On Rate of Convergence of Extremes from Inverse Gaussian Samples

本节将给出几个有关逆高斯分布的重要辅助结果.

命题1     令F(x)，f(x)分别表示逆高斯分布的累积分布函数和概率分布函数.当x充分大时，对于u>0，λ>0有

其中

证     注意到

其中φ(x)是标准正态分布的密度函数，在x足够大时成立(证明参见文献[6]).由(1)和(2)式得

(3) 式的最后两步由泰勒展开式得到

由命题1和文献[7]的推论1.7可得F∈D(Λ).规范常数a_n和b_n可选为

由命题1及文献[8]的定理1.5.1易得：

命题2     设X_n，n≥1时为独立同分布的随机变量序列，其公共分布函数为逆高斯分布F(x).记M_n=max(X_k，1≤k≤n)为部分最大值，则

其中规范常数α_n和β_n为

对于λ>0和u>0成立.

定理1     设F(x)为逆高斯分布的累积分布函数，且规范常数α_n和β_n满足命题2，则

证      令v_n=α_nx+β_n并且τ_n=n[1-F(v_n)]，其中α_n和β_n由命题2给定.

由(6)式可以推导出

于是有

显然，对于τ(x)=exp(-x)，

在n足够大时成立，因此通过文献[8]的定理2.4.2，可以得到(5)式.

定理2     设F(x)为逆高斯分布的累积分布函数，规范常数a_n和b_n满足(4)式，则

在n→ ∞时成立，其中

引理1     设G(b_n；x)=F(a_nx+b_n)并且g(b_n；x)=nlog G(b_n；x)+exp(-x)有规范常数a_n，b_n，其中a_n和b_n由(4)式给出，则

其中κ(x)和ω(x)由定理2给定.

证     显然，b_n→ ∞与n→ ∞互为充要条件，因为1-F(b_n)=n^-1.由命题1知

令

则lim_{n→ ∞}A(b_n)=1，且

于是，

结合(7)，(8)，(9)和(10)式，得到

其中最后一步由控制收敛定理证得.类似于(11)式的证明，得到

定理2的证明

由引理1知n→ ∞，g(b_n；x)→ 0，

且

定理2证毕.

通过(4)式中的$ \frac{1}{{{b_n}}} = O\left( {\frac{1}{{{\rm{log}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} n}}} \right)$，不难由定理2得到$ {F^n}\left( {{a_n}\left( x \right) + {b_n}} \right) - \mathit{\Lambda }\left( x \right) = O\left( {\frac{1}{{{\rm{log}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} n}}} \right)$即Fⁿ(a_nx+b_n)收敛到其极限分布Λ(x)的收敛速度为$ \frac{1}{{{\rm{log}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} n}}$.