Rates of Convergence of Extreme for Brinbaum-Sauders Distribution

本节通过计算Brinbaum-Sauders分布的Mills不等式及Mills率，得到了Brinbaum-Sauders分布所属的吸引场及对应的规范化常数.

命题1  设F(x)与f(x)分别代表Brinbaum-Sauders分布对应的分布函数与概率密度函数，则

当$x \rightarrow \infty $时，有

证   由分部积分得

由于

所以

由(3)，(4)式知结论成立.

由命题1，可得到Brinbaum-Sauders分布的尾部表示：

命题2   设F(x)与f(x)分别代表Brinbaum-Sauders分布对应的分布函数与概率密度函数，则

其中

由文献[1]的推论1.7知F(x)∈D(Λ)，规范常数a_n，b_n可由

确定.

利用Brinbaum-Sauders分布的Mills率及文献[2]中求正态分布规范化常数的方法，可以找出另一对规范化常数.

命题3  设{X_n，n≥1}是独立同服从Brinbaum-Sauders分布的随机变量序列，则

其中：$ \alpha_{n}=2 \alpha^{2} \beta, \beta_{n}=2 \alpha^{2} \beta\left(\log n-\frac{1}{2} \log \log n+\alpha^{-2}-\log 2 \sqrt{\pi}\right)$.

证   由于F(x)连续，$ x \in \mathbb{R}$，则存在$ u_{n}=u_{n}(x)$当$x \to \infty $时$n\left(1-F\left(u_{n}\right)\right) \rightarrow \exp (-x) $.利用(2)式，

取对数得

则

取对数得

由于$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } u_n^{ - 1} = 0 $，将(7)式带入到(6)式得

结合文献[2]中定理1.2.3和定理1.5.1结论，命题得证.

命题4   在命题2的条件下，对于充分大的n，有

证   令$u_{n}=\alpha_{n} x+\beta_{n}, \tau_{n}=n\left(1-F\left(u_{n}\right)\right) $.

可以推出

因此

因此，对于τ(x)=exp(-x)，当n足够大时有

进一步运用文献[2]中的定理2.4.2，可得(8)式.

近年关于极值渐进展开的研究可参见文献[4-5].

通过前面的讨论知Brinbaum-Sauders分布属于Gambel吸引场，因此$n \to \infty $时，

下面得到Δ_n(x)的点点收敛速度.

定理1  设F(x)为Brinbaum-Sauders分布函数，a_n，b_n满足(5)式，则$n \to \infty $时，有

其中

注1   由定理1知，当$n \to \infty $时，$ F^{n}\left(a_{n} x+b_{n}\right) \rightarrow \mathit{\Lambda}(x)$的收敛速度为(log n)^-1.

为了证明定理1，给出下面两个引理.

由命题1的证明过程易得：

引理1   对于充分大的x，有

引理2   令$G\left(b_{n} ; x\right)=F\left(a_{n} x+b_{n}\right), g\left(b_{n} ; x\right)=n \log G\left(b_{n} ; x\right)+\exp (-x) $.其中规范化常数a_n，b_n满足(5)式，则

其中k(x)，w(x)定义见定理1.

证  当$n \to \infty $时$ n\left(1-F\left(b_{n}\right)\right) \rightarrow 1$，有$b_{n} \rightarrow \infty $，根据文献[1]命题0.10能导出

令

则$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } A\left( {{b_n}} \right) = 1 $，且

由(12)式得

通过(10)式有

结合(11)，(13)和(14)式，有

由(15)，(16)式可知，结论得证.

下面证明定理1.

定理1的证明  由引理2知$x \to \infty $时，$ g\left(b_{n} ; x\right) \rightarrow 0$且

因此

定理1得证.