Finite Groups with the Number of Non-Normal Subgroups of Order 2

本文所涉及的群皆为有限群. 利用非正规子群去研究群的性质和结构是有限群研究的一个重要方向. 例如：群G的非正规子群的个数为0，则G为Dedekind群，关于它结构的研究可参见文献[1]. 文献[2]利用有限单群分类定理证明了：如果有限非可解群G恰有2个非正规极大子群同阶类，那么

其中S(G)表示G的极大可解正规子群. 文献[3]研究了U(G)=1时群G的结构，其中U(G)表示群G的非正规子群的共轭类数. 文献[4]给出了幂零群G的幂零类c(G)和U(G)之间的一个关系式. 文献[5]研究了奇阶幂零群G的群结构，并给出了U^*(G)和c(G)之间的一个关系式，其中U^*(G)表示群G的非正规循环子群的共轭类数. 文献[6]给出了幂零群G的幂零类c(G)和U^*(G)之间的一个关系式.文献[7]证明了：若G是非幂零群，J(G)=1当且仅当G=[N]P是裂扩张，其中N是G的正规子群，且阶是素数q，P是素数幂阶的循环p-群，且[N，Φ(P)]=1，素数p < q. 本文将继续这一研究，考虑J(G)=2的情形，得到了群G的结构分类.

记π(G)为群G的阶的所有素因子的集合，J(G)为群G的非正规子群阶的个数. 设G是可解群，

如果对任意的i，j都满足

那么称S={G_p1，…，G_ps}为G的一个Sylow系. 群G是Dedekind群表示它的每个子群都是正规子群. 非交换的Dedekind群叫做Hamilton群.

引理1   设G是群，如果J(G)≤4，则G是可解群.

证  若G非可解，设M/N是G的非可解主因子，

其中S₁，…，S_k是彼此同构的非交换单群，则

矛盾，于是G是可解群.

引理2^[8]  设π′-群H作用在交换π-群G上，则G=C_G(H)×[G，H].

引理3   设G是非幂零群，J(G)=2，则π(G)≤3.

证  若π(G)>3，设P_i是G的Sylow p_i-子群(i=1，2，…，k，k≥4). 由G非幂零，不妨设G的Sylow p₁-子群P₁是G的非正规子群. 若P₂$\not \unlhd$G，由J(G)=2，有P₁P₂，P₁P₃在G中正规，从而

矛盾. 故G的所有Sylow子群中只有Sylow p₁-子群是G的非正规子群. 由J(G)=2，P₁$\not \unlhd$G，有P₁P₂，P₁P₃，P₁P₄中至少有2个子群在G中正规，不妨设P₁P₂，P₁P₃在G中正规，于是P₁$\unlhd$G，矛盾. 因此，π(G)≤3.

定理1   设G是非幂零群，π(G)=3，J(G)=2，则

其中p，q，r为互异素数，m，k为正整数，且(k，p)=1.

证  设|G|=p₁^α₁p₂^α₂p₃^α₃，由引理1，G是可解群，则G中存在Sylow系S={P₁，P₂，P₃}，其中P_i∈Syl_pi(G)，i=1，2，3. 由G非幂零，不妨设G的Sylow p₁-子群P₁是G的非正规子群.

若P₁P₂，P₁P₃都在G中正规，则

矛盾. 由

有P₁P₂，P₁P₃中必有一个子群是G的非正规子群. 不妨设P₁P₂$\not \unlhd$G，于是P₂，P₃，P₁P₃都在G中正规，从而

若P₁有两个不同的极大子群M₁，M₂，由J(G)=2，有

又由P₁=〈M₁，M₂〉得P₁$\unlhd$G，矛盾于P₁$\not \unlhd$G，于是P₁只有一个极大子群，从而P₁为循环群. 若α₂>1，设N是P₂的极大子群，则P₁N=P₁×N，又由P₁N$\unlhd$G得P₁$\unlhd$G，矛盾，于是α₂=1，即P₂为p₂阶循环群.

设K₁，K₂是P₃中的两个不同的p₃阶子群，则P₁K₁$\unlhd$G，P₁K₂$\unlhd$G，又由P₁=P₁K₁∩P₁K₂得P₁$\unlhd$ G，矛盾. 于是P₃只有唯一的p₃阶子群，从而P₃为循环群或者广义四元数群. 若P₃是广义四元数群，由P₃中每一个子群都在P₃中正规，有P₃$ \cong $Q₈，即P₃为8阶的四元数群. 又由[P₁，P₃]≠1知，P₃中存在4阶循环群在G中非正规，矛盾于J(G)=2，故P₃为循环群.

设H是P₃的真子群，则H $\unlhd$P₃. 考虑P₁互素作用在P₃上，有

于是

故

因此

即P₃为p₃阶循环群.

综上所述，

其中p，q，r为互异素数，m，k为正整数，且(k，p)=1.

定理2   设G是非幂零群，π(G)=2，J(G)=2，则下述之一成立：

(a) G=〈x〉$\ltimes$〈y〉，x^pm=y^q=1，p^m≥p²，[x，y^p2]=1，[x，y^p]≠1；

(b) G=(〈x₁〉×〈x₂〉)$\ltimes$〈y〉，x₁^p=x₂^p=y^q=1，[x₂，y]∈〈y〉，[x₁，y]=y^k，(k，q)=1；

(c) G=(〈x₁〉×〈x₂〉)$\ltimes$〈y〉，x₁^pm=x₂^p=y^q=1，p^m≥p²，[x₁^p，y]=[x₂，y]=1；

(d) G=Q₈$\ltimes$C_q；

(e) G=〈y〉$\ltimes$〈x〉，[y，x]∉ 〈y〉，y^pm=x^q2=1，[y^p，x]=1；

(f) G=〈y〉$\ltimes$(〈x₁〉×〈x₂〉)，y^pm=x_i^q=1，[y^p，x_i]=1，[y，x_i]=x_i^k_i，(k_i，q)=1，i=1，2；

(g) G=〈y〉$\ltimes$(〈x₁〉×〈x₂〉)，y^pm=x_i^q=1，[y^p，x_i]=1，[y，x_i]∉ 〈x_i〉，i=1，2.

其中p，q是互异素数，m，k₁，k₂为正整数.

证  设|G|=p^aq^b，由G非幂零，不妨设G的Sylow p-子群P是G的非正规子群，即P$\not \unlhd$G. 设Q为G的Sylow q-子群. 我们分下面几种情形来讨论：

情形1    M$\not \unlhd$G，1 < M < P.

由M的所有真子群都在G中正规知，M只有一个极大子群，故M是循环群. 由J(G)=2得Q$\unlhd$G，且对G/Q的任意子群H/Q都满足H/Q$\unlhd$G/Q，于是G/Q为Dedekind群. 同理G/N也是Dedekind群，其中N是Q的非平凡子群.

下面证明Q是循环群. 设

则PN₁$\unlhd$G，PN₂$\unlhd$G，于是P$\unlhd$G，矛盾. 故Q只有一个q阶子群，因此Q是循环群或者是广义四元素群. 若Q是广义四元素群，则由Q中每一个子群都在Q中正规得Q$ \cong $Q₈. 又由[P，Q]≠1知，Q中存在4阶循环群是G的非正规子群，矛盾.故Q是循环群.

若b>1，设N是Q的q阶子群，则N$\unlhd$G，于是

其中g∈P. 考虑〈g〉互素作用在Q上，有

于是[〈g〉，Q]=1，Q. 若[〈g〉，Q]=Q，则与N是Q的真子群矛盾，于是

由J(G)=2，有〈g〉×N$\unlhd$G，于是〈g〉$\unlhd$G. 又由g的任意性得P$\unlhd$G，矛盾，故Q为q阶循环群. 设Q=〈y〉，y^q=1.

下面探究P的结构. 由P$ \cong $G/Q得P也是Dedekind群. 我们分为两种情形：

情形1.1  P是交换群，则P/M为循环群.

如果P/M不是循环群，设

则P中存在两个不同的子群M₁，M₂，使得

由

以及M的极大性得M=M₁∩M₂. 又由M₁$\unlhd$G，M₂$\unlhd$G得M$\unlhd$G，矛盾.

如果M≤Φ(P)，则P为循环群，设P=〈x〉. 显然，M为P的极大子群，否则M$\unlhd$G. 因此G=〈y〉$\rtimes$ 〈x〉，其中

即G为(a)型群.

如果M$\not \le $ Φ(P)，取P中子群P₁使得M是P₁的极大子群，于是P=M×〈b〉，其中|b|=p. 若P₁≠P，由P₁$\unlhd$G得[P₁，Q]=1，于是[M，Q]=1，矛盾于M$\not \unlhd$G，故P₁=P. 若|M|=p，由M是P的极大子群，有|P|=p²，于是P的型不变量为(p²)和(p，p). 若P的型不变量为(p²)，与M$\not \le $ Φ(P)矛盾，故P的型不变量为(p，p)，即G为(b)型群. 若|M|≥p²，由J(G)=2，M$\not \unlhd$G，有〈b〉$\unlhd$G，故[〈b〉，Q]=1，即G为(c)型群.

情形1.2    P是非交换群.

由P$ \cong $G/Q得P是Hamilton群，于是P=Q₈×C₂ⁿ，其中n是正整数.

如果P/M是交换群，则P/M是循环群. 若否，设

则P中存在两个不同的子群M₁，M₂，使得

由

以及M的极大性得M=M₁∩M₂. 又由M₁$\unlhd$G，M₂$\unlhd$G得M$\unlhd$G，矛盾. 因M循环，故P=〈x，y〉$ \cong $Q₈，于是G=C_q$\rtimes$ Q₈，即G为(d)型群.

如果P/M是非交换群，则P/M是Hamilton群. 令P₁=P′×M，于是

故M$\unlhd$G，矛盾. 因此，这类群不存在.

情形2    设G的非正规子群为H，(|H|，|Q|)≠1.

若Q$\not \unlhd$G，不妨设p>q，显然P，Q都是循环群，于是P$\unlhd$G，矛盾，故Q$\unlhd$G. 由J(G)=2，P$\not \unlhd$G得P只有一个极大子群，故P为循环群，设P=〈y〉.

情形2.1    Q是交换群.

考虑P互素作用在Q上，有Q=C_Q(P)×[P，Q]，故

若|C_Q(P)|> q，由

得〈P，x〉 $\not \unlhd$G，其中x∈C_Q(P)，故至少可以构造出2个不同阶的G的非正规子群，与J(G)=2矛盾. 若|C_Q(P)|=q，设C_Q(P)=〈x〉，其中x^q=1. 由P$\not \unlhd$G，P×〈x〉$\not \unlhd$G知，G的其他阶子群均正规于G，于是存在x₁∈[P，Q]且|x₁|=q，使得〈x₁〉$\unlhd$G，故[P，〈x₁〉]=〈x₁〉. 又由

有〈xx₁〉$\not \unlhd$G，与J(G)=2矛盾，于是

考虑Ω₁(Q). 若Ω₁(Q)≠Q，则

于是PΩ₁(Q)$\not \unlhd$G，故对∀x∈Ω₁(Q)，有〈x〉$\unlhd$G. 又由

有P〈x〉$\not \unlhd$G，故P〈x〉=PΩ₁(Q)，因此Q只能是循环群，且|Q|=q²，[〈y^p〉，Q]=1. 设Q=〈x〉，x^q2=1，即G为(e)型群. 若Ω₁(Q)=Q，则Q为初等交换q-群.

若存在x∈Q，使得〈x〉$\unlhd$G，则P〈x〉$\not \unlhd$G，故Q的子群均正规于G. 由Q=[Q，P]得|Q|=q²，于是

又由P的极大子群都是G的正规子群得[〈y^p〉，Q]=1，p|q-1，即G为(f)型群.

若对∀x∈Q有〈x 〉$\not \unlhd$G，则Q中所有阶大于1的真子群都是G的非正规子群，于是Q是q²阶的初等交换q-群，因此

即G为(g)型群.

情形2.2    Q是非交换群

若对∀H≤Q有H$\unlhd$G，则Q$ \cong $Q₈×C₂ⁿ，其中n是正整数，于是Q′≤Z(G)，P×Q′$\not \unlhd$G，故对∀x∈Q有〈x〉$\unlhd$G. 又由x⁴=1得[P，〈x〉]=1，于是[P，Q]=1，矛盾. 因此，这类群不存在.

若存在H≤Q使得H$\not \unlhd$G. 设N≤Z(Q)，且N是G的极小正规子群，则

由

得N=C_N(P)或N=[N，P]. 若N=C_N(P)，则PN=P×N$\unlhd$G，于是P$\unlhd$G，矛盾，故N=[N，P]. 取x∈Q\N且x^q∈N，则M=〈x，N〉是交换群. 由G/N=PN/N×Q/N得[M，P]≤N. 又由

得M=C_M(P)×N，故|C_M(P)|=q. 考虑PC_M(P)，由

得P$\unlhd$G，矛盾. 因此，这类群不存在.