Existence of Uniform Random Attractors for Stochastic Reaction Diffusion Equations with Multiplicative Noise on Unbounded Domain

本节将引入非自治随机动力系统的一些概念和理论^[7-10].

令(X，d)为可分的Banach空间，X上的非空集间的Hausdorff半距离定义为

对于任意度量空间M，我们用$\mathscr{B} $(M)表示其上的σ-代数. 令(Σ，d_Σ)为紧的Polish度量空间，且在如下意义下是不变的：

其中ϑ为光滑的平移算子，若满足：

1) ϑ₀是Σ上的恒等算子；

2) ϑ_s$ \circ $ϑ_t=ϑ_t+s，∀t，s∈$\mathbb{R}$；

3) (t，g)$ \mapsto $ϑ_tg是连续的.

同时，我们定义(Ω，$\mathscr{F}$，$\mathbb{P}$)为概率空间，定义在其上的动力系统{θ_t}_{t∈$\mathbb{R}$}满足：

1) θ₀是Ω上的恒等算子；

2) θ_tΩ=Ω，∀t∈$\mathbb{R}$；

3) θ_s$ \circ $θ_t=θ_t+s，∀t，s∈$\mathbb{R}$；

4) (t，ω)$ \mapsto $θ_tω是($\mathscr{B} $($\mathbb{R}$)×$\mathscr{F}$，$\mathscr{F}$)-可测；

5) $\mathbb{R}$-保测：$\mathbb{R}$(θ_tF)=$\mathbb{R}$(F)，∀t≤0，F∈$\mathscr{F}$.

分别作用在Σ和Ω上的两个群ϑ_{t t∈$\mathbb{R}$}和{θ_t}_{t∈$\mathbb{R}$}称为基流.

定义1  对于φ(t，ω，g，x)：$\mathbb{R}$⁺×Ω×Σ×X$ \mapsto $X，若满足：

1) φ是($\mathscr{B} $($\mathbb{R}$⁺)×$\mathscr{F}$×$\mathscr{B} $(Σ)×$\mathscr{B} $(X)，$\mathscr{B} $(X))-可测的；

2) φ(0，ω，g，·)是X上的恒等映射，∀g∈Σ，ω∈Ω；

3) 对每个固定的g∈Σ，x∈X，ω∈Ω，有如下余圈性质成立：

则称φ(t，ω，g，x)为定义在X，(Σ，ϑ_{t t∈$\mathbb{R}$})和(Ω，$\mathscr{F}$，$\mathbb{P}$，{θ_t}_{t∈$\mathbb{R}$})上的非自治随机动力系统.

令D是X中的随机集族组成的集合.

定义2  称K=K{K(ω)}_ω∈Ω为φ的$\mathscr{D} $一致吸收集，若对任意的ω∈Ω和B∈$\mathscr{D} $，都存在T=T(ω，B)，使得

其中

称K={K(ω)}_ω∈Ω为φ的$\mathscr{D} $一致吸引集，若对任意的ω∈Ω，有

定义3  假设φ是定义在Banach空间X上的非自治随机动力系统，并且关于符号空间Σ和X连续. 若对任意的B∈$\mathscr{D} $，ω∈Ω与序列{t_n}，满足0 < t_n→∞和x_k∈B(θ_-tnω)，序列{φ(t_n，θ_-tnω，Σ，x_k)}于X中有收敛子序列，则称连续随机动力系统φ是$\mathscr{D} $一致渐近紧的.

定义4  若$\mathscr{A} $属于$\mathscr{D} $，且是最小的紧$\mathscr{D} $一致吸引集，则称随机集$\mathscr{A} $={$\mathscr{A} $(ω)}_ω∈Ω为φ的$\mathscr{D} $一致吸引子.

定义5  若对所有的β>0，ω∈Ω，满足

则称随机有界集{B(ω)}_ω∈Ω关于{θ_t}_{t∈$\mathbb{R}$}是缓增的，其中d(B)= $\mathop {\sup }\limits_{x \in B} {\left\| \cdot \right\|_X}$.

定理1^[8]  假设φ是定义在Banach空间X上的非自治随机动力系统，并且关于符号空间Σ和X连续. 若φ有闭的$\mathscr{D} $一致吸收集B∈$\mathscr{D} $，且φ在X上是$\mathscr{D} $一致(拉回)渐近紧的，那么φ有唯一的$\mathscr{D} $一致随机吸引子$\mathscr{A} $={$\mathscr{A} $(ω)}_ω∈Ω∈$\mathscr{D} $，其中

令H为一Banach空间，定义L_loc²($\mathbb{R}$；H)上的平移算子群{ϑ_t}_{t∈$\mathbb{R}$}为

若g的壳$\mathscr{H} $(g)：={ϑ_tg(·)：t∈$\mathbb{R}$}是L_loc^2，ω($\mathbb{R}$；H)中的紧集，则称g∈L_loc²($\mathbb{R}$；H)且是平移紧的.

命题1^[11]  假设g₀∈L_loc²($\mathbb{R}$；H)于L_loc^2，ω($\mathbb{R}$；H)中就平移紧的，那么

1) 平移算子ϑ_t在$\mathscr{H} $(g₀)上按照L_loc^2，ω($\mathbb{R}$；H)的拓扑是连续的；

2) g的壳是平移不变的，即$\mathscr{H} $(g₀)=ϑ_t$\mathscr{H} $(g₀)，∀t∈$\mathbb{R}$；

3) 任意函数g∈$\mathscr{H} $(g₀)在L_loc^2，ω($\mathbb{R}$；H)中是平移紧的，且$\mathscr{H} $(g)⊆$\mathscr{H} $(g₀)；

4) 等价地，g₀在L_loc²($\mathbb{R}$；H)中是平移有界的，即

5) 对任意的g∈$\mathscr{H} $(g₀)，都有G(g)≤G(g₀).

命题2^[8]  令g₀∈L_loc²($\mathbb{R}$；H)且是平移有界的，有

本节中，我们建立方程(1)所对应的连续随机动力系统. 定义在$\mathbb{R}$上的群(θ_1，t)_{t∈$\mathbb{R}$}：

则($\mathbb{R}$，(θ_1，t)_{t∈$\mathbb{R}$})是一个参数动力系统. 考虑概率空间(Ω，$\mathscr{F}$，$\mathbb{P}$)，其中Ω={ω=(ω₁，ω₂，…，ω_k)∈C($\mathbb{R}$，$\mathbb{R}$^k)：ω(0)=0}，$\mathscr{F}$是Borel σ-代数，$\mathbb{P}$是相应的Wiener测度. 定义(Ω，$\mathscr{F}$，$\mathbb{P}$)上的群(θ_2，t)_{t∈$\mathbb{R}$}：

则(Ω，$\mathscr{F}$，$\mathbb{P}$，(θ_2，t)_{t∈$\mathbb{R}$})是一个遍历度量动力系统.

为了定义(1)所生成的连续随机动力系统，我们需要将(1)式转换成一个带随机变量的非自治动力系统.

给定布朗运动驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程的稳态解：

由文献[12]可知，z_j^*(θ_2，tω_j)满足一维$It\hat o$微分方程：

同时，随机变量z_j^*(θ_2，tω_j)是缓增且连续的，并且满足条件：

又令

其中u是方程(1)的解. 则v满足方程：

初值为

通过Galerkin方法可知，对于任意的t>τ，τ∈$\mathbb{R}$，v_τ∈L²($\mathbb{R}$ⁿ)，在假设(2)-(5)下，方程(12)存在唯一的解v=v(t，τ，ω，g，v_τ)，且v(t，τ，ω，g，v_τ)关于初值v_τ(x)连续(见引理4).

定义映射φ：$\mathbb{R}$⁺×Ω×Σ×L²($\mathbb{R}$ⁿ) L²($\mathbb{R}$ⁿ)，有

其中u_τ∈L²($\mathbb{R}$ⁿ)，t∈$\mathbb{R}$⁺，τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω，从而φ是系统(1)所对应的非自治随机动力系统.

令B是L²($\mathbb{R}$ⁿ)上一有界非空随机子集，记‖B‖= $\mathop {\sup }\limits_{\chi \in B} $‖χ‖_{L²($\mathbb{R}$ⁿ)}. 假设D={D(τ，ω)：τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω}是L²($\mathbb{R}$ⁿ)中的一个非空有界子集族，且对于任意的τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω满足：

令$\mathscr{D} $为

为了证明φ于L²($\mathbb{R}$ⁿ)中$\mathscr{D} $一致吸引子的存在性，我们将给出系统(1)的一致估计，并且说明当时间足够大时，方程解的尾部估计是一致小的. 首先，我们证明φ于L²($\mathbb{R}$ⁿ)中存在$\mathscr{D} $一致吸收集.

引理1  假设g∈$\mathscr{H} $(g₀)，g₀∈L_loc²($\mathbb{R}$；H)且平移有界，(2)-(5)式成立. 则对任意的v_τ-t∈D(τ-t，ω)，D={D(τ，ω)：τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω}∈$\mathscr{D} $，$\mathbb{P}$-a.e.的ω∈Ω，存在T_D(τ，ω)>0以及缓增随机变量r₁(ω)，使得当t≥T_D(τ，ω)时，满足：

证  将(12)式与v在L²($\mathbb{R}$ⁿ)中做内积，可得

现在对(18)式进行逐项估计，结合条件(2)-(5)，可得：

对于(18)式中最后一项，利用Cauchy-Schwarz不等式，可得

由于a(x)∈L¹($\mathbb{R}$ⁿ)∩L^∞($\mathbb{R}$ⁿ)，结合(18)-(21)式可知

舍去(22)式中的不等式右边第一项，在(τ-t，τ)上应用Gronwall引理，得到

在(23)式中，用θ_2，-τω替代ω，用ϑ_2，-τg替代g，得到

由(10)式可知

这意味着存在κ>0，使得对任意的s < -κ，满足

结合(25)-(26)式，可知

在(27)式中，令$\frac{1}{2}$λ(1-σ)=η. 则由命题2可知，

因此，将(28)式代入(27)式中，可得

注意到{D(τ-t，θ_2，-tω)}∈$\mathscr{D} $是缓增的，对任意的v_τ-t∈D(τ-t，θ_2，-tω)，有

令

由此，引理得证.

给定ω∈Ω，令

可知{K(τ，ω)：τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω}∈D是一个φ的D一致吸收集.

引理2  假设g∈$\mathscr{H} $(g₀)，g₀∈L_loc²($\mathbb{R}$；H)且平移有界，(2)-(5)式成立. 对任意的v_τ-t∈D(τ-t，ω)，D={D(τ，ω)：τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω}∈$\mathscr{D} $，$\mathbb{P}$-a.e.的ω∈Ω，则存在T_D(τ，ω)≥1，对所有的t≥T_D(τ，ω)，方程(12)-(13)的解v满足：

证  用T替代τ，并用θ_2，-τω替代ω，用ϑ_2，-τg替代g，代入(23)式中，则对每个T≥τ-t，t≥1，有

在(34)式两边同时乘以${e^{2\sigma \int_T^\tau {\delta \left( {{\theta _2}, s - \tau \omega } \right){\rm{d}}s - \lambda \left( {\tau - T} \right)} }}$，并令τ-t < T≤τ，我们得到

对(22)式应用Gronwall引理，当τ-t < T≤τ时，有

故有

用θ_2，-τω替代ω，用ϑ_2，-τg替代g，代入(37)式，并结合(35)式，我们得到

用τ-1替代T，代入(38)式中，可得

易知，对于s∈[τ -1，τ]，

由于随机变量z(θ_2，tω)是缓增的，v_τ-t∈D(τ-t，ω)，结合(25)-(28)式，于是有

因此，存在T_D(τ，ω)≥1，使得当t≥T_D(τ，ω)时，

显然，r₂(ω)是缓增的. 由此，引理得证.

引理3  假设g∈$\mathscr{H} $(g₀)，g₀∈L_loc²($\mathbb{R}$；H)且平移有界，(2)-(5)式成立. 则对任意的v_τ-t∈D(τ-t，ω)，D={D(τ，ω)：τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω}∈$\mathscr{D} $，$\mathbb{P}$-a.e.的ω∈Ω，存在T_D(τ，ω)≥1，对所有的t≥T_D(τ，ω)，方程(12)-(13)的解v满足下列不等式

其中r(ω)是缓增随机变量.

证  将(12)式与-Δv在L²($\mathbb{R}$ⁿ)中作内积可得

首先我们对(44)等式右边进行逐项估计.

考虑第一项，根据条件(2)-(5)，利用Young不等式，Holder不等式和Cauchy-Schwarz不等式可得

考虑第二项，

由(44)-(47)式可知

类似引理2，令T_D(τ，ω)≥1是正常数. 当B={B(ω)}_ω∈Ω∈$\mathscr{D} $时，将(48)式在(s，τ)上积分，其中s∈(τ-1，τ)，我们有

将(49)式对s在(τ-1，τ)上积分可得

在(50)式中用θ_2，-τω替代ω，用ϑ_2，-τg替代g，类似引理1中做法，结合(26)和(50)式可得

结合引理1和引理2可知，对任意的t≥T_D(τ，ω)≥1，有

注意到a(x)∈L¹($\mathbb{R}$ⁿ)∩L^∞($\mathbb{R}$ⁿ)，a(x)>0，故r₂(ω)是缓增的，容易证明r(ω)是缓增的，由此引理得证.

引理4  假设g∈$\mathscr{H} $(g₀)，g₀∈L_loc²($\mathbb{R}$；H)且平移有界，且(2)-(5)式成立. 则方程(12)-(13)的解是($\mathscr{F}$，$\mathscr{B} $(L²($\mathbb{R}$ⁿ)))-可测，并且解关于初值v_τ(x)和g连续.

证  令v₁和v₂是方程(12)-(13)的两个解，令w(t)=v₁(t)-v₂(t)，则w(τ)= v_1，τ(x)-v_2，τ(x)，且w(τ)满足

将(53)式与w(t)在$\mathbb{R}$ⁿ上做内积，我们得到

由条件(2)-(5)可得

结合(53)-(57)式可知

故有

舍去不等式右边第一项，并运用Gronwall引理

由此，引理得证.

引理5  假设g∈$\mathscr{H} $(g₀)，g₀∈L_loc²($\mathbb{R}$；H)且平移有界，(2)-(5)式成立. 则对任意的v_τ-t∈D(τ-t，ω)，D={D(τ，ω)：τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω}∈$\mathscr{D} $，ε>0，以及$\mathbb{P}$-a.e.的ω∈Ω，存在T^*= T^*(τ，ω，D，ε)≥1和$\mathbb{R}$^*=$\mathbb{R}$^*(τ，ω，ε)>0，当t≥T^*时，(12)-(13)的解v(t，τ，ω，g，v_τ-t)满足

证  令ρ为一个光滑函数，且对于任意的s∈$\mathbb{R}$⁺，有0≤ρ(s)≤1，且满足

则存在一个常数C，对于任意的s∈$\mathbb{R}$⁺，有|ρ′|≤C. 将(12)式与$\rho \left( {\frac{{|x{|^2}}}{{{k^2}}}} \right)v$在L²($\mathbb{R}$ⁿ)中做内积可得

接下来对(63)式采取逐项估计

对于非线性项，可得

对(63)式中的最后一项，

综合(63)-(66)式，可得

对(67)式在(τ-t，τ)上运用Gronwall引理，并用θ_2，-τω替代ω，用ϑ_2，-τg替代g，我们得到当τ∈$\mathbb{R}$，t≥0且ω∈Ω时，有

现对(68)式中不等式右边进行逐项估计. 首先由(30)式得到，对任意的ε>0，存在T₁=T₁(τ，ω，D，ε)≥1，使得对所有的t≥T₁，满足

用s替代τ，其中τ-t < s < τ，并用θ_2，-τω替代ω，用ϑ_2，-τg替代g，我们得到

由g∈$\mathscr{H} $(g₀)，g₀∈L_loc²($\mathbb{R}$；H)且平移有界，结合(25)-(29)式可得，对任意的t≥T₂和k≥R₁，存在T₂=T₂(τ，ω，D，ε)>T₁和R₁=R₁(τ，ω，ε)>0，满足

用τ-t替代T，由(33)式可知，对任意的t≥T₃和k≥R₂，存在T₃=T₃(τ，ω，D，ε)>T₁和R₂=R₂(τ，ω，ε)>0，满足

再次利用命题2，结合(25)-(29)式，设a(x)∈L¹(Rⁿ)∩L^∞(Rⁿ)，对任意的t≥T₄和k≥R₃，存在T₄=T₄(τ，ω，D，ε)>T₁和R₃=R₃(τ，ω，ε)>0，满足

令T^*=T^*(τ，ω，D，ε)=max{T₁，T₂，T₃，T₄}，R^*=R^*(τ，ω，ε)=max{R₁，R₂，R₃}，结合(68)-(73)式可得，对所有的t≥T^*和k≥R^*，有

故有

由此，引理得证.

引理6  假设g∈$\mathscr{H} $(g₀)，g₀∈L_loc²($\mathbb{R}$；H)且平移有界，且(2)-(5)式成立. 则随机动力系统φ在L²($\mathbb{R}$ⁿ)上D_H一致拉回渐近紧的，即对ω∈Ω，当t_n→∞，g∈$\mathscr{H} $(g₀)，u_0，n∈B(θ_-tnω)时，序列{φ(t_n，ϑ_-tnω，θ_-tng，u_0，n)}在L²($\mathbb{R}$ⁿ)上有收敛子序列.

证  由引理4知，方程(1)的解关于初值Lipschitz连续，应用引理1，2，3，5，即可得证明.

下面给出本文所得结论：

定理2  假设g∈$\mathscr{H} $(g₀)，g₀∈L_loc²($\mathbb{R}$；H)且平移有界，且(2)-(5)式成立. 那么由方程(1)所对应的非自治随机动力系统φ存在唯一的$\mathscr{D} $一致随机吸引子$\mathscr{A} $∈$\mathscr{D} $.

证  由引理1、引理5及引理6，并应用定理1即可得结论.