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近年来，许多学者[1-13]研究了如下微分方程Dirichlet问题
正解的存在性和多解性，并取得了许多深刻的结果. 这里Ω为
$ \mathbb{R}^{n} $ ，n≥2空间中的有界区域. 值得注意的是，当κ=0时，问题(1)退化为半线性Dirichlet问题；而当κ≠0时，上述问题为拟线性微分方程Dirichlet问题. 特别地，当κ=-1时，问题(1)退化为Minkowski空间中给定平均曲率方程Dirichlet问题；当κ=1时，问题(1)退化为Euclidean空间中给定平均曲率方程Dirichlet问题. 本文主要考察κ=1的情形. 需要说明的是，当κ=1时，给定平均曲率问题(1)有重要的应用背景，例如可刻画可压缩流体的毛细现象以及人类角膜的几何形状[4-5].研究Euclidean空间中给定平均曲率方程Dirichlet问题有很大的挑战性. 如文献[9-11]中所示，当κ=1时，问题(1)为一类拟线性非一致椭圆问题，研究这类问题最大的障碍是缺乏梯度估计. 例如，即便在最简单的一维空间下，问题(1)解的梯度也会出现爆破现象.
最近，一些学者[6-13]分别利用变分法、上下解方法、时间映像法、不动点理论研究了一维给定平均曲率方程Dirichlet问题
正解的存在性和多解性，其中λ为正参数，f∈C([0，∞)，[0，∞)) 并且f(s)>0，s>0. 据我们所知，这些文献并未研究问题(2)至少3个正解的存在性. 注意到，问题(2)是一维的自治问题，其解u(x) 在
$ x= \frac {1}{2} $ 处是对称的，因此可利用解的凹凸性来构造适当的锥. 自然地，当非线性项f不仅与u有关，还与x有关时，能否利用不动点理论研究问题(2)至少3个正解的存在性呢？受以上文献的启发，本文将利用锥上的不动点定理研究问题(2)更为广泛的情形，确切地说，我们研究问题
至少3个正解的存在性. 这里
$ \phi \left( s \right) = \frac{s}{{\sqrt {1 + {s^2}} }} $ ，显然，$ \phi :\mathbb{R}\to \left( -1, 1 \right) $ 是奇的、递增的同胚并且满足ϕ(0)=0. 需要指出的是，在这种情况下，问题(3)的解u(x)在$ x= \frac {1}{2} $ 处不具有对称性，因而利用不动点理论研究问题(3)正解的个数时，首要任务是构造一个巧妙的锥.令
本文总假定
(H) f∈C([0, 1]×[0，∞)，[0，∞))且f(x，s)>0，s>0，x∈[0, 1].
本文的主要结果
定理1 假设f满足条件(H). 若f0=f∞=0，则存在λ*，λ*>0使得当λ* < λ < λ*时，问题(3)至少存在3个正解.
注1 在文献[14]中，我们构造了一个合适的锥研究了Minkowski空间中一维给定平均曲率方程Dirichlet问题3个以及多个正解的存在性. 但据我们所知，还没有学者研究欧氏空间中给定平均曲率型方程Dirichlet问题3个正解的存在性.
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我们令
则E为装备了范数
$ {\left\| u \right\|_\infty } = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0, 1} \right]} \left| {u\left( x \right)} \right| $ 的Banach空间.引理1 [15] 设E是Banach空间，K⊂E是E中的一个锥. 对任意的r>0，定义Kr={x∈K：‖x‖ < r}. 假设T：Kr→K是全连续的，使得对任意的x∈∂Kr={x∈K：‖x‖=r}，Tx≠x.
(i) 若‖Tx‖≥‖x‖，x∈∂Kr，则i(T，Kr，K)=0.
(ii) 若‖Tx‖≤‖x‖，x∈∂Kr，则i(T，Kr，K)=1.
引理2 [11]
$ \phi :\mathbb{R}\to \left( -1, 1 \right) $ 是奇的、递增的同胚并且满足ϕ(0)=0，此外ϕ与$ {\phi ^{ - 1}}\left( {{\phi ^{ - 1}} = \frac{s}{{\sqrt {1 + {s^2}} }}} \right) $ 有如下性质(i) ϕ在[0，∞)上是上凸的，ϕ-1在[0，1)上是上凸的；
(ii) 对任意的0 < c≤1，存在Bc>c使得ϕ-1(cs)≤Bcϕ-1(s)，∀s∈(0，1). 对任意的c≥1满足-1 < cs < 1，存在Ac≤c使得ϕ-1(cs)≥Ac ϕ-1(s)，∀s∈(0，1).
引理3 [11] 令h∈C([0, 1]，[0，∞))且
$ \not \equiv $ 0. 假设w是的解，则w(x)>0，x∈(0，1)且‖w′‖∞≤ϕ-1(M)，其中
$ M = \min \left\{ {1, {{\sup }_{x \in \left[ {0, 1} \right]}}\left| {h\left( x \right)} \right|} \right\} $ .引理3表明，存在
$ {\tau _i} \in \left( {0, \frac{1}{2}} \right), i = 1, 2 $ 使得$ \min\limits_{\left[\tau_{1}, 1-\tau_{2}\right]} w(x) \geqslant \sigma\|\tau\|_{\infty} $ ，其中0 < σ < 1依赖于τi. 定义E中的锥P，其中定义
$ f^{*}(r)=\max\limits_{0 \leqslant s \leqslant 1, 0 \leqslant t \leqslant r}\{f(s, t)\} $ ，对任意的r>0，令Ωr={u∈P|‖u‖∞ < r}，∂Ωr={u∈P|‖u‖∞=r}.引理4 [16] 对任意的h∈C[0, 1]，(4)式存在唯一解u，其中
这里
$ 0 < C < \int_0^1 h (t){\rm{d}}t $ 满足u(1)=0. 此外，算子Th：E→E是全连续算子.用文献[11]的方法和引理4可知，问题(3)的解等价于证明
存在不动点，其中
$ 0 <{C_0} < \lambda \int_0^1 {f\left( {u(t)} \right)} {\rm{d}}t $ 满足u(1)=0. 由引理4可知Tλ：E→E是全连续映射. 此外，对任意固定的u∈P，我们有且Tλ(u)(0)=Tλ(u)(1)=0. 此外，由引理3可得Tλ(u)(x)>0，x∈(0，1)并且存在
$ {\tau _i} \in \left( {0, \frac{1}{2}} \right), i = 1, 2 $ ，使得$ {\min\limits_{\left[ {{\tau _1}, 1 - {\tau _2}} \right]}}{T_\lambda }u \ge \sigma {\left\| {{T_\lambda }u} \right\|_\infty } $ . 因此，Tλ：P→P为全连续算子.引理5 给定r>0，若ε>0足够小满足Bλε < 1且f*(r)≤εϕ(r)，则
其中Bλε如引理2(ii)所示.
证 由Tλ的定义，对任意的u∈∂Ωr，我们有
引理6 给定r>0，若u∈∂Ωr，则
其中
$ M_{r}=\max\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1, 0 \leqslant u \leqslant r} f(t, u)>0 $ .证 对任意的u∈∂Ωr，则有f(u(x))≤Mr，x∈[0, 1]，从而有
引理7 [11] 给定r>0，若u∈∂Ωr，则
其中
$ m_{r}=\min\limits_{0 \leqslant x \leqslant 1, \sigma r \leqslant u \leqslant r} f(x, u)>0 $ 并且x*=min{x0，1-x0}且$ u\left(x_{0}\right)=\max\limits_{x \in[0, 1]} u(x)=\|u\|_{\infty} $ .
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定理1的证明 令λ*>0为
$ \lambda \int_{0}^{\bar{r}} f(u) \mathrm{d} u=1 $ 的解，其中r：=u(x0)=‖u‖∞. 则当0 < λ < λ*时，选取正常数ri，i=2，3，4，5，使得0 < r2 < r3 < r4 < r5 < r满足
由引理7可知，存在
并且
使得对λ* < λ < λ*，我们有
由引理1可知，i(Tλ，Ωri，P)=0，i=2，3，5.
对于给定常数r4>0. 由引理6可知，当0 < λ≤λ*时，‖Tλu‖∞ < ‖u‖∞，u∈∂Ωr4. 由引理1可知，i(Tλ，Ωr4，P)=1. 则
另一方面，若f0=0，利用文献[17]引理2.8相同的方法可证f0*=0. 这里，
$ f_{0}^{*}:=\lim\limits_{u \rightarrow 0} \max\limits_{t \in[0, 1]} \frac{f^{*}(u)}{u} $ ，$ {f^*}\left( s \right) = \mathop {\max }\limits_{0 \le t \le s} \left\{ {f\left( {x, t} \right)} \right\} $ 对一致的x∈[0, 1] 均成立. 选择$ r_{1} \in\left(0, \frac{r_{2}}{2}\right) $ 使得f*(r1)≤εϕ(r1)，其中ε>0足够小满足由引理5可知，当0 < λ < λ*时，
由引理1可得i(Tλ，Ωr1，P)=1. 则
最后，若f∞=0，λ < λ*，则由引理7可知
即i(Tλ，Ωr，P)=1. 则有
因此，当λ* < λ < λ*时，Tλ至少存在3个不同的不动点ui，i=1，2，3使得u1∈Ωr2\Ωr1，u2∈Ωr4\Ωr3，u3∈Ωr\Ωr5并且
因此，问题(3)至少存在3个不同的正解.
例1 考虑如下含平均曲率算子的拟线性微分方程Dirichlet问题
正解的存在性和多解性，其中
显然，f满足条件(H)且f0=f∞=0. 由定理1可知，问题(5)至少存在3个正解.
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