On Global Attractors of Darcy-Cahn-Hilliard System

通过分部积分将方程组变形，得到方程弱解^[11]的形式

该形式方程组也满足方程(5)，(6)，(7)的初边值条件

定理1  假设φ₀∈H¹(Ω)和J(φ₀)≤C₀，方程组(10)-(15)存在以下形式的弱解

当任意的t∈(0，T)，方程组(10)-(15)满足以下估计：

证  利用伽辽金近似方法，即用有限维逼近无限维，对φ，p，μ构造出近似解. 我们将使用H¹(Ω)的一组有限维的正交基向量{ω_i}_{i=1，…，m}，这些基向量所张成的空间我们记为W_m，其中我们找到

代入方程(10)-(12)可得

在方程(16)中令q=ω_i，i=1，2，…，m，并同时乘$\frac{{{p_{i, m}}}}{\gamma }$，然后求和；在方程(17)中令v=ω_i，i=1，2，…，m，并同时乘μ_i，m，再求和；在方程(18)中令ψ=ω_i，i=1，2，…，m，同时乘$\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}{\varphi _{i, m}}$，再求和，最后将3个式子合并得到

对方程(19)两边同时对时间变量t求积分，得

因此

利用方程(4)，

故φ_m∈L²(0，T；H³(Ω)).

在方程(3)中内乘∀v∈H¹(Ω)，令Φ表示将标准的L²空间映射到H¹空间的投射算子，

对于‖φ_m‖_∞，利用Gagliardo-Nirenberg不等式^[12]

得‖φ_m‖_∞⁸≤c. 结合先验估计，可以得到

最后再结合Aubin-Lions引理以及勒贝格控制收敛定理^[13]得证.

下面进行一些能量估计.

在方程(10)中取q=p，在方程(11)中取v=μ，在方程(11)中取ψ =-φ_t，并将3式相加得到：

对任意的T＞0，同时对方程(20)取积分(0，t)，t∈(0， T)，则有：

并利用F(s)≥-c₀，(F(φ)，1)≥ $\frac{1}{2}\left\| \varphi \right\|_2^2 - \frac{3}{4}|\mathit{\Omega }|$，可得到

再利用方程(21)，得到

对方程(4)的空间变量进行求导，得到

利用范数估计以及Ladyzhenskaya不等式

我们得到

因此有

利用嵌入不等式

则有

接下来证明弱解的唯一性.

定理2  假设φ₀∈H¹(Ω)和J(φ₀)≤C₀，若函数空间Γ满足额外的光滑性条件：

则在函数空间Γ中，方程组(10)-(15)存在唯一弱解.

证  假设(φ₁，p₁，μ₁)和(φ₂，p₂，μ₂)是方程组(10)-(15)的两组弱解，令φ=φ₁-φ₂，u=u₁-u₂，p=p₁-p₂，μ=μ₁-μ₂. 我们将两组弱解分别代入方程(10)-(12)，再合并得到

在方程(28) 两边同时乘φ，在方程(29)两边同时乘μ，再对空间变量求积分，将两个方程相加，并利用Ladyzhenskaya不等式以及Agmon不等式，得

在方程(29)中乘Δφ，对空间变量积分，得

在方程(27)中乘u，在方程(28)中乘μ，在方程(29)中乘-φ_t，分别同时积分并相加

结合$\mathop {f(s)}\limits^ \cdot \ge - 1$，利用拉格朗日中值定理

因此方程(31)可变形为

由方程(30)，(31)，(32) 可得

结合定理假设条件以及Gronwall不等式^[14]，知

即φ₁=φ₂.

在方程(11)中令v=1，得到$\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\int_\mathit{\Omega } {\varphi {\rm{d}}x = 0} $，即令〈φ〉 = $\frac{1}{{|\mathit{\Omega }|}}\int_\mathit{\Omega } {\varphi {\rm{d}}x} $，${I_0} = \frac{1}{{|\mathit{\Omega |}}}\int_\mathit{\Omega } {\varphi {\rm{d}}x} = \frac{1}{{|\mathit{\Omega }|}}\int_\mathit{\Omega } {{\varphi _0}{\rm{d}}x} $. 在方程(1)，(3)，(4)中分别乘u，μ，φ，并同时对空间变量求积分，3个方程相加，由分部积分得

对于等号右边的项，我们利用庞加莱不等式以及不等式估计有

利用2F(s)≤f(s)s，Young不等式以及方程(33)，(34)得到

通过Gronwall不等式得

最后通过(F(φ)，$1) \ge \frac{1}{2}\left\| \varphi \right\|_2^2 - \frac{3}{4}|\mathit{\Omega }|$可知，存在时间T，当时间t满足t≥T时，有

在方程(11)中令v=Δ²φ，则有

利用Young不等式与Ladyzhenskaya's不等式得

以及Agmon不等式

接着

利用(22)，(24)，(25)，(26)式以及Gronwall引理，当t≥T+1，得

为了得到全局吸引子，先介绍引理1. 首先定义半群S(t)，即一簇作用在H¹上的非线性算子

并且满足：

引理1^[15]  若S(t)有一个有界的吸收集B₁，并且这个吸收集B₁在H¹(Ω)是相对紧的，则S(t)存在全局吸引子Λ.

定理3  假设u₀∈H¹(Ω)，在L²(Ω)，H¹(Ω)中，方程组(10)-(15)存在全局吸引子Λ₀，Λ₁.

证  令

由方程(35)以及方程(37)知，对S(t)来说，在L²(Ω)中， B₀是一个有界的吸收集，在H¹(Ω)中B₁是一个有界的(H¹，H¹)吸收集. 再由引理1和紧性嵌入定理知H¹$ \circlearrowleft $L²，H²$ \circlearrowleft $H¹，得到在L²(Ω)，H¹(Ω)中，方程组(10)-(15)分别存在全局吸引子Λ₀，Λ₁.