Wong-Zakai Approximations of Stochastic p-Laplace Equation

本文中假设(X，d)是一个可分的完备度量空间并带有Borel-代数$\mathscr{B} $(X)且(Ω，$\mathscr{F} $，P)是一个概率空间，变换θ_t：$\mathbb{R}$×Ω→Ω是一个($\mathscr{B} $($\mathbb{R}$)×$\mathscr{F} $，$\mathscr{F} $)可测映射且满足θ₀是恒等映射，θ_t(s+t，·)=θ_t(t，·)$\circ $θ_t(s，·)是保测变换^[7].

本文考虑在Wong-Zakai逼近下定义在有界域$\mathscr{O} $⊂${{\mathbb{R}}^{n}}$的非自治随机p-Laplace方程：

且带有初值

其中：p≥2，λ>0，g∈L_loc²($\mathbb{R}$，L²($\mathscr{O} $)).对于非线性项，假设f：$\mathbb{R}$×${{\mathbb{R}}^{n}}$×$\mathbb{R}$→$\mathbb{R}$是连续的，对所有的t，s∈$\mathbb{R}$和x∈${{\mathbb{R}}^{n}}$，且

其中：α₁，α₂>0，ψ₁(t，x)∈L_loc¹($\mathbb{R}$，L¹($\mathscr{O} $))，ψ₂(t，x)∈L_loc^q₁($\mathbb{R}$，L^q₁($\mathscr{O} $))，ψ₃(t，x)∈L_loc^∞($\mathbb{R}$，L^∞($\mathscr{O} $))，$\frac{1}{q}+\frac{1}{{{q}_{1}}}$ =1.定义一个Laplacian算子A：W^1，p →W^-1，p₁且Au=-div(|▽u|^p-2 ▽u)(p₁是p的共轭指数).

当δ≠0时，定义随机变量$\mathscr{G}_\delta $：Ω→$\mathbb{R}$如下：

存在一个θ_t不变量集$\mathit{\Omega }\subseteq \widetilde{\mathit{\Omega }}$，对于每个ω∈$\widetilde{\mathit{\Omega }}$，有

由(4)式可得：

引理1 对∀ε>0，ω∈Ω，δ≠0，存在C_δ(ε，ω)>0，使得：

证 由(6)式可知

根据中值定理，存在一个r_t∈[t，t+δ]使得当t→±∞时

因此，当t→±∞时

此外，给定ε>0，由(7)式知，存在t_δ=t_δ(ε，ω)使得

由s→$\mathscr{G}_\delta $(θ_sω)的连续性可知

是一个有限的常数.因此，

则(8)式对所有的t∈$\mathbb{R}$成立.

由文献[8]可知，可得对∀τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω，u_τ∈L²($\mathscr{O} $)，方程(1)存在唯一的解

因此，由文献[9]可以定义一个连续协循环

使得对∀t∈$\mathbb{R}$⁺，τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω和u_τ∈L²($\mathscr{O} $)满足

为了证明拉回吸引子的存在性，进一步假设外力项g满足如下缓增条件：对∀τ∈$\mathbb{R}$，有

此外，定义吸引域$\mathscr{D} $为L²($\mathscr{O} $)上所有的缓增双参数集，即

且满足

其中‖D‖=sup_u∈D‖u‖_{L²($\mathscr{O} $)}.

本节将证明方程(1)拉回吸引子在L²($\mathscr{O} $)上的存在性.

引理2 假设(4)和(14)式成立，则对∀σ∈$\mathbb{R}$，τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω，D={D(τ，ω)：τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω}∈$\mathscr{D} $，存在T=T(σ，τ，ω，D)>0，使得对任意t≥ T，u₀∈D(τ-t，θ_-tω)，方程(1)的解满足：

证 让方程(1)两边乘u并在$\mathscr{O} $上积分可得

由Young不等式可知

根据假设(4)得

因此

对(18)式在(τ-t，σ)上使用Gronwall引理，其中σ≥τ-t并用θ_-τω替换ω可得

由(8)式和它的连续性可知，存在C_δ(ω)>0，使得

因u₀∈D(τ-t，θ_-tω)，结合(20)式，则存在T_δ=T_δ(σ，τ，ω，D)>0，使得

结合(19)与(21)式可知(16)式成立.

引理3  假设(4)式和(14)式成立，则方程(1)生成的连续协循环Φ在L²($\mathscr{O} $)上是$\mathscr{D} $-拉回渐近紧的.

证 只需证明对每一个τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω，D={D(τ，ω)：τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω}∈$\mathscr{D} $，当t_n +∞，u_0，n∈D(τ-t_n，θ_-tnω)时，数列Φ(t_n，τ-t_n，θ_-tnω，u_0，n)有一个收敛子列.令{u_0，n}_n=1^∞是有界集B中的序列，根据(19)式，取T>t且s∈[τ，T]，可得{u(·，τ，ω，u_0，n)}_n=1^∞在L^∞((τ，T)，L²($\mathscr{O} $))∩L^q((τ，T)，L^q($\mathscr{O} $))∩ L^p((τ，T)，W₀^1，p($\mathscr{O} $))中有界.

再次由假设(4)可知

所以{f(s，x，u(s，τ，ω，u_0，n))}在L^q₁((τ，T)，L^q₁($\mathscr{O} $))中有界.因此$\left\{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} u\left(\cdot, \tau, \omega, u_{0, n}\right)\right\}_{n-1}^{\infty}$在L²((τ，T)，L²($\mathscr{O} $))+L^q₁((τ，T)，L^q₁($\mathscr{O} $))+ L^p₁((τ，T)，W^-1，p₁($\mathscr{O} $))中有界.

进一步利用Sobolev紧嵌入定理，存在v∈L²((τ，T)，L²($\mathscr{O} $))使得u的收敛子列(仍然用原数列表示)在L²($\mathscr{O} $)上对几乎所有的s∈(τ，T)，

利用解对初始数据在L²($\mathscr{O} $)中的连续性以及(23)式，有

另一方面，令引理2中的σ=τ-1，则存在

和

使得对所有的t≥ T和u₀∈D(τ-t，θ_-tω)

因为t_n +∞，u_0，n∈D(τ-t_n，θ_-tnω)，根据(24)式，存在一个N=N(τ，ω，D)>0使得对所有的n≥N

这意味着{u(τ-1，τ-t_n，θ_-τω，u_0，n)}_n=1^∞在L²($\mathscr{O} $)上有界.因此数列

在L²($\mathscr{O} $)中预紧.又

引理得证.

定理1  假设(4)和(14)式成立，则方程(1)生成的连续协循环Φ在L²($\mathscr{O} $)上有唯一的$\mathscr{D} $-拉回吸引子$\mathscr{A} $={$\mathscr{A} $(τ，ω：τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω)}∈$\mathscr{D} $.

证 取引理2中的σ=τ，则Φ有一个吸收集$\mathscr{M} $(τ，ω)定义为

其中

首先证明ρ_δ(τ，ω)∈$\mathscr{D} $，事实上，由(8)式可知，存在C_δ(ω)>0，使得

则

因此$\mathscr{M} $(τ，ω)∈$\mathscr{D} $.由文献[10]中吸引子的存在性定理可知，协循环Φ存在唯一的$\mathscr{D} $-拉回吸引子$\mathscr{A} $.