On Positive Solution for Kirchhoff Type Equation with the Hardy Potential and Critical Exponent

考虑如下Kirchhoff型方程

其中a>0，b>0，并且$V(x) = - \frac{\gamma }{{|x{|^2}}}$是Hardy位势.

如果$V \in L^{\frac{3}{2}}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$，结合一些其它的假设，文献[1]得到了方程(1)的基态解，文献[2]得到了方程(1)的束缚态解.但Hardy位势V显然不属于$L^{\frac{3}{2}}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$，因此本文将在这一位势条件下考虑方程(1)的解的存在性.对Kirchhoff型方程其它的一些结果请参见文献[3-9].

当a=1，b=0并且$\gamma=\lambda \in\left(0, \frac{1}{4}\right)$时，方程(1)退化到下列半线性椭圆方程：

对任意的$\lambda \in\left(0, \frac{1}{4}\right)$，文献[10-11]得出方程(2)的所有正解构成下列集合

其中：

特别地，w⁽⁰⁾(x)是最佳Sobolev嵌入常数

的达到函数^[12].对任意的w_μ^λ(x)∈Z_λ，由本文中引理1知

事实上，由(3)式得出

为了得到方程(1)的正解，首先考虑下列方程：

其中a>0，b>0，并且

设

利用伸缩讨论，得到下面定理：

定理1  假设a>0，b>0，并且$\lambda \in\left(0, \frac{1}{4}\right)$，那么对任意的w_μ^λ(x)∈Z_λ，w_μ^λ(Tx)是方程(5)的正解.

利用定理1，我们得出本文的主要结果：

定理2  假设a>0，b>0，并且$\gamma \in \left({0, {A_{a, b, \frac{1}{4}}}} \right)$，那么存在$\lambda \in\left(0, \frac{1}{4}\right)$，使得γ=A_a，b，λ，并且对任意的w_μ^λ(x)∈Z_λ，w_μ^λ(Tx)是方程(1)的正解.

注1  通过计算，由(3)，(4)和(6)式知

注2  定理2补充了文献[1-2]的结果.

引理1  对任意的w_μ^λ(x)∈Z_λ，(3)式成立.

证  对任意的w_μ^λ(x)∈Z_λ，我们有

由3维球坐标变换和下列积分公式

因此(3)式成立.

定理1的证明  设ω(x)=w_μ^λ(x)∈Z_λ，那么

令u(x)=ω(Tx)，通过计算，我们有：

其中T在(7)式中被定义，并且

因此我们得到

这说明u是方程(5)的正解.

定理2的证明  令f_a，b(λ)=A_a，b，λ，那么f_a，b(0)=0，并且

因为关于λ的函数λα_λ²，λ²α_λ⁴，λ²α_λ²在区间$\left(0, \frac{1}{4}\right)$上都是单调递增的，所以f_a，b(λ)在区间$\left(0, \frac{1}{4}\right)$上是严格单调递增的.因此对任意的γ∈(0，A_a，b，14)，存在唯一的$\lambda \in\left(0, \frac{1}{4}\right)$使得γ=A_a，b，λ.由定理1知，w_μ^λ(Tx)是方程(1)的正解.