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Neumann边值问题描述的是一类非常重要的物理现象，对此类问题的正解已经取得了很多结果[1-4].文献[5]运用锥上的不动点指数理论获得了二阶连续Neumann边值问题
正解的存在性，其中
$m \in \left({0, \frac{\pi }{2}} \right)$ 是一个常数.文献[6]运用锥上的不动点指数理论获得了二阶变系数Neumann边值问题正解的存在性，其中I=[0, 1]，a(t)，f(t，u(t))满足条件：
(A1) a(t)：I→(0，+∞)连续并且0<α≤β < +∞，其中
$\alpha = \mathop {\min }\limits_{t \in I} a(t), \beta = \mathop {\max }\limits_{t \in I} a(t)$ ；(A2) f(t，u)：I×(0，+∞)→(0，+∞)连续.
文献[7]运用不动点指数理论研究了二阶离散Neumann边值问题
正解的存在性，其中
$0 < \rho < 2\left({1 - \cos \frac{\pi }{{2T}}} \right)$ 是常数，f：[1，T]$\mathbb{Z}$ ×$\mathbb{R}$ +→$\mathbb{R}$ +连续，[1，T]$\mathbb{Z}$ ：={1，2，…，T}，T≥2，$\mathbb{R}$ +：=[0，∞).当ρ为正常数时，可以用常数变易法得到此类相应线性问题的格林函数为
其中θ满足ρ=2(1-cosθ)且
$0 < \theta < \frac{\pi }{{2T}}$ .文献[8]运用不动点指数理论研究了二阶变系数离散Neumann边值问题正解的存在性，其中p(t)>0，q(t)>0，q(t)≢0且T≥2是一个整数.
受文献[5-8]的启发，我们考察二阶变系数Neumann边值问题
是否存在定号的格林函数，其中q(t)，f满足如下条件：
(H1) 设q(t)>0，t∈[1，T]
$\mathbb{Z}$ 且$0 < q(t) \leqslant \max\limits_{t \in[1, T]_{\mathbb{Z}}} q(t)=\bar{q} < 2\left(1-\cos \frac{\pi}{2 T}\right)$ ；(H2) f：[1，T]
$\mathbb{Z}$ ×[0，+∞)→[0，+∞)连续.在假设条件(H1)下，利用二阶差分方程非共轭理论以及比较定理可以证明问题(1)的格林函数定号，基于此，获得了问题(1)正解存在的条件.
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令u(t)是定义在[a，b]
$\mathbb{Z}$ 上的函数，则Δu(t)=u(t+1)-u(t)称为u(t)在t上的差分，Δ为前向差分算子，其中[a，b]$\mathbb{Z}$ ={a，a+1，…，b}，当b<a时，规定$\sum\limits_{s=a}^{b} u(s)=0$ .不难计算线性初值问题
有唯一解
易证当
$0 < \bar q < 2\left({1 - \cos \frac{\pi }{{2T}}} \right), 0 < \theta = \arccos \left({1 - \frac{{\bar q}}{2}} \right) < \frac{\pi }{{2T}}$ 时，v(t)>0.线性初值问题
有唯一解
易证当
$0 < \theta = \arccos \left({1 - \frac{{\bar q}}{2}} \right) < \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{{2T}}$ 时，ω(t)>0.下面讨论线性变系数问题(1)的格林函数的表达式及性质，首先定义线性算子
其中p(t)：[1，T]
$\mathbb{Z}$ →(0，∞)，q(t)：[1，T]$\mathbb{Z}$ →$\mathbb{R}$ .定义1 [9] 设y是
的一个定义在[0，∞)
$\mathbb{Z}$ 上的解，若下列之一成立：(ⅰ)当t0=0满足y(t0)=0；
(ⅱ)当t0>0满足y(t0)=0或y(t0-1)y(t0) < 0，则称t0为y的一个广义零点.
定义2 [9] 若
在[a，b+2]
$\mathbb{Z}$ 上至多有一个广义零点，则称差分方程在[a，b+2]
$\mathbb{Z}$ 上非共轭.引理1[9] 若
在[a，b+2]
$\mathbb{Z}$ 上非共轭且q2(t)≤q1(t)，t∈[a+1，b+1]$\mathbb{Z}$ ，则在[a，b+2]
$\mathbb{Z}$ 上非共轭.引理2[9] 令Ly(t)=0，t∈[a，b+2]
$\mathbb{Z}$ 且u(t)，v(t)满足则u(t)≥v(t)，t∈[a，b+2]
$\mathbb{Z}$ .引理3 设(H1)成立.若φ和ψ分别是线性初值问题
和
的唯一解，则
(ⅰ) φ(t)>0，t∈[0，T+1]
$\mathbb{Z}$ 且Δφ(t) < 0，t∈[1，T]$\mathbb{Z}$ ；(ⅱ) ψ(t)>0，t∈[0，T+1]
$\mathbb{Z}$ 且Δψ(t)>0，t∈[1，T]$\mathbb{Z}$ .证 (ⅰ)由问题(2)和(H1)可知
由v(t)>0和定义2可知，方程
在[0，T+1]
$\mathbb{Z}$ 上非共轭且q(t) < q，结合引理1得方程在[0，T+1]
$\mathbb{Z}$ 上非共轭.令p(t)=1，则Ly(t)=Δ2y(t-1)+q(t)y(t)，下证Lφ(t)≥Lv(t).事实上，
故由引理2得
另一方面Δ2φ(t-1)=-q(t)φ(t) < 0，t∈[1，T]
$\mathbb{Z}$ ，得Δφ(t)<Δφ(t-1)，t∈[1，T]$\mathbb{Z}$ ，结合Δφ(0)=0，可知(ⅱ)结合问题(3)解的正性以及(i)的证明方法可得结论，此处略去证明.
引理4 设h：[1，T]
$\mathbb{Z}$ →$\mathbb{R}$ ，则线性边值问题存在唯一解
其中
为相应齐次边值问题的格林函数且ψ(1)-ψ(0)>0.
证 首先，证明问题(8)的唯一解可用式(9)表示.由引理3知方程
有两个线性无关解φ，ψ.因为
故应用常数变易法不难计算问题(8)的唯一解为
其中G(t，s)如式(10)所示.
其次，验证式(9)定义的函数是问题(8)的一个解.由式(9)知
从而
引理5 格林函数G(t，s)具有以下性质：
(ⅰ) G(t，s)>0，(t，s)∈[1，T]
$\mathbb{Z}$ ×[1，T]$\mathbb{Z}$ ；(ⅱ)
$G(t, s) \ge \frac{{{\sigma ^2}}}{{\psi (1) - \psi (0)}}$ ，(t，s)∈[1，T]$\mathbb{Z}$ ×[1，T]$\mathbb{Z}$ ，其中$\sigma = \frac{{\sin \theta T - \sin \theta (T - 1)}}{{\sin \theta }}$ ；(ⅲ)
$G(t, s) \le \frac{1}{{\psi (1) - \psi (0)}}$ ，(t，s)∈[1，T]$\mathbb{Z}$ ×[1，T]$\mathbb{Z}$ ；(ⅳ) σG(s，s)≤G(t，s)≤G(s，s)，(t，s)∈[1，T]
$\mathbb{Z}$ ×[1，T]$\mathbb{Z}$ ，其中σ定义见(ⅱ).证 (ⅰ)由引理3知φ(t)>0，ψ(t)>0，t∈[0，T+1]
$\mathbb{Z}$ 且Δψ(t)>0，即ψ(1)-ψ(0)>0，从而可得G(t，s)>0，(t，s)∈[1，T]$\mathbb{Z}$ ×[1，T]$\mathbb{Z}$ .(ⅱ)由引理3和式(6)以及Δψ(t) < 0，t∈[1，T]
$\mathbb{Z}$ ，φ(0)=1知其中
$0 < \theta = \arccos \left({1 - \frac{{\bar q}}{2}} \right) < \frac{\pi }{{2T}}$ .同理可得
显然0<σ < 1.
从而对∀(t，s)∈[1，T]
$\mathbb{Z}$ ×[1，T]$\mathbb{Z}$ 得(ⅲ)由式(11)和式(12)可得
(ⅳ)由式(11)和式(12)以及格林函数G的表达式(10)易得
故不等式
成立，其中0<σ < 1.
定义函数空间
则E按范数
$\left\| u \right\| = \mathop {\max }\limits_{t \in {{[0, T + 1]}_\mathbb{Z}}} |u(t)|$ 构成Banach空间.定义锥
其中
$0 < \sigma = \frac{{\sin \theta T - \sin \theta (T - 1)}}{{\sin \theta }} < 1$ ，则P是E中的一个非负锥.选取m>0，记Bm={u∈E|‖u‖<m}.定义算子
显然A，F：E→E是全连续的.易证u=u(t)是问题(1)的解当且仅当u是算子A的不动点.
引理6 假定(H1)，(H2)成立.则A(P)⊂P，F(P)⊂P且A，F：P→P全连续.
证 对∀t∈[0，T+1]
$\mathbb{Z}$ ，由引理5的(ⅳ)知σ‖Au‖故A(P)⊂P.同理可证F(P)⊂P.又因为E为有限维空间，所以易证A，F：P→P全连续.
引理7[10] 设E为实Banach空间，P为E中的一个锥，Ω(P)是P上的有界开子集，算子A：
$\overline {\mathit{\Omega} (P)} \to P$ 全连续.若存在u0∈P\{θ}，使得则i(A，Ω(P)，P)=0.
引理8[10] 设E为实Banach空间，P为E中的一个锥，Ω(P)是P上的有界开子集，算子A：
$\overline {\mathit{\Omega} (P)} \to P$ 全连续.若则i(A，Ω(P)，P)=1.
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为了叙述方便，引入如下的记号：
记λ1为线性特征值问题
的主特征值.
引理9 假定(H1)成立，则算子F的谱半径r(F)>0且F有一个相应于主特征值λ1=(r(F))-1的正特征函数.
证 因为G(t，s)>0，(t，s)∈[0，T+1]
$\mathbb{Z}$ ×[0，T+1]$\mathbb{Z}$ .故可取χ∈E，χ(t)≥0，对∀t∈[0，T+1]$\mathbb{Z}$ ，使得对某给定的t0∈[0，T+1]$\mathbb{Z}$ ，有χ(t0)≥0，从而故存在常数c>0，使得
因此，由Krein-Rutumn定理[10]可知，r(F)>0且算子F有一个相应于主特征值λ1=(r(F))-1的正特征函数.
定理1 假定(H1)，(H2)成立.若
则问题(1)至少存在一个正解.
证 由f0>λ1知，存在ε>0，M1>0，使得
记φ1为算子F的相应于主特征值λ1的正特征函数，即φ1=λ1Fφ1.对任意的u∈∂BM1∩P，得
不妨设A在∂BM1∩P上无不动点，否则，定理得证.下证
反设存在u0∈∂BM1∩P，μ0≥0，使得u0-Au0=μ0φ1，则
令
显然，μ ≥μ0>0且u0≥ μφ1.由F(P)⊂P知，
因此
这与μ的定义矛盾，故式(14)成立.由引理7知，
由f∞<λ1知，存在r2>M1，0<ε < 1，使得
取
$M_{2}=\max \left\{2 M_{1}, \frac{m_{2}}{\sigma}\right\}$ ，则对任意的u∈∂BM2∩P，有u(t)≥σ‖u‖=σM2≥m2.不妨设A在∂BM2∩P上无不动点，否则，定理得证.下证
反设存在u1∈∂BM2∩P，μ1∈(0，1]，使得u1=μ1Au1，则
令μ =inf{u1≤μφ1}，则μ >0且μ1≤μ φ1.由F(P)⊂P知，
因此
这与μ的定义矛盾，故式(17)成立.由引理8知，
结合式(15)和式(18)根据不动点指数的区域可加性得
因此，算子A在(BM2∩P)\(BM1∩P)上至少存在一个不动点，即问题(1)至少存在一个正解.
定理2 假定(H1)，(H2)成立.若
则问题(1)至少存在一个正解.
证 由f0<λ1知，存在M1>0，0<ε < 1，使得
记φ1为算子F的相应于主特征值λ1的正特征函数，即φ1=λ1Fφ1.对任意的u∈∂BM1∩P有
不妨设A在∂BM1∩P上无不动点，否则，定理得证.类似式(17)的证明过程可证
由引理8知，
由f∞>λ1知，存在m2>M1，ε>0，使得
取
${M_2} = \max \left\{ {2{M_1}, \frac{{{m_2}}}{\sigma }} \right\}$ ，则对任意的u∈∂BM2∩P，有u(t)≥σ‖u‖=σM2≥m2，从而不妨设A在∂BM2∩P上无不动点，否则，定理得证.类似式(14)的证明过程可证
由引理7知，
结合式(20)和式(21)，根据不动点指数的区域可加性得
因此，算子A在(BM2∩P)\(BM1∩P)上至少存在一个不动点，即问题(1)至少存在一个正解.
注 上述结果给出f在线性增长条件下的正解存在条件.例如考察二阶Neumann边值问题
其中
$q(t) = \frac{1}{{30}} < 2\cos \left({1 - \frac{\pi }{{16}}} \right)$ ，易证
${f_0} = {f_\infty } = \frac{1}{{30}}$ .当$\frac{\lambda_{1}}{f_{0}}=\frac{\lambda_{1}}{f_{\infty}}=1$ 时问题(22)存在非平凡解u，其中λ1是问题(13)的主特征值，且λ1对应的正特征函数为φ1.若u∈(0，1)时，
对式(23)两边同时乘以φ1且两边从1到T求和可得
由此可得
$\sum\limits_{s = 1}^T {{u^2}} (s){\varphi _1}(s) = 0$ ，又因为u(t)>0，φ1(t)>0且$\sum\limits_{s = 1}^T {{u^2}} (t){\varphi _1}(t) = 0$ ，得到矛盾.同理可证，当u∈[1, 30]和u∈(30，∞)时，得到矛盾!故问题(22)无正解.
进一步由定理1和定理2易得如下推论：
推论 假定(H1)，(H2)成立.若满足下列条件之一：
(ⅰ) f0=∞，f∞=0；
(ⅱ) f0=0，f∞=∞，
则边值问题(1)至少存在一个正解.
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