Characterization of Quantum Channels Preserving von Neumann Entropy in Bipartite Systems

量子态叫作密度矩阵，是作用在复希尔伯特空间上的半正定迹1矩阵.量子态ρ是纯态当且仅当ρ²=ρ，即ρ是秩1投影.若ρ²≠ρ，则ρ是混合态.复希尔伯特空间H上的所有量子态记为S(H)，它是个凸集，所有纯态记为Pur(H)，显然Pur(H)是S(H)的子集.在量子信息理论中，H=H₁$\otimes $H₂叫双体系统，其中H₁和H₂都是有限维复希尔伯特空间.对于ρ∈S(H₁$\otimes $H₂)，如果ρ可以写成$\mathit{\boldsymbol{\rho }} = \sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}} {\mathit{\boldsymbol{\rho }}_i} \otimes {\mathit{\boldsymbol{\sigma }}_i}$，其中ρ_i∈S(H₁)，σ_i∈S(H₂)，$\sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}} = 1$，p_i≥0，则这时就说量子态ρ可分，否则量子态ρ就是纠缠的.下面分别用符号S_sep(H_m$\otimes $H_n)和Pur_sep(H_m$\otimes $H_n)表示双体系统H_m$\otimes $H_n上的所有可分量子态和可分量子纯态. M(H_n)表示所有n阶方阵，对于A ∈M(H_n)，用A^*表示矩阵A的共轭转置.

文献[1]对量子信息科学的线性保持问题作了一个概述.很快，文献[2]也找到了保持KY FAN范数和SCHATTEN范数不变的矩阵张量积之间的线性变换的结构形式.文献[3]也研究了相同的定义和问题.接着，文献[4]把文献[3]的结果推广到无限维希尔伯特空间.这些成果研究的算子张量积之间的映射都是线性的.文献[5-6]研究的是关于量子测量(如冯诺依曼熵、Tsallis熵)单体系统上的非线性映射.文献[7]刻画了一个作用在双体量子系统H₁$\otimes $H₂里的所有可分态上并保持凸组合的双射的结构.现在的目的就是借助von Neuamnn熵的性质来研究一个保持von Neumann熵量子信道的结构.对于ρ∈S(H)，如果λ_i是ρ的特征值，von Neumann熵S(ρ)的定义如下^[8]：$S(\mathit{\boldsymbol{\rho }}) = - \sum\limits_i {{\lambda _i}} \log \left({{\lambda _i}} \right)$，λ_i≥0.规定0log 0=0，对数的底数通常取2.一个量子信道是保迹完全正线性映射Φ：M(H_m)$$M(H_n)当且仅当有表达式Φ(X)=$\sum\limits_i {{\mathit{\boldsymbol{A}}_i}} \mathit{\boldsymbol{XA}}_i^*$，其中A_i是m×n阶矩阵、$\sum\limits_i {\mathit{\boldsymbol{A}}_i^*} {\mathit{\boldsymbol{A}}_i} = {\rm{i}}{d_m}$.量子信道总是仿射.近年来有关量子熵、量子相位门的研究可见文献[9-13].下面是本文的主要结果：

定理1  设H_m，H_n分别是维数为m，n的复希尔伯特空间，ϕ：S(H_m$\otimes $H_n) S(H_m$\otimes $H_n)是量子信道，且ϕ(S_sep(H_m$\otimes $H_n))= S_sep(H_m$\otimes $H_n).那么对$\forall $t∈[0, 1]和$\forall $ρ，σ∈S_sep(H_m$\otimes $H_n)，S(tρ+(1-t)σ)=S(tϕ(ρ)+(1-t)ϕ(σ))当且仅当在H_m，H_n上分别存在酉矩阵或共轭酉矩阵U_m，V_n，使得ϕ(ρ)=(U_m$\otimes $ V_n)ρ (U_m$\otimes $V_n)^*，$\forall $ρ∈S_sep(H_m$\otimes $H_n).

对于P∈Pur(H_m)和Q∈Pur(H_n)，分别记：

引理1  设H_m，H_n分别是维数为m，n的复希尔伯特空间，ϕ：S(H_m$\otimes $H_n)$\to $S(H_m$\otimes $H_n)是量子信道，且$ϕ$(S_sep(H_m$\otimes $H_n))=S_sep(H_m$\otimes $H_n).如果对$\forall $ρ，σ∈S_sep(H_m$\otimes $H_n)和$\forall $t∈[0, 1]，有S(tρ+(1-t)σ)=S(tϕ(ρ)+(1-t)ϕ(σ))，那么下面结论之一成立：

(ⅰ)对$\forall $P∈Pur(H_m)，至少存在一个P∈Pur(H_m)，使得ϕ(L_P)$\subseteq $L_P；

(ⅱ)对$\forall $P∈Pur(H_m)，至少存在一个Q ∈Pur(H_n)，使得ϕ(L_P)$\subseteq $R_Q.

证  由文献[5]知ϕ(Pur_sep(H_m$\otimes $H_n))=Pur_sep(H_m$\otimes $H_n).于是对于任意可分纯态P$\otimes $Q∈Pur_sep(H_m$\otimes $H_n)，都至少存在一个可分纯态P$\otimes $Q∈Pur_sep(H_m$\otimes $H_n)，使得ϕ(P$\otimes $Q)=P$\otimes $Q.

首先固定P∈Pur(H_m)，对$\forall $Q₁，Q₂∈Pur(H_n)(Q₁≠Q₂)，由文献[5]知，存在纯态P_i∈Pur(H_m)，Q_i∈Pur(H_n)(i=1，2)，使得ϕ(P$\otimes $Q₁)=P₁$\otimes $Q₁和ϕ(P$\otimes $Q₂)=P₂$\otimes $Q₂.

因为量子信道总是作用在量子态上的仿射，即ϕ是双射，且

则如果P$\otimes $Q₁≠P$\otimes $Q₂，有P₁$\otimes $Q₁≠ P₂$\otimes $Q₂，而且

根据文献[7]的引理2知Q₁与Q₂线性相关，或者P₁与P₂线性相关.

若Q₁与Q₂线性相关，因为P_i与Q_i都是纯态，而且P₁$\otimes $Q₁≠ P₂$\otimes $Q₂，所以Q₁= Q₂，且P₁，P₂线性无关.记Q₁= Q₂=Q，则ϕ(P$\otimes $Q₁)=P₁$\otimes $Q且ϕ(P$\otimes $Q₂)=P₂$\otimes $Q.现在，对$\forall $Q∈Pur(H_n)，设ϕ(P$\otimes $Q)=P$\otimes $$\overline{\mathit{\boldsymbol{\overline Q}}} $，这时P至少与P₁，P₂其中一个线性无关，否则将会出现P₁=P₂.不妨设P与P₁线性无关.注意到文献[7]的引理2和等式

得到Q=$\overline{\mathit{\boldsymbol{\overline Q}}} $.于是对于某一固定的P∈Pur(H_m)，存在Q∈Pur(H_n)，使得ϕ(P$\otimes $Q)∈R_Q，这时有ϕ(L_P)$\subseteq $R_Q.

若P₁与P₂线性相关，同理可得到对于某一固定的P∈Pur(H_m)，存在P∈Pur(H_m)，使得ϕ(L_P)$\subseteq $L_P.

现在有结论：对于固定的P₀∈Pur(H_m)，存在$\overline {{\mathit{\boldsymbol{P}}_0}} $∈Pur(H_m)，使得ϕ(L_P0)$\subseteq $L_P0.接着用这个结论证明：对$\forall $P∈Pur(H_m)，存在P∈Pur(H_m)，使得ϕ(L_P)$\subseteq $L_P.

记：

则A∪B=Pur(H_m).假设B≠$\emptyset $，那么对$\forall$Q∈Pur(H_n)，都存在P₁∈B和Q∈Pur(H_m)，使得ϕ(P₁$\otimes $Q)=$\overline {{\mathit{\boldsymbol{P}}_Q}} $$\otimes $Q.又因为ϕ(L_P0)$\forall $L_P0，所以

由于$\overline {{\mathit{\boldsymbol{P}}_\mathit{\boldsymbol{Q}}}} $和$\overline {{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{\mathit{\boldsymbol{P}}_0}}}} $的任意性，有$\overline {{\mathit{\boldsymbol{P}}_0}} $=$\overline {{\mathit{\boldsymbol{P}}_\mathit{\boldsymbol{Q}}}} $和Q=$\overline {{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{\mathit{\boldsymbol{P}}_0}}}} $.于是

这与ϕ是单射矛盾.所以B=$\emptyset $，即对$\forall $P∈Pur(H_m)，存在P∈Pur(H_m)，使得ϕ(L_P)$\subseteq $L_P.同理可证：当固定P₀∈Pur(H_m)时，存在Q₀ ∈Pur(H_n)，使得ϕ(L_P0)$\subseteq $R_Q0时，对$\forall $P∈Pur(H_m)，存在Q∈Pur(H_n)，使得ϕ(L_P)$\subseteq $R_Q成立.

引理2  如果映射ϕ：S_sep(H_m$\otimes $H_n)$\to $S_sep(H_m$\otimes $H_n)所满足的条件与引理1的一样，那么下面结论之一成立：

(ⅰ)对$\forall $Q∈Pur(H_n)，至少存在一个Q∈Pur(H_n)，使得$\subseteq $(R_Q)$\subseteq $R_Q；

(ⅱ)对$\forall $Q∈Pur(H_n)，至少存在一个P∈Pur(H_m)，使得ϕ(R_Q)$\subseteq $L_P.

引理3  如果映射ϕ：S_sep(H_m$\otimes $H_n)$\to $S_sep(H_m$\otimes $H_n)所满足的条件与引理1的一样，那么下面结论之一成立：

(ⅰ)引理1(ⅰ)和引理2(ⅰ)都成立；

(ⅱ)引理1(ⅱ)和引理2(ⅱ)都成立.

证  如果引理1(ⅰ)和引理2(ⅱ)同时成立，则对$\forall $P∈Pur(H_m)和Q∈Pur(H_n)，分别存在P，$\overline{\mathit{\boldsymbol{\overline P}}} $∈Pur(H_m)，使得ϕ(L_P)$\subseteq $L_P和ϕ(R_Q)$\subseteq $L_{${\overline{\mathit{\boldsymbol{\overline P}}}}$}同时成立，于是

又因为Q是任意的，则有tP+(1-t)P=P.注意到P是纯态，而且P，$\overline{\mathit{\boldsymbol{\overline P}}} $是不同纯态，所以

矛盾.所以引理1(ⅰ)和引理2(ⅱ)不能同时成立.同理，引理1(ⅱ)和引理2(ⅰ)也不能同时成立.

定理1的证明  先假设引理3(i)成立，即对$\forall $P∈Pur(H_m)，Q∈Pur(H_n)，有ϕ(L_P)$\subseteq $L_P，ϕ(R_Q)$\subseteq $R_Q.也就是对ϕP∈Pur(H_m)，存在纯态τ₁(P)，τ₂(P，Q)(τ₂与P有关)，使得等式ϕ(P$\otimes $Q)=τ₁(P)$\otimes $τ₂(P，Q)对$\forall $Q∈Pur(H_n)成立.

为了证明τ₂(P，Q)与P无关，现在假设Pur(H_m)中有两个不同的P₁，P₂，于是：

则

这时，要么τ₂(P₁，Q)与τ₂(P₂，Q)线性相关，要么τ₁(P₁)与τ₁(P₂)线性相关.

如果τ₂(P₁，Q)与τ₂(P₂，Q)线性相关，则τ₂(P₁，Q)=τ₂(P₂，Q)，这时τ₂与P无关；如果τ₁(P₁)与τ₁(P₂)线性相关，则有

这时加上条件ϕ(R_Q)$\subseteq $R_Q，有

于是tτ₂(P₁，Q)+(1-t)τ₂(P₂，Q)=τ₂(Q).又因为τ₂(P₁，Q)，τ₂(P₂，Q)，τ₂(Q)全是纯态，所以

这样就证明了对于任意可分态P$\otimes $Q，存在两个双射τ₁：Pur(H_m)$\to $Pur(H_m)，τ₂：Pur(H_n)$\to $Pur(H_n) (因为ϕ是双射)，使得

当引理3(ⅱ)成立时，同理可证对于任意可分态P$\otimes $Q，存在两个双射τ₁：Pur(H_n)$\to $Pur(H_m)，τ₂：Pur(H_m)$\to $Pur(H_n)使得

接着断言：保von Neumann熵的映射ϕ是保持正交的，即对$\forall $ρ，σ∈S_sep(H_m$\otimes $H_n)，若ρσ= 0，则ϕ(ρ)ϕ(σ)= 0.事实上，在等式S(tρ+(1-t)σ)=S(tϕ(ρ)+(1-t)ϕ(σ))中令t=1，于是对$\forall $ρ∈S_sep(H_m$\otimes $H_n)，有S(ρ)=S(ϕ(ρ)).由文献[8]知

也就是ϕ(ρ)ϕ(σ)= 0，ϕ是保正交的.

因为dim(H_m$\otimes $H_n) < ∞，于是H_m上的任意一个量子态ρ都可以写成$\mathit{\boldsymbol{\rho }} = \sum\limits_{i = 1}^m {{\lambda _i}} {\mathit{\boldsymbol{P}}_i}$，其中$\sum\limits_{i = 1}^m {{\lambda _i}} = 1$，λ_i≥0，P_i∈Pur(H_m)(i=1，…，m).在Pur(H_n)上取Q，注意到：

以及等式(1)，由文献[8]有

于是由文献[9]知，存在酉矩阵或共轭酉矩阵W，使得

不失一般性，令W = I_mn，其中I_mn是H_m$\otimes $H_n上的单位矩阵，则

定义${\tau _{1Q}}(\mathit{\boldsymbol{\rho }}) = \sum\limits_{i = 1}^m {{\lambda _i}} {\tau _{1i}}\left({{\mathit{\boldsymbol{P}}_i}} \right)$, 显然τ_1Q(ρ)是从S(H_m)到S(H_m)的映射，则

在等式(3)里，若$\mathit{\boldsymbol{\rho }} = \frac{{{\mathit{\boldsymbol{I}}_m}}}{m}$(I_m是单位矩阵)，则${\tau _{1Q}}(\mathit{\boldsymbol{\rho }}) = \frac{{{\mathit{\boldsymbol{I}}_m}}}{m}$.事实上，由文献[5, 8]，并注意到S(ϕ(ρ$\otimes $σ))= S(ρ$\otimes $σ)且τ₂(Q)是纯态，得

在等式(3)里，映射τ_1Q：S(H_m)$\to $S(H_m)满足等式

事实上，

由等式(4)和文献[5]知，在S(H_m)上存在酉矩阵或共轭酉矩阵U_Q，使得τ_1Q(ρ)= U_Qρ(U_Q)^*.这时等式(3)就可以写成

等式(5)中的U_Q与Q无关.事实上，在Pur(H_n)中取两个不同的量子态Q₁，Q₂，使得对于ρ∈S(H_m)，有${\tau _{1{Q_i}}}(\mathit{\boldsymbol{\rho }}) = {\mathit{\boldsymbol{U}}_{{Q_i}}}\mathit{\boldsymbol{\rho }}{\left({{\mathit{\boldsymbol{U}}_{{Q_i}}}} \right)^*}(i = 1, 2)$.对于任意的P∈Pur(H_m)，由等式(1)，(3)，(5)有：

又因为对$\forall $P∈Pur(H_m)，有ϕ(L_P)$\subseteq $L_P，于是τ₁(P)= U_Q1P(U_Q1)^*= U_Q2P(U_Q2)^*.再由文献[10]的引理4.1知U_Q1= U_Q2.若令U_m= U_Q1= U_Q2，则对$\forall $ρ∈S(H_m)和Q∈Pur(H_n)，有

同理对$\forall $σ∈S(H_n)和P∈Pur(H_m)，有

等式(6)中的τ₂(Q)等于V_nQ(V_n)^*，其中V_n是H_m上的酉矩阵或共轭酉矩阵.事实上，对$\forall $ρ∈S(H_m)，Q₁，Q₂∈Pur(H_n)，t∈[0, 1]，有

于是

注意到映射τ₂是满射，所以由文献[5]知τ₂(Q)= V_nQ(V_n)^*.于是等式(6)可以写成

同理，等式(7)可以写成

最后，对$\forall $ρ∈S(H_m)，σ∈S(H_n)，令$\mathit{\boldsymbol{\sigma }} = \sum\limits_{j = 1}^l {{\mu _j}} {\mathit{\boldsymbol{Q}}_j}(l = 1, \cdots, n)$.有

这时在H_m，H_n上分别存在酉矩阵或共轭酉矩阵W_m，W_n，使得

令U_m= W_mU_m，V_n=W_n V_n，那么对$\forall $ρ∈S(H_m)，σ∈S(H_n)，有

若等式(2)成立，则有ϕ(ρ$\otimes $σ)=(V_n$\otimes $U_m)(σ$\otimes $ρ)(V_n$\otimes $U_m)^*.