A Kind of CA-Groups of Order 2p²q

对特殊子群的研究一直是有限群论中的一个热门课题. 例如文献[1-6]通过研究交换子群、极大交换子群、循环子群等，得到了群的性质与结构. 群的交换性是群结构复杂程度的一个重要体现，而群中元素的中心化子也与群的交换性有密切联系，并且对群结构有着很大的影响.

如果对于任意x∈G\Z(G)，都有C_G(x)交换，则群G被称为CA-群. CA-群在群结构的研究中有着非常重要的作用，关于CA-群的研究也是人们一直十分感兴趣的问题. 文献[7]证明了CA-群是单群或者可解群. 文献[8]构造出了偶数阶CA-单群. 文献[9]证明了偶数阶CA-群是Frobenius-群、交换群或特殊射影线性群PSL(2，2^m)，其中m>2. 文献[10-11]研究了根据群的阶去判定CA-群. 文献[12-15]研究了根据中心化子的个数去确定群的结构.

本文继续进行这方面的研究，得出结论：若|G|=2p²q，其中p < q为奇素数，p$\nmid$q-1，则群G的Sylow q-子群正规(定理1)，且群G是CA-群(定理2). 有群例说明条件p$\nmid$q-1不可省略(例2).

为了便于证明本文的结论，下面给出几个相关的引理：

引理1^[14]  设p为有限群G的最小质因子，如果G的Sylow p-子群循环，则G有正规p-补.

引理2^[15]   设G是一个群，如果G/Z(G)是循环群，则G是交换群.

引理3^[16]  对于素数p < q，若p$\nmid$q-1，则pq阶群是循环群.

引理4^[10]   如果|G∶Z(G)|=pqr，则群G是CA-群，其中p，q，r是素数(p，q，r可以相同).

本文所涉及的群都是有限群，所用符号都是标准的.

有了前面的预备知识，现在可以对本文的主要结论进行证明.

定理1   若|G|=2p²q，其中p < q为奇素数且p$\nmid$q-1，则群G的Sylow q-子群正规.

证   群G的Sylow p-子群的个数n_p=1+ap，n_p|2q. 由条件q为奇素数，p$\nmid$q-1可知n_p≠2，q. 下面对n_p的值分情况讨论.

如果n_p=1，此时G的Sylow p-子群只有一个，记为P，P$ \unlhd $G. 设Q∈Syl_q(G)，则PQ=P$ \rtimes $Q. 考虑Q在P上的作用，若P为p²阶循环群，则

若P为(p，p)型初等交换p-群，则

而(|Q|，|Aut(P)|)=1，故Q在P上作用平凡，因此PQ=P×Q. 又因|G∶PQ|=2，从而有Q char PQ$ \unlhd $ G，则Q$ \unlhd $G，结论成立.

如果n_p=1+ap=2q，考虑G的Sylow q-子群的个数n_q=1+bq，n_q|2p². 由条件p < q为奇素数可知n_q≠2，p.

若n_q=1+bq=p²，则q|p²-1，即q|(p+1)(p-1)，与p，q均为奇素数矛盾.

若n_q=1+bq=2p²，此时G中q阶元的个数为2p²(q-1)=2p²q-2p²，G中只剩下2p²个元. 而此时G有2q个Sylow p-子群，分别记为P_i(i=1，2，…，2q，2q>3)，它们最少需要的元素个数不小于

矛盾.

若n_q=1+bq=2p，此时n_p=1+ap=2q，从而有

其中a，b为正整数，q≥5为奇素数. 此等式只有在a=3，b=1，q=5时才可能成立，在此种情况下有

由引理1可知G有正规2-补，记为H. |H|=3²·5，H的Sylow 5-子群的个数为1+5k|3²，则H只有唯一的Sylow 5-子群，记为M. 从而有M char H$ \unlhd $G，则M$ \unlhd $G，即90阶群的Sylow 5-子群正规，结论成立. 若n_q=1，则Q$ \unlhd $G，结论成立.

综上所述，群G的Sylow q-子群正规.

定理2   设|G|=2p²q，其中p < q为奇素数且p$\nmid$q-1，则群G是CA-群.

证   反证法. 若群G不是CA-群，则存在x∈G\Z(G)，有C_G(x)不交换. 由x∈G\Z(G)，可知Z(G)$ \not\subseteq $〈x，Z(G)〉. 又根据C_G(x)不交换，可知Z(C_G(x))$ \not\subseteq $C_G(x)，从而可以得到一个子群链，即

当|Z(G)|>1时，由(1)式可知C_G(x)/Z(C_G(x))的阶是一个素数，则是循环群. 根据引理2知C_G(x)交换，矛盾.

当|Z(G)|=1时，〈x，Z(G)〉=〈x〉，此时子群链变为

接下来考虑x的阶. 当x的阶为合数时，由(2)式可知C_G(x)/Z(C_G(x))的阶是一个素数，则它必为循环群，故C_G(x)交换，矛盾. 当x的阶为素数时，若〈x〉≠Z(C_G(x))，则C_G(x)/Z(C_G(x))的阶是一个素数，则为循环群，故C_G(x)交换，矛盾. 因此只需考虑x的阶为素数且〈x〉= Z(C_G(x))，即C_G(x)/Z(C_G(x))的阶为两个素因子的情况.

下面对|x|的值分情况讨论.

情形1   |x|=2.

因为|x|||C_G(x)|，则|C_G(x)|=2pq，2p².

若|C_G(x)|=2pq，则有

又因p$\nmid$q-1，则根据引理3可知C_G(x)/Z(C_G(x)) 为循环群，又根据引理3知C_G(x)交换，矛盾.

若|C_G(x)|=2p²，则有C_G(x)=HK，其中H，K分别为C_G(x)的Sylow 2-子群和Sylow p-子群. 又因为H≤Z(C_G(x))，则C_G(x)=H×K，故C_G(x)交换，矛盾.

情形2   |x|=p.

此时|C_G(x)|=p²q，2pq，2p².

若|C_G(x)|=p²q，则有

根据上面的讨论可知C_G(x)/Z(C_G(x))为循环群，故由引理2可知C_G(x)交换，矛盾.

若|C_G(x)|=2pq，由|x|=p可知〈x〉包含在某个Sylow p-子群内，记为P，|P|=p²，因此C_G(x)为交换群. 又因〈x〉$\subseteq$P，则x与P中的元可交换，则有P$\subseteq$C_G(x)，故|P|||C_G(x)|，即p²|2pq，矛盾.

若|C_G(x)|=2p²，由定理1可知G有唯一Sylow q-子群，记为Q，Q$ \unlhd $G，则Q〈x〉为G的pq阶子群，由引理3知Q〈x〉为pq阶循环群，则Q中的元与x可交换，故Q$\subseteq$C_G(x)，|Q|||C_G(x)|即q|2p²，矛盾.

情形3   |x|=q.

此时|C_G(x)|=p²q，2pq.

若|C_G(x)|=p²q，则有C_G(x)=PQ，其中P，Q分别为C_G(x)的Sylow p-子群和Sylow q-子群. 又因为Q≤Z(C_G(x))，则C_G(x)=P×Q，故C_G(x)交换，矛盾.

若|C_G(x)|=2pq，根据上面的讨论可知

其中〈y〉为C_G(x)的pq阶正规子群，|a|=2. 考虑〈a〉在〈x〉和〈y〉上的共轭作用，因为〈x〉= Z(C_G(x))，则x^a=x. 如果y^a=y，则

则C_G(x)交换，矛盾. 如果y^a=y^-1，又因为x=y^p，则

与x^a=x矛盾.

综上所述，群G是CA-群.

由定理2可得到如下群例：

例1   因为3$\nmid$5-1，所以，若|G|=2·3²·5=90，则群G是CA-群.

下面例子说明定理2中的条件p$\nmid$q-1不可缺少.

例2   构造一个群

从而

由定义关系可知d∈G\Z(G)，a，c∈C_G(d). 而a，c不交换，故C_G(d)是非交换群，则群G不是CA-群.