K Fan's Theorem of ωβ-connectedness in Lω-Spaces

连通性是L-拓扑空间中的重要性质，基于不同的隔离集合，在L-拓扑空间中有不同的连通性^[1-3].

在模糊拓扑的发展中，算子方法起着重要作用.学者们在L-拓扑空间中建立了多种算子，如闭包算子^[4-5]、δ-闭包算子^[6-7]、N-闭包算子^[8]、SR-闭包算子^[9]等.这些算子的一个共同性质是具有保序性，基于此特点，文献[10]提出了一种统一的保序ω-算子的概念并建立了Lω-拓扑空间，进一步推广了L-拓扑空间.文献[11-13]在Lω-空间中讨论了多种拓扑性质，丰富了Lω-空间理论.借助于L-拓扑空间中β-开集^[14-15]等概念，文献[16]在Lω-空间中建立了ωβ-连通的概念.

在一般拓扑学^[17]中，樊畿定理是刻画连通性的重要工具.本文的目的是在文献[16]的基础上，将樊畿定理进一步推广到Lω-空间中，丰富ωβ-连通的拓扑理论.本文借助于ωβ-远域的概念，建立了ωβ-连通性的樊畿定理，从正面给出了ωβ-连通的几何直观性的刻画，应用樊畿定理，简化了文献[16]中ωβ-连通一个拓扑性质的证明.

在本文中，L为Fuzzy格，M和M_i分别表示L和L_i(i=1，2)中所有分子(即非零并既约元)所成之集合. L^X表示定义在非空集合X上，取值于L的所有L-Fuzzy集合构成的集族，1和0分别表示L^X中最大元和最小元，M^*(L^X)表示L^X中所有分子所成的集合.其它相关概念可参考文献[4-5].

定义1  设(L^X，Ω)为Lω-空间，A∈L^X，

(a) 如果A≤ω cl(ωint(ωcl(A)))，称A为ωβ-开集；

(b) 如果A≥ω int(ωcl(ωint(A)))，称A为ωβ-闭集.

以ωβO(L^X)和ωβC(L^X)分别表示ωβ-开集和ωβ-闭集的全体.显然，A∈ωβO(L^X)当且仅当A′∈ωβC(L^X).

定义2  设(L^X，Ω)为Lω-空间，A，B∈L^X.记ωβint(A)=∨{B∈L^X：B≤A，B∈ωβO(L^X)}，ωβcl(A)=∧{B∈L^X：A≤B，B∈ωβC(L^X)}.分别称ωβint(A)和ωβcl(A)为A的ωβ-内部和ωβ-闭包.

定义3  设(L^X，Ω)为Lω-空间，x_λ∈M^*(L^X)，Q∈L^X，P∈ωβC(L^X).如果x_λP，称P为x_λ的ωβ-闭远域，x_λ的所有ωβ-闭远域之集记为ωβη^-(x_λ).如果存在x_λ的ωβ-闭远域P，使得Q≤P，称Q为x_λ的ωβ-远域，x_λ的所有ωβ-远域之集记为ωβη(x_λ).

定义4  设(L^X，Ω)为Lω-空间，A，B∈L^X.如果ωβcl(A)∧B=B∧ωβcl(A)=0，称A，B是ωβ-隔离集.

定义5  设(L^X，Ω)为Lω-空间，A∈L^X.如果不存在非零ωβ-隔离集C，D，使得A=C∨D，称A为ωβ-连通集.如果1是ωβ-连通的，称(L^X，Ω)为ωβ-连通空间.

定理1(樊畿定理)  设(L^X，Ω)为Lω-空间，A∈L^X. A是ωβ-连通的当且仅当对任意的ωβ-闭远域，映射P：M^*(A)$\to $∪{ωβη(e)：e∈M^*(A)}(P(e)∈ωβη(e)，e∈M^*(A))以及A的任意分子a，b，存在A中有限多个分子e₁=a，e₂，…，e_n=b，使得AP(e_i)∨P(e_i+1)(i=1，2，…，n-1).

证  充分性  假设A不是ωβ-连通集.则存在两个非零ωβ-隔离L-集合B，C，使得A=B∨C.定义映射P：M^*(A)$\to $∪{ωβη(e)：e∈M^*(A)}为

由于ωβcl(B)∧C=B∧ωβcl(C)=0，则eP(e).而P(e)是ωβ-闭的L-集合，对任意e∈M^*(A)，均有P(e)∈ωβη(e).任取分子a，b∈M^*(A)，使得a≤B，b≤C.由条件，对任意有限个点e₁=a，e₂，…，e_n=b，或者e_i≤B，或者e_i≤C成立.于是P(e_i)=ωβcl(B)，或P(e_i)=ωβcl(C).又因P(e₁)=ωβcl(C)且P(e_n)=ωβcl(B)，于是存在j(j=1，2，…，n-1)，满足P(e_j)=ωβcl(C)且P(e_j+1)=ωβcl(B).则A=B∨C≤P(e_j)∨P(e_j+1)，与假设矛盾.

必要性  假设结论不真，即存在分子点a，b∈M^*(A)以及ωβ-闭远域，映射P：M^*(A) ∪{ωβη(e)：e∈M^*(A)}，使得对任意有限个点e₁，…，e_n∈M^*(A)，AP(e_i)∨P(e_i+1)(i=1，2，…，n-1)均不成立.为方便，定义分子a与b是ωβ-连接的，即存在有限个点e₁=a，e₂，…，e_n=b∈M^*(A)，使得AP(e_i)∨P(e_i+1)(i=1，2，…，n-1).否则，称a与b不是ωβ-连接的.

令：

显然，由于aP(a)蕴含AP(a)，则a与a是ωβ-连接的.从而，a∈Φ，a≤B.由假设，a与b不是ωβ-连接的，则b∈Ψ且b≤C.于是，B≠0且C≠0.由于对任意的分子e∈M^*(A)，e∈Φ或者e∈Ψ，则A=B∨C.下面证明ωβcl(B)∧C=B∧ωβcl(C)=0，从而A不是ωβ-连通集，矛盾.

实际上，假设ωβcl(B)∧C≠0.任取点d≤ωβcl(B)∧C.由d≤ωβcl(B)，得到dP(d)且BP(d).于是，存在点e∈Φ使得eP(d).从而eP(d)∨P(e)且e≤B≤A，即AP(d)∨P(e).又因e与a是ωβ-连接的，则a与d是ωβ-连接的.另一方面，由d≤C，得到CP(d).存在λ∈Ψ使得λP(d).从而λP(d)∨P(λ)且λ≤C≤A，则AP(d)∨P(λ).由于d与a是ωβ-连通的，则a与λ是ωβ-连接的，这与λ∈Ψ矛盾.从而ωβcl(B)∧C=0.相应地，能证明B∧ωβcl(C)=0.

应用ωβ-连通性的樊畿定理，可得到以下结论：

定理2  设(L^X，Ω)为Lω-空间，A∈L^X是ωβ-连通子集. B∈L^X满足A≤B≤ωβcl(A)，则B是ωβ-连通子集.

证  当A=0时，由A≤B≤ωβcl(A)知B=0是ωβ-连通子集.

当A≠0时，任取B的分子a，b以及映射P：M^*(B) ∪{ωβη(e)：e∈M^*(A)}.由a≤ωβcl(A)知AP(a)，故存在c∈M^*(A)使得cP(a).于是P(a)∈ωβη(c).由b≤ωβcl(A)知AP(b)，故存在d∈M^*(A)使得dP(b)，于是P(b)∈ωβη(d).作映射P′：M^*(A) ∪{ωβη(x)：x∈M^*(A)}为：当x≠c，x≠d时，P′(x)=P(x)；当x=c时，P′(x)=P(a)；当x=d时，P′(x)=P(b).因A是ωβ-连通集，故存在A中有限多个分子x₀=c，x₁，…，x_n=d，使得AP(x_i)∨P(x_i+1)(i=0，1，…，n-1).因此，在B中有分子x₀=a，x₁，…，x_n=b，使得AP(x_i)∨P(x_i+1)(i=0，1，…，n-1).由定理1，B是ωβ-连通子集.