{n+1}\right| \stackrel{w^{*}}{\longrightarrow} 0$ ，这与(ⅱ)矛盾，所以(ⅱ)⇒(ⅰ)成立.文献[6]和文献[8]分别提出了Dunford-Pettis算子和弱*Dunford-Pettis算子在一定条件下满足控制性.而uaw-w*Dunford-Pettis算子是否满足控制性呢？由定理1可以得出uaw-w*Dunford-Pettis算子在一定条件下也是满足控制性的.
推论1 设E，F是Banach格，F′具有弱*序列连续格运算，S，T：E→F是两个正算子且满足0≤S≤T.如果T是uaw-w*Dunford-Pettis算子，那么S也是uaw-w*Dunford-Pettis算子.
证 设范数有界的不交列{xn}⊂E+和弱*收敛到0的序列{fn}⊂(F′)+.由于T是正的uaw-w*Dunford-Pettis算子，且满足0≤S≤T，所以
由定理1得，S是uaw-w*Dunford-Pettis算子.
由定义1可知，当T：E→F是正的uaw-w*Dunford-Pettis算子时，对任意范数有界的不交序列{xn}⊂E+和任意弱*收敛到0的序列{fn}⊂F′，有fn(T(xn))→0.事实上，当E′具有序连续范数且F是σ-Dedekind完备时，可以得到下面定理：
定理2 设T：E→F是从Banach格E到Banach格F的正算子，E′具有序连续范数且F是σ-Dedekind完备的.如果T是uaw-w*Dunford-Pettis算子，那么对任意的范数有界不交序列{xn}⊂E+和任意的弱*收敛到0的序列{fn}⊂F′，可得
证 设{xn}是E+中任意的范数有界不交序列，{fn}是F′中任意的弱*收敛到0的序列.假设对任意的ε>0，存在0≤h∈F′和N∈N，当n>N时，有
如果(1)式不成立，通过反证法可得，存在ε′>0，对任意h∈F′和任意的N∈
$\mathbb{N}$ ，至少存在一个k(k>N)，有取h=4|f1|和n1=1，则存在n2>n1，使得
取
$h = {4^2}\sum\limits_{i = 1}^2 {\left| {{f_{{n_i}}}} \right|} $ ，则存在n3>n2，使得由此类推，对任意k∈
$\mathbb{N}$ ，存在递增子列{nk}⊂$\mathbb{N}$ ，使得设：
通过文献[6]中定理4.35知，可以构造不交列
对任意k∈
$\mathbb{N}$ ，有和
因为0≤jk+1≤|fnk+1|，且
$f_{n_{k+1}} \stackrel{w^{*}}{\longrightarrow} 0$ ，通过文献[9]中引理2.2知，$j_{k+1} \stackrel{w^{*}}{\longrightarrow} 0\left(j_{k+1} \in F^{\prime}\right)$ .由于{xn}是E+中范数有界的不交序列，由文献[4]中引理2知，$x_{n} \stackrel{u a w}{\longrightarrow} 0$ . T是uaw-w*Dunford-Pettis算子，所以jk+1(Txnk+1)→0.对充分大的k，就有矛盾，所以(1)式成立.
设0≤h∈F′，当n>N(N∈
$\mathbb{N}$ )时，h满足(1)式.则因为{xn}是范数有界的不交列，且E′具有序连续范数，根据文献[7]中定理2.4.14可知
$x_{n} \stackrel{w}{\rightarrow} 0$ ，所以(T′h)(xn)→0，$\lim_\limits{n \rightarrow \infty} \sup \left|f_{n}\right|\left(T x_{n}\right) \leqslant \varepsilon$ .又由于ε是任取的，所以|fn|(Txn)→0.
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在文献[6]给出了Dunford-Pettis算子定义的基础上，文献[5]定义了一类新算子——无界绝对弱收敛的Dunford-Pettis算子，即：设E是Banach格，X是Banach空间，T：E→X，如果对任意的范数有界的无界绝对弱收敛到0的序列{xn}⊂E，有‖Txn‖→0，则称T是无界绝对弱收敛的Dunford-Pettis算子，简称uaw-Dunford-Pettis算子.
uaw-Dunford-Pettis算子显然是uaw-w*Dunford-Pettis算子，但反过来却不一定成立.下面给出其反例.
例1 设T：l1→L2[0, 1]，定义为
对所有的(λn)∈l1，其中χ[0, 1]表示[0, 1]上的特征函数.由于T是有限秩算子，所以T是紧算子，显然T是uaw-w*Dunford-Pettis算子.考虑由l1的标准基{en}构成的范数有界的无界绝对弱收敛到0的序列，但‖Ten‖→/0，所以T不是uaw-Dunford-Pettis算子.
下面的命题讨论uaw-w*Dunford-Pettis算子与uaw-Dunford-Pettis算子以及Dunford-Pettis算子的合成关系.
命题1 设E，F，G是Banach格，则下列结论成立：
(ⅰ)如果S：E→F是uaw-Dunford-Pettis算子，那么对任意的uaw-w*Dunford-Pettis算子T：F→G，TS是uaw-w*Dunford-Pettis算子；
(ⅱ)如果S：E→F是Dunford-Pettis算子，那么对任意的uaw-w*Dunford-Pettis算子T：F→G，TS是弱*Dunford-Pettis算子.
证 (ⅰ)设任意的范数有界序列{xn}⊂E且
$x_{n} \stackrel{u a w}{\longrightarrow} 0$ ，以及任意的弱*收敛到0的序列{fn}⊂G′.因为S是uaw-Dunford-Pettis算子，所以‖S(xn)‖→0，故$S\left(x_{n}\right) \stackrel{u a w}{\longrightarrow} 0$ .由于T是uaw-w*Dunford-Pettis算子，所以fn(T(Sxn))→0，故TS是uaw-w*Dunford-Pettis算子.(ⅱ)设任意的弱收敛到0的序列{xn}⊂E和任意的弱*收敛到0的序列{fn}⊂G′.因为T是Dunford-Pettis算子，所以‖S(xn)‖→0，故
$S\left(x_{n}\right) \stackrel{\mathit{uaw}}{\longrightarrow} 0$ .由于T是uaw-w*Dunford-Pettis算子，所以fn(T(Sxn))→0，故TS是弱*Dunford-Pettis算子.接下来给出弱*Dunford-Pettis算子和uaw-w*Dunford-Pettis算子间的关系.
定理3 设E，F是Banach格，算子T：E→F，则下面结论成立：
(ⅰ) T是弱*Dunford-Pettis算子，如果Banach格E′具有序连续范数，那么T是uaw-w*Dunford-Pettis算子；
(ⅱ) T是uaw-w*Dunford-Pettis算子，如果E具有弱序连续格运算，那么T是弱*Dunford-Pettis算子.
证 (ⅰ)设任意的范数有界序列{xn}⊂E且
$x_{n} \stackrel{u a w}{\longrightarrow} 0$ ，由于E′具有序连续范数，则由文献[4]中定理7知$x_{n} \stackrel{w}{\rightarrow} 0$ .因为T是弱*Dunford-Pettis算子，且{fn}是F′中任意的弱*收敛到0的序列，所以fn(T(xn))→0，证得T是uaw-w*Dunford-Pettis算子.(ⅱ)设弱收敛到0的序列{xn}⊂E和弱*收敛到0的序列{fn}⊂F′.因为E具有弱序连续格运算，所以
$\left|x_{n}\right| \stackrel{w}{\rightarrow} 0$ .又因为0$\leqslant\left|x_{n}\right| \wedge \mu \leqslant\left|x_{n}\right| \stackrel{w}{\rightarrow} 0$ ，所以$\left(\left|x_{n}\right| \wedge \mu\right) \stackrel{w}{\rightarrow} 0$ ，也即是$x_{n} \stackrel{u a w}{\longrightarrow} 0$ .由于T是uaw-w*Dunford-Pettis算子，所以fn(T(xn))→0，证得T是弱*Dunford-Pettis算子.注1 上述E′具有序连续范数是必要的.例如：l1上的恒等算子：Idl1：l1→l1，Idl1是弱*Dunford-Pettis算子.因为l1的标准单位向量{en}是不交的，所以
$e_{n} \stackrel{u a w}{\longrightarrow} 0$ .l∞的标准单位向量{e′n}是不交的，且l1序连续，根据文献[7]的推论2.4.3知：$e^{\prime}_{n} \stackrel{w^{*}}{\longrightarrow} 0$ .但
根据文献[7]中性质2.5.23知，离散且具有序连续范数的Banach格具有弱序列连续格运算.结合定理3(ii)，可得下面的推论：
推论2 设E，F是Banach格，E离散且具有序连续范数.如果T：E→F是uaw-w*Dunford-Pettis算子，那么T是弱*Dunford-Pettis算子.
现在有一个很自然的问题，在何种情况下uaw-w*Dunford-Pettis算子与弱*Dunford-Pettis算子等价？我们知道：AM空间具有弱序连续格运算，并且其共轭空间(AL空间)具有序连续范数，结合定理3，不难发现当E是AM空间时，其上的uaw-w*Dunford-Pettis算子与弱*Dunford-Pettis算子等价.
文献[10]给出了极限算子的定义，文献[1]提出极限算子是弱*Dunford-Pettis算子.接下来探究uaw-w*Dunford-Pettis算子与极限算子的关系.
命题2 设E，F是Banach格，如果算子T：E→F是极限算子，那么T是uaw-w*Dunford-Pettis算子.
证 设任意的范数有界的无界绝对弱收敛到0的序列{xn}⊂E和任意的弱*收敛到0的序列{fn}⊂F′.因为T是极限算子，所以‖T′fn‖→0.
由于{xn}是范数有界序列，所以存在α>0，使得‖xn‖≤α.由于
即fn(T(xn))→0.证得T是uaw-w*Dunford-Pettis算子.
Banach格上的极限算子显然是uaw-w*Dunford-Pettis算子，但反过来却不一定成立.例如l∞上的恒等算子Idl∞：l∞→l∞，由于l∞具有DP*性质，所以恒等算子Idl∞是弱*Dunford-Pettis算子[1].而l∞是AM空间，所以Idl∞是uaw-w*Dunford-Pettis算子，但l∞的闭单位球不是极限集，所以Idl∞不是极限算子.
下面定理给出空间满足一定条件时，uaw-w*Dunford-Pettis算子是极限算子.
定理4 设E，F是Banach格，算子T：E→F是uaw-w*Dunford-Pettis算子.如果E′具有弱*序列连续格运算，那么T是极限算子.
证 设范数有界的不交序列{xn}⊂E和弱*收敛到0的序列{fn}⊂F′.由文献[4]中引理2知
$x_{n} \stackrel{u a w}{\longrightarrow} 0$ .因为T是uaw-w*Dunford-Pettis算子，所以因为
$f_{n} \stackrel{w^{*}}{\longrightarrow} 0$ ，所以$T^{\prime} f_{n} \stackrel{w^{*}}{\longrightarrow} 0$ .又因为E′具有弱*序列连续格运算，所以综合(2)和(3)式，根据文献[11]中推论2.7可得‖T′fn‖→0.证得T是极限算子.
紧算子显然是uaw-w*Dunford-Pettis算子，但通过下面例子不难发现uaw-w*Dunford-Pettis算子却不一定是紧算子.
例2 算子T：C[0, 1]→c0，定义为
对每个x∈C[0, 1].根据文献[6]知T不是紧算子.令xn∈C[0, 1]，且{xn}是范数有界的无界绝对弱收敛到0的序列.由文献[4]中定理7知：
因此T是uaw-Dunford-Pettis算子，故T是uaw-w*Dunford-Pettis算子.
由文献[12]中定理4.5知，当Banach格E具有序连续范数时，值域空间在E上的紧算子与极限算子等价.结合定理4可得出下面推论：
推论3 设T：E→F是uaw-w*Dunford-Pettis算子，且E′具有弱*序列连续格运算.如果F具有序连续范数，则T是紧算子
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