Lipschitz-Like Property of Implicit Multifunctions in Banach Spaces and Applications

集值隐函数的稳定性已被广泛研究^[1-7].最近，文献[1]研究集值隐函数的类Lipschitz性质，利用Fréchet上导数和Mordukhovich上导数，在Asplund空间中给出集值隐函数在给定点具有类Lipschitz性质的充分条件，由此导出参数向量优化问题的有效解映射在给定点具有类Lipschitz性质的充分条件.虽然文献[1]定理3.1在适当的条件下证明了集值隐函数在给定点是类Lipschitz的，但是该定理的证明过程并不严谨.作者采用的是反证法，为了导出矛盾，需要证明：存在(x^*，y^*)和(x₃，y₃)满足0∉F_p′(x₃)，但不满足条件(ⅲ).遗憾的是，0∉F_p′(x₃)的证明被遗漏了，且难以从文献[1]定理3.1的假设条件推出.为了解决这个问题，本文采用不同于文献[1]定理3.1的证明方法，给出集值隐函数在给定点是类Lipschitz的严格证明，证明过程避开了0∉F_p′(x₃).

设X和Y是Banach空间，P是度量空间，F：P×X⇉Y是集值映射，定义集值隐函数G：P⇉X如下：

下面讨论(1)式中的集值隐函数G的类Lipschitz性质，给出G在给定点类Lipschitz性质成立的上导数充分条件.使用记号F_p(·)：=F(p，·).

定理 1    设X和Y是Banach空间，P是度量空间，F：P×X⇉Y是集值映射，G：P⇉X是由(1)式定义的集值隐函数，(p，x)∈P×X且0∈F(p，x).若存在常数r>0满足下列条件：

(ⅰ)任意的p∈B(p，r)，集值映射F_p是闭的；

(ⅱ)常数

其中：任意δ>0，∏_δ(0；F_p(x))：={y∈F_p(x)| ||y||＜d(0，F_p(x))+δ}，J_δ(y)：={y^*∈S_Y^*|d(y^*，J(y))＜δ}；

(ⅲ)存在常数l>0使得

则G在(p，x)是类Lipschitz的且具有系数$\frac{l}{k_{r}}$.

证     任给常数r>0和l>0，假设满足定理1的条件.首先证明：任意的μ∈(0，min{rk_r，r})，若$(x, p) \in B\left(\overline{x}, r-\frac{\mu}{k_{r}}\right) \times B(\overline{p}, r)$且d(0，F(p，x))＜μ，则

采用反证法，假设(2)式不成立，则存在μ∈(0，min{rk_r，r})，$x_{0} \in B\left(\overline{x}, r-\frac{\mu}{k_{r}}\right)$和$p_{0} \in B(\overline{p}, r)$，满足$d\left(0, F\left(p_{0}, x_{0}\right)\right)<\mu$，但

从而x₀∉G(p₀)，即0∉F(p₀，x₀).由条件(ⅰ)，d(0，F(p₀，x₀))>0.令ε：=d(0，F(p₀，x₀))，则ε∈(0，μ).进一步，根据实数的稠密性，选取$k \in\left(\frac{\varepsilon k_{r}}{\mu}, k_{r}\right)$满足

令λ：=εk^-1，则由(3)式得

由距离函数的定义，任意的α∈(0，r-μ)，存在y₀∈F(p₀，x₀)，使得

定义函数φ：$X \times Y \longrightarrow \overline{\mathbb{R}}$如下：

由条件(ⅰ)，φ在X×Y上是下半连续的.由(5)式得

任意的$\eta \in\left(0, \frac{\lambda}{\varepsilon+\alpha}\right)$，在乘积空间X×Y中使用范数$\|(x, y)\|_{\eta} :=\|x\|+\eta\|y\|$.由文献[9]定理2.26中的Ekeland变分原理，存在$(\mathit{\hat x}, \mathit{\hat y})$∈X×Y满足

和

从而

且

由(4)式和(6)式，$\left\| {\hat x - {x_0}} \right\| \le \lambda < d\left( {{x_0}, G\left( {{p_0}} \right)} \right)$，从而$\stackrel{\wedge}{x} \notin G\left(p_{0}\right)$，即0$\notin F\left(p_{0}, \hat{x}\right)$，故$\hat{y} \neq 0$.进一步，由(6)式和k的取法可知

定义函数ψ：$X \times Y \longrightarrow \overline{\mathbb{R}}$如下：

由(7)式易知，$(\mathit{\hat x}, \mathit{\hat y})$是函数$\psi + {\delta _{{\rm{gph}}{\mathit{F}_{{p_{_0}}}}}}$在X×Y上的极小值点.注意到$\hat{y} \neq 0$，由文献[8]命题1.114得

则存在$y_1^* \in J(\hat y)$和(x₂^*，y₂^*)∈B_X^*×B_Y^*使得

显然，

令

则$\left( {{{\bar x}^*}, - {{\bar y}^*}} \right) \in {N_c}\left( {(\mathit{\hat x}, \hat y);{\mathop{\rm gph}\nolimits} {F_{{p_0}}}} \right)$，故${\tilde x^*} \in D_c^*{F_{{p_0}}}(\mathit{\hat x}, \mathit{\hat y})\left( {{{\tilde y}^*}} \right)$.任意的$y \in {F_{{p_{_0}}}}(\mathit{\hat x})$，由(7)式得

从而

故

进一步，

由于

故

从而

对任意的δ>0，只要上述的α和η选取得充分小，由(8)，(9)和(10)式可得

令δ↓0，则$\left\|\tilde{x}^{*}\right\| \leqslant k<k_{r}$，这与条件(ⅱ)矛盾，故(2)式成立.

其次，任取$\rho \in\left(0, r-\frac{\mu}{k_{r}}\right)$且2lρ＜μ，下面证明

事实上，任意的p′，p∈B(p，ρ)，任意的x∈G(p′)∩B(x，ρ)，显然0∈F(p′，x).由条件(ⅲ)，0∈F(p，x)+ld(p′，p)B_Y，故

由(2)和(12)式得

故

即(11)式成立.因此，G在(p，x)是类Lipschitz的且具有系数$\frac{l}{k_{r}}$.

注 1     定理1利用Clarke上导数，在Banach空间中给出集值隐函数在给定点具有类Lipschitz性质的充分条件，而文献[1]定理3.1利用Fréchet上导数，在Asplund空间中给出集值隐函数在给定点具有类Lipschitz性质的充分条件.定理1中的上导数条件(ⅱ)与文献[1]定理3.1中的上导数条件(ⅲ)不同，定理1的证明方法与文献[1]定理3.1的证明方法也不同.由于采用了不同的证明方法，避免了证明0∉F_p′(x₃)，而在文献[1]定理3.1的证明中，0∉F_p′(x₃)是必要的，但却被遗漏了.进一步，由定理1可知，若文献[6]定理7中的J_δ(y)定义为J_δ(y)：={y^*∈S_Y^*|d(y^*，J(y))＜δ}，则结论仍然成立.

下面讨论集值隐函数的类Lipschitz性质在参数向量优化问题有效解映射的稳定性分析中的应用.设X和Y是Banach空间，P是度量空间，f：P×X→Y是向量值函数，K⊂Y是顶点在原点的尖闭凸锥，A⊂Y，y∈A，则称y是A关于K的有效点(efficient point)当且仅当(y-K)∩A={y}.A的有效点的集合记为Eff_KA，规定Eff_KØ=Ø.

考虑参数向量优化问题：

其中：x是未知的决策变量，p是参数.任意的p∈P，令

和

则称$\mathscr{F} : P \rightrightarrows Y$和$\mathscr{S} : P \rightrightarrows X$分别为参数向量优化问题(13)的有效点映射(efficient point multifunction)和有效解映射(efficient solution map).

由定理1可知，若F满足一定的条件，则集值隐函数G在给定点是类Lipschitz的.在此基础上，可以寻找有效解映射$\mathscr{S}$在给定点具有类Lipschitz性质的充分条件.注意到，有效解映射$\mathscr{S}$可以用集值隐函数来表达，即

其中H：P×X⇉Y定义为

事实上，H是由目标函数f和有效点映射$\mathscr{F}$构成的集值映射.为清楚起见，记H_p(·)：=H(p，·).

定理 2     设X和Y是Banach空间，P是度量空间，H：P×X⇉Y是由(15)式定义的集值映射，$\mathscr{S}$：P⇉X是由(14)式定义的有效解映射，(p，x)∈P×X且(p，x)∈gph$\mathscr{S}$.若存在常数r>0满足下列条件：

(ⅰ)任意的p∈B(p，r)，集值映射H_p是闭的；

(ⅱ)常数

其中：任意δ>0, $\prod\limits_{} {{}_\delta \left( {0;{H_p}(x)} \right)} : = \left\{ {y \in {H_\rho }(x)|\left\| y \right\| < d\left( {0, {H_p}(x)} \right) + \delta } \right\}, {J_\delta }(y): = \left\{ {{y^*} \in {S_{{Y^ * }}}} \right.\left| {d\left( {{y^*}, J(y)} \right) < \delta \} } \right.$；

(ⅲ)存在常数l>0使得

则有效解映射$\mathscr{S}$在(p，x)是类Lipschitz的且具有系数$\frac{l}{k_{r}}$.

证     注意到$(\overline{p}, \overline{x}) \in \operatorname{gph} \mathscr{S} \Leftrightarrow 0 \in H(\overline{p}, \overline{x})$，分别用H和$\mathscr{S}$代替定理1中的F和G，可得定理2的结论.

由定理2可知，当H满足一定的条件时，有效解映射$\mathscr{S}$在给定点是类Lipschitz的.而H是由f和$\mathscr{F}$构成的，故可以将定理2中的条件(ⅲ)换成由f和$\mathscr{F}$刻画的条件，见下面的定理3.

定理 3     设X和Y是Banach空间，P是度量空间，H：P×X⇉Y是由(15)式定义的集值映射，$\mathscr{S}$：P⇉X是由(14)式定义的有效解映射，(p，x)∈P×X且(p，x)∈gph$\mathscr{S}$.若f在(p，x)是严格可微的，且存在常数r>0满足下列条件：

(ⅰ)任意的p∈B(p，r)，集值映射H_p是闭的；

(ⅱ)常数

其中：任意δ>0, $\prod\limits_{} {{}_\delta \left( {0;{H_p}(x)} \right)} : = \left\{ {y \in {H_\rho }(x)|\left\| y \right\| < d\left( {0, {H_p}(x)} \right) + \delta } \right\}, {J_\delta }(y): = \left\{ {{y^*} \in {S_{{Y^ * }}}} \right.\left| {d\left( {{y^*}, J(y)} \right) < \delta \} } \right.$；

(ⅲ)有效点映射$\mathscr{F}$在p是局部Lipschitz的.

则有效解映射$\mathscr{S}$在(p，x)是类Lipschitz的.

证     因为f在(p，x)严格可微，所以f在(p，x)是Lipschitz连续的，故存在x的邻域U，p的邻域W₁和实数l₁>0使得

由条件(ⅲ)，存在p的邻域W₂和实数l₂>0使得

令W：=W₁∩W₂，则

事实上对任意的x∈U，任意的p′，p∈W，任意的y∈H(p′，x)，显然y∈-f(p′，x)+$\mathscr{F}$(p′).结合(17)式得

由(16)式得

即

由(19)和(20)式可知

即

注意到y∈H(p′，x)是任意的，故(18)式成立.综上，定理2的所有条件满足.由定理2可知定理3成立.