-
近年来，有关半线性波动方程柯西问题的研究受到广泛的关注. 有很多学者[1-9]研究了如下波动方程的柯西问题
其中p>1，n≥1和u=u(t，x)∈
$\mathbb{R}$ ，ε>0.众所周知，(1)式中的临界指数Pcrit(n)即Strauss指数在波动方程解的全局性与爆破研究中起着重要作用. (1)式中的临界指数Pcrit(n)由下面一元二次方程的正根表示
也就是
对于n=1，有Pcrit(1)=∞.
对于(1)式的研究，学者们主要采用的方法是基于微分不等式和Kato引理. 然而，Kato引理只适用于二阶的微分方程，对于高阶的波动方程(比如四阶)，则需要寻找其他的办法. 近来有学者采用迭代办法研究了某些双曲方程解的全局性和爆破问题[10-16]. 有关其他的偏微分方程解的爆破问题研究可参考文献[17-19].
本文研究如下系数依赖于时间的非线性项的半线性双波动方程解的爆破问题
其中f(t)=(1+t)-α，0 < α < 2，p>1，ε>0，Δ是拉普拉斯算子.
目前，有关高阶的半线性双波动方程柯西问题解的爆破研究尚未得到展开. 其主要难点在于如何构造测试函数通过迭代方法来解决高阶波动方程柯西问题研究中出现的问题. 本文通过选取合适的测试函数进行迭代得到了在非临界情况下系数依赖于时间的非线性项的半线性双波动方程解的上界估计.
首先给出(2)式的柯西问题能量解的定义
定义1 设(u0，u1，u2，u3)∈H3(
$\mathbb{R}$ n)×H2($\mathbb{R}$ n)×H1($\mathbb{R}$ n)×L2($\mathbb{R}$ n)，对于u∈C([0，T)，H3($\mathbb{R}$ n))∩C1([0，T)，H2($\mathbb{R}$ n))∩C2([0，T)，H1($\mathbb{R}$ n))∩C3([0，T)，L2($\mathbb{R}$ n))且u∈Llocp([0，T)×$\mathbb{R}$ n)满足其中：φ(t，x)∈C0∞([0，T)×
$\mathbb{R}$ n)和t∈[0，T).对于(3)式，由分部积分可得
令t→T，则u满足(2)式定义的弱解的定义.
HTML
-
定理1 设
其中：p0(n，α)=
$\frac{{n + 3 - 2\alpha + \sqrt {{{(n + 3 - 2\alpha )}^2} + 16n - 48} }}{{2(n - 3)}}$ ，u2，u3)∈H3($\mathbb{R}$ n)×H2($\mathbb{R}$ n)×H1($\mathbb{R}$ n)×L2($\mathbb{R}$ n)是非负的紧致函数. 初始条件的支集落在半径为R的球BR内，使得ui(i=0，1，2，3)不恒为0. 特别的，假设∫$\mathbb{R}$ n(u3(x)+u2(x)-u1(x)-u0(x))dx>0和∫$\mathbb{R}$ n(2u1(x)-u0(x)-u2(x))dx>0. 如果u是(2)式的解，其生命跨度T(ε)满足u(t，·)⊂Bt+R，t∈(0，T)，那么存在一个正常数ε0=ε0(u0，u1，u2，u3，n，p，α，R)，使得当ε∈(0，ε0]时，u在有限时间爆破，其生命跨度的上界估计为其中
$\tilde {\tilde C}$ 独立于ε，且
-
设
(4) 式中，取φ≡1，{(s，x)∈[0，t]×
$\mathbb{R}$ n：|x|≤R+s}，可得联立(6)，(7)式，得到
对(8)式关于t积分3次，可得
因为支集u(t，·)⊂Bt+R，∀t∈(0，T)，由Hölder不等式，可得
由(9)，(10)式，可得
下面将通过对U(t)的下界进行迭代完成定理的证明. (11)式确定了迭代的框架. 为了推导U(t)的第一个下界估计，引入如下函数[20]
函数Φ(x)是正的，并且有下面的性质
令Ψ=Ψ(t，x)=e-tΦ(x)，显然，Ψ满足(∂t2-Δ)2Ψ=0.
定义辅助函数
对(8)式关于时间t求导数，得
应用Hölder不等式于(12)式，得到
将测试函数Ψ应用到(3)式，有
对(15)式分部积分并注意到Ψ的性质，可得
其中
联立(12)式和(16)式，得
设
于是，(17)式可化为
对(18)式积分，得
由(19)式和F(t)的定义，有
对(20)式关于t求积分，可推出
其中δ=min{1-e-2t，t e-2t}.
由定理的条件，可得当t≥t0时，有
由Ψ的渐近性，可得
其中
$\tilde K$ 为正常数，p′为p的共轭指数.由(14)，(22)和(23)式有
其中C0=
${\tilde C^p}{\tilde K^{ - \left( {p - 1} \right)}}$ ，s≥t0.联立(13)和(24)式可得
其中t≥t0.
对(25)式求积分，有
(26) 式可记为
其中
${K_0} = \frac{{{C_0}{\varepsilon ^p}}}{{(n + p)(n + p + 1)(n + p + 2)(n + p + 3)}}$ ，${\alpha _0} = \frac{{(n - 1)p}}{2} + \alpha $ ，β0=n+p+3，t≥t0.接下来，将通过迭代来推导U(t)的下界
其中非负实序列{Kj}j∈
$\mathbb{N}$ ，{αj}j∈$\mathbb{N}$ ，{βj}j∈$\mathbb{N}$ 将在下文定义.联立(11)和(28)式，得
接着取
则(29)式可化为
(31) 式表明(28)式对于j+1是成立的. 接下来，将对Kj，αj，βj进行估计.
由(30)式有
又由于
联立(30)和(33)式，得到
其中
$D = C{\left( {\frac{5}{{p - 1}} + {\beta _0}} \right)^{ - 5}}$ .对(34)式两边取对数可得
令j0=j0(n，p)∈
$\mathbb{N}$ 为满足的最小正整数，从而，对于j≥j0，由(35)式可得
其中E0=E0(n，p)>0.
联立(28)，(32)和(36)式，得到
其中j≥j0，t≥t0.
当t≥R+2t0时，有log(R+t)≤log(2(t-t0)). 于是(37)式化为
其中t-t0的指数为
由于0 < α < 2，当n=1，2，3时，p>1；当n≥4时，1 < p < p0(n，α).
取ε0=ε0(u0，u1，u2，u3，n，p，α，R)>0，使得
其中
${E_1} = {\left( {{2^{ - \left( {\frac{\alpha }{{p - 1}} + n + \alpha 0} \right)}}\varepsilon } \right)^{ - \frac{{2p(p - 1)}}{{{\rm{Y}}(n, p, \alpha )}}}}$ .因此，当ε∈(0，ε0]和t-t0>
$E_1^{ - 1}{\varepsilon ^{ - \frac{{2p(p - 1)}}{{{\rm{Y}}(n, p, \alpha )}}}}$ ≥R时，可得在(38)式中，令j→∞，可推出当ε∈(0，ε0]和t-t0>
$E_1^{ - 1}{\varepsilon ^{ - \frac{{2p(p - 1)}}{{{\rm{Y}}(n, p, \alpha )}}}}$ ≥R时U(t)的下界爆破. 这表明方程(2)不存在全局解. 进一步可得u的局部的生命跨度估计从而证明了定理1.
DownLoad: