Performance Options' Pricing Under Nonlinear Black-Scholes Model

由文献[1, 15]可知, 利差期权的价格C(t, S₁, S₂)适定下面的抛物初值问题

这里0 < ε < 1,

为了便于阐述问题, 定义

在上述变换之下, 可以得到

代入公式(1), 有

其中σ(t, ξ; ε)=σ₁₁(t, ξ; ε)+σ₁₂(t, ξ; ε)+σ₂₂(t, ξ; ε).此外在变换(2)之下, 终值条件转化为

为了方便证明, 同时定义

其中

进一步作变换

则抛物方程问题(1)变为

下面考察抛物问题(8)的单参数摄动展开, 假设V(t, x)在ε=0附近可以幂级数展开

假设当ε=0时, f(t, x; ε)为常数, 即f(t, x; 0)=σ₀, f(t, x; ε)可以根据泰勒公式在ε=0邻域内具备如下形式的幂级数

其中${f_n}\left( {t, x} \right) = \frac{{{\partial ^n}f\left( {t, x;\varepsilon } \right)}}{{\partial {\varepsilon ^n}}}\left| {_{\varepsilon = 0}} \right.$.注意

从而将公式(9)代入抛物问题(8), 整理之后可以得到

由于x和t是任意常数, 于是有

其中

进一步, 根据公式(9), 将抛物方程(8)中初边值条件进行划分

如此, 抛物型方程(8)归结为下面一系列常系数抛物方程初边值问题的线性叠加, 其中V₀(t, x)适合抛物初边值问题

V_n(t, x)为如下偏微分方程初边值的解

先处理抛物方程问题(17), 令

有

从而抛物方程问题(17)简化为

由文献[9]可知, u(s, y)可表示为

进行多次积分换元, 可以得到

将变换(18), (17)和(2)依次回代, 有

其中

接下来考虑V_n(t, x).采用递推法, 有如下结论.

引理1 依据摄动递推方法抛物初边值问题(14)的解V_n(t, x)满足

其中

证 令

再令τ=T－t, 则初值问题(14)化为

注意当完成n－1次递推之后, g_n(t, x)和${\tilde g_n}\left( {\tau, x} \right)$是明确已知的, 根据文献[9], 抛物问题(23)的解可表示为

考虑(22)式的逆变换, 即可得结论成立.证毕.

综合引理1和式(20), 有如下结论成立.

定理1 利差期权的定价公式P(t, S)有如下半解析形式

其中C₀(t, S₁, S₂)见式(19), ${C_n}\left( {t, {S_1}, {S_2}} \right) = {S_2}{V_n}\left( {t, \frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}} \right)$, V_n(t, x)见式(21).

将f(t, x; ε)在ε=0处进行幂级数展开, 从而对任意的$\left( {t, x} \right) \in \left[{0, T} \right] \times {\mathbb{R}_ + }$有

本节假设M₀是非负常数, 并在此假设下, 考察近似结论(定理1)的误差估计.

引理2^[14]  设ε为常数, ε∈(0, 1), 则对任意的$x \in {\mathbb{R}_ + }$, 有

引理3 设ε为常数, ε∈(0, 1), 则对任意的$x \in {\mathbb{R}_ + }$, 有

证 由式(19), 可以得到V₀(t, x)=exp(x)Φ(b₁)－Φ(b₂), 其中

从而

显然标准正态分布的密度函数n(·)满足$n\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\exp \left( {-\frac{{{x^2}}}{2}} \right)$.容易验证n(a₂)=exp(x)n(a₁), 从而

进一步, 有

联立式(25)和式(26), 可以得到

证毕

定理2 设ε为足够小的正常数, 则存在不依赖时间t的正常数M, 使得

证 由变换(2)和变换(7)易知, 只需证明

成立.令E₀(t, x)=V₀(t, x)－V(t, x), 则

考虑到L_εV(t, x)=0, 从而由式(5)可得

故将式(28)代入式(27), 可以得到

其中${h_1}\left( {t, x} \right) = \frac{1}{2}\left[{f\left( {t, x;\varepsilon } \right)-{\sigma _0}} \right]\left( {{\partial _{xx}}{V_0} -{\partial _x}{V_0}} \right)$.

另一方面利用Feynman-Kac公式^[16], 抛物初边值问题(29)满足

其中exp(－r(T－t))X_t为L^∞鞅, 注意$n\left( {{d_1}} \right) \le \sqrt {2\pi } $, 从而

利用引理1, 有

注意瑕积分$\int_0^T {{{\left( {T-\tau } \right)}^{-\frac{1}{2}}}{\rm{d}}\tau } $是收敛的, 因此定义$X_T^* = \mathop {\max }\limits_{0 \le \tau \le T} X_\tau ^2$, 上式变成

考虑到exp(－r(T－t))X_t是鞅, 易见|X_t|是下鞅, 从而由Doob不等式, 可得

证毕

定理3 对任意的正整数n存在正常数M不依赖n和t, 使得

证 类推定理2的证明过程, 只需证明|E_n(t, x)|≤Mεⁿ⁺¹, 其中

注意E_n(t, x)满足初边值条件E_n(t, 0)=0, E_n(T, x)=0, 并且

这里

从而

一方面, 类似文献[14]之推导过程, h_n(x, t)满足

利用式(24), 对任意的$\left( {t, x} \right) \in \left[{0, T} \right] \times \mathbb{R}$, 有

另一方面, 利用Feynman-Kac公式^[16]可知,

因此令$M = \mathop {\sup }\limits_{k, t, x} {\mathbb{R}_k}\left( {t, x} \right)$, 并联立式(32)和式(33),

定理得证.

由定理3可以看出, $\sum\limits_{i = 0}^{i = n} {{\varepsilon ^i}{C^i}\left( {t, {S_1}, {S_2}} \right)} $在定解区域$\left[{0, T} \right] \times {\mathbb{R}_ + }$上一致收敛到C(t, S₁, S₂).此外, 定理2和定理3的证明并不要求抛物方程(1)的初值条件是光滑的.