Existence and Multiplicity of Solutions for a Class of Klein-Gordon-Maxwell Systems

研究如下Klein-Gordon-Maxwell系统：

其中: $\omega>0$是一个常数; $1<s<2, \lambda, \mu$是参数; $u, \phi:$ $\mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}, f, g:$ $\mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R} \longrightarrow$皿. 系统(1) 起源于数学物理领域中的某些应用问题. 为了描述三维空间中非线性Klein-Gordon场与静电场之间相互作用所产生的孤立波问题, 文献[1] 首次提出了如下Klein-Gordon-Maxwell系统模型：

其中0 < ω < m₀，4 < q < 6，m₀和e分别表示粒子的质量和电量，而ω表示相位.系统的未知因素是联系粒子的场u和电磁位势ϕ. 有关系统(2)物理方面的详述可参见文献[1-2]. 作为系统(2)的一般情形，系统(1)近年来受到了众多学者的关注(见文献[3-25]). 需特别提及的是：文献[15-16]考虑了系统(1)无穷多解的存在性问题，但其所考虑的凹凸非线性项均是特殊的非线性项，且凸非线性项满足超4次条件；文献[22]在非线性项满足局部(AR)条件时考虑了系统(1)解的存在性和多重性.

本文的主要目的是当凸非线性项是不满足局部(AR)条件的一般非线性项，且非线性项含有两个参数时，利用变分法讨论两个参数对系统(1)解的存在性和多重性的具体影响. 本文的结论完善了已有文献的相关结果.

本文针对位势函数V及非线性项α，f做如下假设：

(V) $V \in C { (\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}), } $ $\inf\limits _{x \in \mathbb{R}^{3}} V(x)>0 \text {, 且对 } \forall M>0 \text {, 有 } \operatorname{meas}\left\{x \in \mathbb{R}^{3}: V(x) \leqslant M\right\}<\infty$;

$\left(\mathrm{F}_{1}\right) f \in C\left(\mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}, \mathbb{R}\right.$), $\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(x, t)}{t}=0$关于$x \in \mathbb{R}^{3}$一致成立;

$\left(\mathrm{F}_{2}\right)$存在常数$C_{1}>0$及$2<p<6$, 满足$|f(x, t)| \leqslant C_{1}\left(1+|u|^{p-1}\right), \forall(x, t) \in$ $\mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{*}$;

$\left(\mathrm{F}_{3}\right)$存在常数$\theta>0, r_{0}>0$, 使得$\widetilde{F}(x, t)=f(x, t) t-2 F(x, t) \geqslant \theta|t|^{p}, \forall x \in \mathbb{R}^{3}, |u| \geqslant r_{0}$;

$\left(\mathrm{F}_{4}\right) \lim _{|t| \rightarrow \infty} \frac{F(x, t)}{|t|^{2}}=+\infty$关于$x \in$ $\mathbb{R}^{3}$一致成立, 且$f(x, t) t \geqslant 2 F(x, t) \geqslant 0, \forall(x, t) \in$ $\mathbb{R}^{3} \times \boldsymbol{R}^{\prime} ;$

$\left(\mathrm{F}_{5}\right) f(x, -t)=-f(x, t), \forall(x, t) \in \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}$;

(A) $\alpha(x) \in L^{\frac{2}{2-s}}\left(\mathbb{R}^{3}\right), 1<s<2, \alpha(x) \geqslant 0$.

定理1    假设V，f，α分别满足条件(V)，(F₁)-(F₄)及(A)，则：

(i) 对$\forall \lambda>0$, 存在$\bar{\mu}_{\lambda}>0$, 使得对$\forall \mu \in\left(-\bar{\mu}_{\lambda}, \bar{\mu}_{\lambda}\right.$), 系统(1) 至少有一个非平凡解;

(ii) 对$\forall \lambda>0$, 存在$\bar{\mu}_{\lambda}>0$, 使得对$\forall \mu \in\left(0, \bar{\mu}_{\lambda}\right)$, 系统(1) 至少有两个非平凡解;

(iii) 对$\forall \mu>0$, 存在$\bar{\lambda}_{\mu}>0$, 使得对$\forall \lambda \in\left(0, \bar{\lambda}_{\mu}\right)$, 系统(1) 至少有两个非平凡解.

定理2    假设V，f，α分别满足条件(V)，(F₁)-(F₅)及(A)，则对$\forall \lambda>0, \mu \in \mathbb{R}$，系统(1)有一列高能量解.

定理3    假设V，f，α分别满足条件(V)，(F₁)-(F₅)及(A)，则对$\forall \lambda>0, \mu>0$，系统(1)有一列负能量解.

注1    确实存在函数满足条件(F₁)-(F₄)，但不满足(AR)条件及超4次条件，如

注2    与文献[15-16]的结论相比，本文在凸非线性项是一般非线性项，且不满足超4次条件下讨论了系统(1)解的存在性和多重性.

与文献[22]的结论相比，本文从两个方面改进了其结果：

(i) 本文在非线性项不满足局部(AR)条件而满足更弱的超线性条件时给出了系统(1)解的存在性和多重性结果；

(ii) 本文在参数μ满足更大范围的限制性条件下仍获得了与其相同的结果：系统(1)有一个非平凡解和一列高能量解，且本文还讨论了一列负能量解的存在性问题.

因此本文完善了已有文献的相关结果.

令

表示Sobolev空间，其范数定义为

$H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)=\left\{u \in L^{2}\left(\mathbb{R}^{3}\right): \nabla u \in L^{2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)\right\}$，其内积和范数分别定义为

定义

由条件(V)，H是Hilbert空间，其内积和范数分别定义为

显然，在条件(V)下，对任意的2≤p < 6，嵌入映射$H \circlearrowleft L^{p}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$是紧映射，且对任意的2≤p≤6，存在S_p>0，使得

系统(1)具有变分结构，对$\forall(u, \phi) \in H \times D^{1, 2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$，定义其能量泛函

易知系统(1) 的弱解$(u, \phi) \in H \times D^{1, 2}(\mathbb{R}^{3})$对应着泛函$J$的临界点. 由于$J$是强不定的, 为了克服这种困难, 需要对泛函进行一些简化, 将泛函$J$转化成只含有一个变量$u$的式子.

引理1^[3]    对$\forall u \in H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \text {, 存在唯一的 } \phi=\phi_{u} \in D^{1, 2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$，满足

更进一步，映射$\mathit{\Phi}: u \in H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \longrightarrow \mathit{\Phi}[u]=\phi_{u} \in D^{1, 2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$是连续可微的，并且满足：

(i) 在集合$\{x: u(x) \neq 0\}$上, $-\omega \leqslant \phi_{u} \leqslant 0$;

(ii) $\left\|\phi_{u}\right\|_{D 1, 2} \leqslant C\|u\|^{2}$, 且$\int_{\mathbb{R}^{3}}\left|\phi_{u}\right| u^{2} \mathrm{~d} x \leqslant C\|u\|^{4}$.

在(4)式左右两端同时乘以ϕ_u，并分部积分，可得

结合(5)式及J的定义知，I(u)=J(u，ϕ_u)可化简为

由条件(V)，(F₁)-(F₃)及引理1易知，I定义在空间H上是有意义的，且$I \in C^{1}(H, \mathbb{R})$，其所对应的导数为

由文献[1]的命题$3.5$知, $u$是泛函$I$的临界点当且仅当$(u, \phi) \in H \times D^{1, 2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$是系统(1) 的解, 并且$\phi=\phi_{u}$. 因此, 为了得到系统(1) 的非零解, 我们只需寻找泛函$I$的非零临界点即可.

令

令$\left\{e_{i}\right\}$为空间$H$的一组正交基. $X_{i}=\mathbb{R}e_{i}, Y_{k}=\bigoplus_{i=1}^{k} X_{i}, Z_{k}=\oplus_{i=k+1}^{\infty} X_{i}, k \in \mathbb{N}$. 为了证明定理$1-$定理3, 我们给出以下几个引理:

引理2^[26]    设$1<s<2<r, A, B>0$, 令$\mathit{\Psi}_{A, B}(t)=t^{2}-A t^{s}-B t^{r}(t \geqslant 0)$. 则$\max\limits _{t \geqslant 0} \mathit{\Psi}_{A, B}(t)>0$当且仅当$A^{r-2} B^{2-s}<d(r, s)=\frac{(r-2)^{r-2}(2-s)^{2-s}}{(r-s)^{r-s}}$. 若$t=t_{B}=\left[\frac{2-s}{B(r-s)}\right]^{\frac{1}{r-2}}$, 则有

引理3    假设条件(V)，(F₁)-(F₄)及(A)成立，则对$\forall \lambda>0, \mu \in \mathbb { R }$，I在空间H满足(PS)_c条件.

证    设$ \left\{u_{n}\right\} \subset H$是泛函I的任一(PS)_c序列，即

从而存在常数M>0，使得

首先证明：(PS)_c序列{u_n}有界.

下面采用反证法证明$\left\|u_{n}\right\|$有界. 假设存在$\left\{u_{n}\right\}$的一个子列(不失一般性, 仍记此子列为$\left\{u_{n}\right\}$), 使得$\left\|u_{n}\right\| \rightarrow \infty$. 令$\omega_{n}=\frac{u_{n}}{\left\|u_{n}\right\|}$, 则$\left\|\omega_{n}\right\|=1$. 因为对任意的$2 \leqslant p<6$, 嵌人映射$H \cup L^{p}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$是紧的, 所以存在$\left\{\omega_{n}\right\}$的一个子列(不失一般性, 仍记之为$\left\{\omega_{n}\right\}$) 和$\omega_{0} \in H$, 使得

令$\mathit{\Omega}=\left\{y \in \mathbb{R}^{3}: \omega_{0}(y) \neq 0\right\}$. 若meas$(\mathit{\Omega})>0$, 则$\left|u_{n}\right|=\left|\omega_{n}\right|\left\|u_{n}\right\| \rightarrow \infty$ (a. e. $x \in \mathit{\Omega}(n \rightarrow \infty)$).

由条件(F₄)和Fatou引理知

而由引理1(i)及(6)式知

这显然与(7) 式是矛盾的, 故$\operatorname{meas}(\mathit{\Omega})=0$. 从而有$\omega_{0}=0$, 且在$L^{p}\left(\mathbb{R}^{3}\right)(2 \leqslant p<6)$中$\omega_{n} \rightarrow 0$.

由条件(F₃)-(F₄)及引理1(i)知

因在$L^{p}\left(\right.$ R $\left.^{3}\right)(2 \leqslant p<6)$中$\omega_{n} \rightarrow 0$, 则

由条件(F₁)-(F₂)知，对$ \forall \varepsilon>0$，存在C_ε>0，满足

故由条件(F₁)-(F₃)，(A)，(6)，(8)，(9)式及引理1(i)知

这显然是矛盾的，故序列{u_n}是有界的.

其次证明{u_n}在空间H中有一个强收敛的子列.

由文献[14]中引理2.4的证明过程知

令

则

故由$(10)-(15)$式知, 在空间$H$中$u_{n} \rightarrow u(n \rightarrow \infty)$.

引理4    假设条件(V)，(F₁)-(F₄)及(A)成立，则泛函I(u)满足如下山路结构：

(i) 对$\forall \lambda>0$, 存在$\bar{\mu}_{\lambda}>0, \alpha>0, \rho>0$, 使得对$\forall \mu \in\left(-\bar{\mu}_{\lambda}, \bar{\mu}_{\lambda}\right), I(u) \mid\|u\|=\rho \geqslant \alpha>0$, 或对$\forall \mu>0$, 存在$\bar{\lambda}_{\mu}>0, \alpha>0, \rho>0$, 使得对$\forall \lambda \in\left(0, \bar{\lambda}_{\mu}\right), \left.I(u)\right|_{\|u\|=\rho} \geqslant \alpha>0$;

(ii) 对$\forall \lambda>0, \mu \in$目, 存在$e \in H$满足$\|e\|>\rho$, 使得$I(e)<0$.

证    (i) 由(9)式及引理1(i)知

取$\varepsilon \in\left(0, \frac{1}{2 S_{2}^{2} \lambda}\right]$，则

令$D=\frac{4}{s}\|\alpha\| \frac{2}{2-s} S_{2}^{s}, E=\frac{4 C_{\varepsilon}}{p} S_{p}^{p}$, 取$r=p$, 则由引理2知, 当$A^{p-2} B^{2-s}<d(p, s)$时, 有

其中

即对$\forall \lambda>0$, 当$|\mu|<\frac{1}{D}\left(d(p, s)(\lambda E)^{s-2}\right)^{\frac{1}{p-2}}=\bar{\mu}_{\lambda}$, 或对$\forall \mu>0$, 当$\lambda<\frac{1}{E}\left(d(p, s)(\mu D)^{2-p}\right)^{\frac{1}{2-s}}=\bar{\lambda}_{\mu}$时, $I(u) \geqslant \frac{1}{4} \mathit{\Psi}_{A, B}\left(t_{B}\right)>0$. 令$\alpha=\frac{1}{4} \mathit{\Psi}_{A, B}\left(t_{B}\right), \rho=t_{B}$, 则$\alpha>0$且$\left.I\right|_{\|u\|=\rho} \geqslant \alpha>0$.

(ii) 因为

所以对$\forall t>0, u \in H \backslash\{0\}$, 有

故由条件(F₄)及Fatou引理知

因此存在$t_{0}>0, e=t_{0} u$, 满足$\|e\|>\rho$, 使得$I(e)<0$.

引理5    假设条件(V)，(F₁)-(F₄)及(A)成立，则对$\forall \lambda>0, \mu \in \mathbb{R}$，有：

(i) 存在$\alpha>0, \rho>0$, 使得$\left.I\right|_{\partial B_{\rho} \cap Z_{k}} \geqslant \alpha$;

（ii）对任意的有限维子空间$\widetilde{E} \subset H$, 存在$R=R(\widetilde{E})>0$, 使得$\left.I\right|_{\tilde{E} \backslash B_{R}} \leqslant 0$.

证    (i) 在(9)式中取ε=ε₀>0为某一给定的常数，则存在C_ε0>0，满足

令$\beta_{k}=\mathop {{\rm{sup}}}\limits_{u \in {Z_k},\left\| u \right\| = 1} \| u \|_{p}, 2 \leqslant p<6$, 则$\beta_{k} \rightarrow 0, k \rightarrow \infty$. 从而可知, 存在$k_{1}>1$, 使得当$k>k_{1}$时有

因为1 < s < 2，所以存在R₀>0，使得当‖u‖≥R₀有

由(16)-(18) 式及引理1(i) 知, $\forall u \in Z_{k},\|u\| \geqslant R_{0}$, 有

令$\rho=\left(4 \beta_{k}^{p} \lambda C_{\varepsilon_{0}}\right)^{\frac{1}{2-\rho}}, \alpha=\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{4 p}\right) \rho^{2}$, 则$\rho>0, \alpha>0$且$\rho \rightarrow \infty, k \rightarrow \infty$. 从而存在$k_{2}>1$, 使得当$k>k_{2}$时, $\rho>R_{0}$. 故当$k>\max \left\{k_{1}, k_{2}\right\}, u \in Z_{k}, \|u\|=\rho$时, $I(u) \geqslant \alpha=\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{4 p}\right) \rho^{2}>0$.

（ii) 设$\widetilde{E} \subset H$是任一有限维子空间. 现利用反证法证明. 假设存在序列$\left\{u_{n}\right\} \subset \widetilde{E}$满足$\left\|u_{n}\right\| \rightarrow+\infty$, 但$I\left(u_{n}\right)>0$. 令$v_{n}=\frac{u_{n}}{\left\|u_{n}\right\|}$, 则$\left\|v_{n}\right\|=1$. 因为$\widetilde{E} \subset H$是有限维子空间, 所以存在$\left\{v_{n}\right\}$的一个子列(不失一般性, 仍记之为$\left.\left\{v_{n}\right\}\right)$和$v_{0} \in \widetilde{E}$, 使得$v_{n} \rightarrow v_{0}(x \in \widetilde{E}), \left\|v_{0}\right\|=1$. 故由条件($\left.\mathrm{F}_{4}\right)$及Fatou引理知

这显然是矛盾的, 故存在$R=R(\widetilde{E})>0$, 使得$\left.I\right|_{\tilde{E} \backslash B_{R}} \leqslant 0$.

引理6    假设条件$(\mathrm{V}), \left(\mathrm{F}_{1}\right)-\left(\mathrm{F}_{4}\right)$及(A) 成立, 则对$\forall \lambda>0, \mu>0$, 存在$k_{0} \in \mathbb{N}$, 使得对每个$k>k_{0}$, 存在$\rho_{k}>\gamma_{k}>0$且满足:

(i) $a_{k}:=\inf\limits _{u \in Z_{k}, \|u\|=\rho_{k}} I(u) \geqslant 0$;

(ii) $b_{k}:=\max\limits _{u \in Y_{k}, \|u\|=\gamma_{k}} I(u)<0$;

(iii) $d_{k}:=\inf\limits _{u \in Z_{k}, \|u\| \leqslant \leqslant_{k}} I(u) \rightarrow 0, k \rightarrow+\infty$.

证    （i）令$\beta_{k}=\sup\limits _{u \in Z_{k}, \left\|_{u}\right\|=1}\|u\|_{p}, 2 \leqslant p<6$, 则$\beta_{k} \rightarrow 0, k \rightarrow \infty$. 因为$2<p<6$, 所以存在$R_{1}>0$, 使得

由(3)，(9)，(19)式及引理1(i)知，对$\forall u \in Z_{k}$, 有$\|u\| \leqslant R_{1}$，

取$\varepsilon \in\left(0, \frac{1}{4 S_{2}^{2} \lambda}\right]$, 则

令$\rho_{k}=\left(8 \beta_{k}^{\xi} \mu\|\alpha\| \frac{2}{2-s} \frac{1}{2-s}\right.$, 则$\rho_{k} \rightarrow 0(k \rightarrow+\infty)$. 从而存在$k_{0} \in \mathbb{N}$, 使得当$k>k_{0}$时, $\rho_{k}<R_{1}$. 故当$k>k_{0}$, $u \in Z_{k}, \|u\|=\rho_{k}$时,

即(i)成立.

(ii) 对$\forall u \in Y_{k}, \delta>0$, 令$\mathit{\Gamma}_{\alpha, \delta}(u)=\left\{x \in \mathbb{R}^{3}: \alpha(x)|u|^{s} \geqslant \delta\|u\|{ }^{s}\right\}$, 由文献[4]中定理$1.5$的证明过程可知, 存在$\varepsilon_{1}>0$使得$\operatorname{meas}\left(\mathit{\Gamma}_{a, \varepsilon_{1}}(u)\right) \geqslant \varepsilon_{1}$.

故结合条件$\left(\mathrm{F}_{4}\right), (\mathrm{A})$, (9) 式及引理$1(\mathrm{i})$知, 对$\forall u \in Y_{k}$, 有

因为$1<s<2$, 所以存在$\gamma_{k} \in\left(0, \rho_{k}\right)$, 使得当$u \in Y_{k}, \|u\|=\gamma_{k}$时, $I(u) \leqslant 0$, 即(ii) 成立.

(iii) 由(20) 式, 对$\forall u \in Z_{k}, \|u\| \leqslant \rho_{k}$, 有

因为$\rho_{k} \rightarrow 0(k \rightarrow+\infty)$, 所以$\inf\limits _{u \in Z_{k}, \|u\| \leqslant \rho_{k}} I(u) \rightarrow 0(k \rightarrow+\infty)$, 即(iii) 成立.

定理1的证明    (i) 证明系统(1) 存在一个山路解. 由引理4知, 对$\forall \lambda>0$, 存在$\bar{\mu}_{\lambda}>0$, 使得对$\forall \mu \in\left(-\bar{\mu}_{\lambda}, \bar{\mu}_{\lambda}\right)$, 泛函$I$满足山路定理的几何结构. 由引理3知, 泛函$I$满足(PS) 条件. 因此由山路定理(见文献[27] 的定理2.2) 知, 存在$u_{0} \in H$满足$I^{\prime}\left(u_{0}\right)=0$且$I\left(u_{0}\right)>0$. 即系统(1) 存在一个山路解.

(ii) 首先证明系统(1) 存在一个山路解. 由引理4知, 对$\forall \lambda>0$, 存在$\bar{\mu}_{\lambda}>0$, 使得对$\forall \mu \in\left(0, \bar{\mu}_{\lambda}\right)$, 泛函$I$满足山路定理的几何结构. 由引理3知, 泛函$I$满足(PS) c条件. 因此由山路定理(见文献[27]的定理2.2) 知, 存在$u_{0}^{\prime} \in H$满足$I^{\prime}\left(u_{0}^{\prime}\right)=0$且$I\left(u_{0}^{\prime}\right)>0$. 即系统(1) 存在一个山路解.

其次证明系统(1) 存在一个局部极小解. 由条件(A) 知, 存在$v \in H$使得$\int_{\mathbb{R}^{3}} a(x)|v|^{s} \mathrm{~d} x>0$. 结合条件$\left(\mathrm{F}_{4}\right)$及引理1 (i) 知, 当$\mu>0, t>0$充分小时,

因此$c_{0}=\inf \left\{I(u): u \in \bar{B}_{\rho}\right\}<0$, 其中$B_{\rho}=\{u \in H:\|u\|<\rho\}, \rho$已由引理4给出. 利用Ekeland变分原理知, 存在一个有界的极小化序列$\left\{u_{n}\right\} \subset \bar{B}_{\rho}$, 满足$I\left(u_{n}\right) \rightarrow c_{0}, I^{\prime}\left(u_{n}\right) \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$. 故利用引理3知存在$u_{1} \in H$满足$I^{\prime}\left(u_{1}\right)=0, I\left(u_{1}\right)=c_{0}<0$.

(iii) 首先证明系统(1) 存在一个山路解. 由引理4知, 对$\forall \mu>0$, 存在$\bar{\lambda}_{\mu}>0$, 使得对$\forall \lambda \in\left(0, \bar{\lambda}_{\mu}\right)$, 泛函$I$满足山路定理的几何结构. 由引理3知, 泛函$I$满足$(\mathrm{PS})_{c}$条件. 因此由山路定理知, 存在$u_{0}^{\prime \prime} \in H$满足$I^{\prime}\left(u_{0}^{\prime \prime}\right)=0$且$I\left(u_{0}^{\prime \prime}\right)>0$. 即系统(1) 存在一个山路解.

其次证明系统(1) 存在一个局部极小解. 证明同(ii), 略去.

定理2的证明    由条件$\left(\mathrm{F}_{5}\right)$知泛函$I$是偶的. 结合引理3及引理5知, 能量泛函$I$满足对称山路定理(见文献[27]的定理9.12) 的条件. 因此$I$有一列趋于$+\infty$的临界值, 即系统(1) 具有一列高能量解.

定理3的证明    由条件$\left(\mathrm{F}_{5}\right)$知泛函$I$是偶的. 结合引理3及引理6知, 能量泛函$I$满足对偶喷泉定理(见文献[28] 的定理3.18) 的条件. 故$I$有一列趋于0的负的临界值, 即系统(1) 存在一列负能量解.