Lyapunov's inverse theorems for measure functional differential equations with infinite delay

本节将简要介绍Kurzweil积分、广义常微分方程、无穷时滞测度泛函微分方程以及Lyapunov泛函的相关概念以及定理.

设X为一Banach空间，并用$\|\cdot\|$表示X上的范数. 假设$ F:\mathit{\Omega } \to X, \mathit{\Omega = O} \times \left[ {{t_0}, {t_0} + \sigma } \right], {t_0} \in \mathbb{R}, \sigma > 0, O \subset X$是一个开集.

给定一个正值函数$ \delta:[a, b] \longrightarrow(0, +\infty)$，对区间[a，b]上的一个分划$ D: a=\alpha_0<\alpha_1<\cdots<\alpha_k=b$，如果有$ \left[\alpha_{j-1}, \alpha_j\right] \subset\left[\tau_j-\delta\left(\tau_j\right), \tau_j+\delta\left(\tau_j\right)\right], j=1, 2, \cdots, k$，则称[a，b]上的划分D是δ-精细分划.

设$ s \geqslant t_0, x \in O, A(s, x):=\left\{\varphi \in G\left(\left[t_0, t_0+\sigma\right], X\right): \varphi\left(t_0\right)=0, \varphi(s)=x, \varphi\right.$在(t₀，t₀+σ]上是左连续的}.

对$s \geqslant t_0, x \in O, \text { 定义 } V:\left[t_0, t_0+\sigma\right] \times O \longrightarrow \mathbb{R}$，

如果φ∈A(s，x)是正则函数，则Kurzweil-Henstock积分$\int_{t_0}^\sigma D F(\varphi(\tau), t)$存在(Kurzweil-Henstock积分详见后文定义1)，且函数

也是正则的.由于每个正则函数在紧区间上是有界的，即$\mathop {\sup }\limits_{\xi \in \left[ {{t_0},s} \right]} \|f(\xi )\| < \infty $.因此，对所有$\left( {s, x} \right) \in \left[ {{t_0}, {t_0} + \sigma } \right] \times O, V$被很好地定义出来.

定义1^[2]  函数$U:[a, b] \times[a, b] \longrightarrow X$在区间[a，b]上Kurzweil可积，如果存在I∈X，使得对任意的ε>0，存在正值函数$\delta:[a, b] \longrightarrow(0, +\infty)$，使得对[a，b]的任何δ-精细分划$D = \left\{ {\left( {{\tau _j}, \left[ {{a_{j - 1}}, {a_j}} \right]} \right), j = 1, 2, \cdots , k} \right\}, $都有

此时定义$\int_a^b D U(\tau, t)=I$为U在[a，b]上的Kurzweil-Henstock积分.

特别的，函数f：[a，b]→X，g：[a，b]→X，若U(τ，t)=f(τ)g(t)，τ，t∈[a，b]，则记

定义2^[2]   设函数$F:\mathit{\Omega } \to \mathit{X, {\rm{如果}} x}{\rm{:}}\left[ {a, b} \right] \to X$是广义常微分方程

在区间[a，b]⊂[t₀，t₀+σ]上的解，是指对所有的t∈[a，b]，(x(t)，t)∈Ω和对任意的s₁，s₂∈[a，b]，

成立.

定义3^[2]   给定一个不减函数$h:\left[t_0, t_0+\sigma\right] \longrightarrow \mathbb{R}$，称函数$F: \mathit{\Omega } \longrightarrow X \text { 属于 } \mathscr{F}(\mathit{\Omega }, h)$，如果对所有的(x，s₁)，(x，s₂)，(y，s₁)，(y，s₂)∈Ω，我们有

引理1^[3]   如果$H_0 \subset G((-\infty, 0), X)$是满足条件(H1)-(H6)的空间，则对任意$a \in \mathbb{R}$，以下结论成立：

1) H_a是完备的.

2) 如果y∈H_a，t≤a，则y_t∈H₀.

3) 如果$y \in H_a, t \leqslant a \text {, 则 }\|y(t)\| \leqslant \kappa_1(t-a)\|y\|$_*.

4) 如果σ>0，y∈H_a+σ是支集包含在[a，a+σ]上的函数，则

5) 如果y∈H_a+σ，t≤a+σ，则

6) 如果y∈H_a+σ，则函数$t \longmapsto\left\|y_t\right\| * \text { 在 }(-\infty, a+\sigma]$上是正则的.

引理2^[7]   如果g：[a，b]→X是一个左连续的正则函数，则

其中存在σ∈[a，b]使得c=‖g(σ)‖，或存在σ∈[a，b)使得c=‖g(σ⁺)‖.

引理3^[3]   如果$y:\left(-\infty, t_0+\sigma\right] \longrightarrow X$是正则函数，则$t \longmapsto\left\|y_t\right\|_{\infty} \text { 在 }(-\infty, 0]$上是正则的.

定义4^[5]   广义常微分方程(3)的平凡解x ≡ 0被称作

(i) 正则稳定的. 如果对每个ε>0，存在δ=δ(ε)，使得如果x：[a，b]⊂[t₀，+∞)→X是一个在(a，b]上左连续的正则函数，满足

则$\|\bar{x}(t)\|<\varepsilon, t \in[a, b] ;$

(ii) 正则吸引的. 如果存在δ₀>0和对每个ε>0，存在T=T(ε)≥0和ρ=ρ(ε)>0，使得如果x：[a，b]⊂[t₀，t₀+σ]→X是一个在(a，b]上左连续的正则函数，满足

则对所有$t \in[a, b] \cap\left[a+T, t_0+\sigma\right], \|\bar{x}(t)\|<\varepsilon;$

(iii) 正则渐近稳定. 如果它既是正则稳定又是正则吸引的.

引理4^[7]   设$V:\left[t_0, t_0+\sigma\right] \times O \longrightarrow \mathbb{R}$，则V满足下列条件：

1) 对所有$s \geqslant t_0, V(s, 0)=0;$

2) 对所有$y \in O \text { 和 } s \geqslant t_0, V(s, y) \geqslant 0$.

引理5^[7]   设O是X的一个子集，$V:\left[t_0, t_0+\sigma\right] \times O \longrightarrow \mathbb{R}$是关于广义常微分方程(3)的一个Lyapunov泛函，如果满足以下条件：

1) 对所有的$x \in O, V(\cdot, x):\left[t_0, t_0+\sigma\right] \longrightarrow \mathbb{R} \text { 在 }\left(t_0, t_0+\sigma\right]$上左连续；

2) 存在一个连续严格递增函数$b: \mathbb{R}^{+} \longrightarrow \mathbb{R}^{+} \text {, 满足 } b(0)=0 \text {, 使得对 }(t, x) \in\left[t_0, t_0+\sigma\right] \times O$，

3) 对广义常微分方程(3)的每个解$x:\left[s_0, \omega\right] \subset\left[t_0, t_0+\sigma\right] \longrightarrow O \text {, 对所有 } t \in\left[s_0, \omega\right)$

成立，则V的右导数关于广义常微分方程(3)的解是非正的.

引理6^[7]   对所有$s \geqslant t_0, y \in O, A(s, y)$是闭的.

引理7^[7]   设$V:\left[t_0, t_0+\sigma\right] \times O \longrightarrow \mathbb{R}$，则函数$t \longmapsto V(t, y(t))$沿初始条件为y(s₀)=y₀的测度泛函微分方程(2)的每个饱和解$y(t)=y\left(t, s_0, y_0\right), \left(s_0, y_0\right) \in\left[t_0, t_0+\sigma\right] \times O$是不增的.

引理8^[7]   设$V:\left[t_0, t_0+\sigma\right] \times O \longrightarrow \mathbb{R}$，则对所有$x, y \in O \text { 和 } s \in\left[t_0, t_0+\sigma\right]$，有

引理9^[3]   给定$H_0 \subset G((-\infty, 0], X)$是一个满足条件(H1)-(H6)的Banach空间，$t_0 \in \mathbb{R}$，σ>0，O⊂H_t0+σ，P={y_t；y∈O，t∈[t₀，t₀+σ]}⊂H₀，考虑一个不减函数g：[t₀，t₀+σ]$\longrightarrow \mathbb{R}$和函数$f: P \times\left[t_0, t_0+\sigma\right] \longrightarrow X$，则测度泛函微分方程

等价于广义常微分方程

其中x取值于O，给定$F: O \times\left[t_0, t_0+\sigma\right] \longrightarrow G\left(\left(-\infty, t_0+\sigma\right], X\right)$，

对每个$x \in O, t \in\left[t_0, t_0+\sigma\right]$，方程(5)的解x和方程(4)的解y之间的关系如下：

本节简要介绍了无穷时滞测度泛函微分方程的Lyapunov泛函和正则稳定性，建立了无穷时滞测度泛函微分方程的Lyapunov逆定理.假设$F \in \mathscr{F}(\mathit{\Omega }, h)$，其中$\mathit{\Omega } = O \times \left[ {{t_0}, {t_0} + \sigma } \right], O \subset {H_{{t_0} + \sigma }}$是一个开集，$h:\left[t_0, t_0+\sigma\right] \longrightarrow \mathbb{R}$是不减且左连续的.

定义5   设$P=\left\{y_t ; y \in O, t \in\left[t_0, t_0+\sigma\right]\right\} \subset H_0$，若满足以下条件，则$W:\left[ {{t_0}, {t_0} + \sigma } \right] \times P \to \mathbb{R}$是关于测度泛函微分方程(4)的Lyapunov泛函：

(i) 对所有$y \in P, W(\cdot, \psi):\left[t_0, t_0+\sigma\right] \longrightarrow \mathbb{R} \text { 在 }\left(t_0, t_0+\sigma\right]$上是左连续的；

(ii) 存在一个连续严格递增函数$b: \mathbb{R}^{+} \longrightarrow \mathbb{R}^{+}$满足b(0)=0，使得对所有$(t, \psi) \in\left[t_0, t_0+\sigma\right] \times P$，$W(t, \psi) \geqslant b(\|\psi\|)$；

(iii) 对每个t≥t₀和ψ∈P，

成立. 其中y(t，ψ)表示初始条件为y_t=ψ的测度泛函微分方程(4)的解，$y_{t+\eta}, y_t:(-\infty, 0] \longrightarrow X$，对所有$\theta \in(-\infty, 0], y_{t+\eta}(\theta)=y(t+\eta+\theta), y_t(\theta)=y(t+\theta)$.

定义6   测度泛函微分方程(4)的平凡解y ≡ 0称作

(i) 正则稳定的. 如果对每个ε>0，存在δ=δ (ε)，使得如果：$\bar{y}:[a, b] \subset\left[t_0, t_0+\sigma\right] \longrightarrow X$是一个在(a，b]上左连续的正则函数，满足

则$\|\bar{y}(t)\|<\varepsilon, t \in[a, b]$；

(ii) 正则吸引的. 如果存在δ₀>0和对每个ε>0，存在T= T(ε)≥0和ρ=ρ(ε)>0，使得如果y：[a，b]⊂[t₀，t₀+σ]→X是一个在(a，b]上左连续的正则函数，满足

则对所有$t \in[a, b] \cap\left[a+T, t_0+\sigma\right], \|\bar{y}(t)\|<\varepsilon$；

(iii) 正则渐近稳定.如果它既是正则稳定又是正则吸引的.

定理1   若测度泛函微分方程(4)的平凡解y ≡ 0是正则稳定的，则存在一个泛函$W:\left[ {{t_0}, {t_0} + \sigma } \right] \times P \longrightarrow \mathbb{R}$，满足：

(i) 对所有$\psi \in P, W(\cdot, \psi):\left[t_0, t_0+\sigma\right] \longrightarrow \mathbb{R} \text { 在 }\left(t_0, t_0+\sigma\right]$上是左连续的；

(ii) 存在一个连续(严格)递增函数$b: \mathbb{R}^{+} \longrightarrow \mathbb{R}^{+}$满足b(0)=0，使得对所有(t，y)∈[t₀，t₀+σ]×P，W(t，y)≥b(‖y‖)；

(iii) 函数$t \longmapsto W\left(t, y_t(s, \psi)\right), t \in\left(-\infty, t_0+\sigma\right]$沿初始条件为y_s=ψ的测度泛函微分方程(4)的每个饱和解y：(-∞，t₀+σ]是不增的；

(iv) 对所有t∈[t₀，t₀+σ]，W(t，0)=0；

(v) 存在一个连续递增函数$a:\mathbb{R}{^ + } \to \mathbb{R}{^ + }$，满足a(0)=0，使得对所有$z \in P, t \in\left[t_0, t_0+\sigma\right], W(t$，$z) \leqslant a(\|z\|)$；

(vi) 对测度泛函微分方程(4)的每个饱和解y：[s₀，t₀+σ]⊂[t₀，t₀+σ]→P，对所有t∈[s₀，t₀+σ]，导数

成立. 即函数W的右导数关于测度泛函微分方程(4)的解是非正的.

证   给定t≥t₀和ψ∈P，设y是初始条件为y_t=ψ的测度泛函微分方程(4)的解，$x:[t, t + \sigma ] \to \mathit{O}$是广义常微分方程(5)的解，对所有θ∈(-∞，0]，x(t)(t+θ)=y(t+θ)，因此(x(t))_t=y_t，在后文中，用x_ψ(t)代替x(t). 根据引理5，对所有t∈[t₀，t₀+σ]，ψ∈P，定义W(t，ψ)=V(t，x_ψ(t)).

先证明(i)：设$F \in \mathscr{F}(\mathit{\Omega }, h)$，其中函数$h:\left[t_0, t_0+\sigma\right] \longrightarrow \mathbb{R}$是不减且左连续的. 给定ψ∈P，需证明$W(\cdot, \psi) \text { 在 }\left(t_0, t_0+\sigma\right]$上左连续，令$\sigma_0 \in\left(t_0, t_0+\sigma\right], \varepsilon>0$，由引理6，存在ψ∈A(σ₀，x_ψ)，使得

由于σ₀∈(t₀，t₀+σ]，ε>0，h和y_t在(t₀，t₀+σ]上左连续，存在δ>0使得对每个t∈[σ₀-δ，σ₀)有

下面证明对每个t∈[σ₀-δ，σ₀)有

设任意t∈[σ₀-δ，σ₀)，有

由引理8和(6)式有

另一方面，令ψ：[t，t+σ]→X是初始条件为y_t=ψ的测度泛函微分方程(4)的解，由引理7有

因此

由于ψ是初始条件为y_t=ψ的测度泛函微分方程(4)的解，

由引理8有

由(8)，(9)和(10)式有

根据(7)和(11)式，对所有t∈[σ₀-δ，σ₀)，

因此，

下面证明(ii)：存在ε>0和一个序列对$\left(t_k, y_k\right) \in\left[t_0, t_0+\sigma\right] \times O, k=1, 2, \cdots$，使得

当$k \rightarrow \infty \text { 时, } t_k \rightarrow \infty, V\left(t_k, y_k\right) \rightarrow 0 \text {. 取 } \delta=\delta(\varepsilon)>0 \text {, }$存在$ k_0 \in \mathbb{N}$，使得对所有$k>k_0, V\left(t_k, y_k\right)<$δ. 又因为A(t_k，y_k)是一个闭集，存在$\varphi_k \in A\left(t_k, y_k\right)$，使得

定义$P_k:\left[t_0, t_k\right] \longrightarrow X$，

由于φ_k(t₀)=0，P_k(t₀)=0，因此，

对σ∈[t₀，t_k]，有

因此，对所有$t \geqslant t_0, \left\|\varphi_k(t)\right\|<\varepsilon, \left\|\varphi_k\left(t_k\right)\right\|=\left\|y_k\right\|<\varepsilon$，与(12)式矛盾.

下面证明(iii)：设$x:\left[s_0, t_0+\sigma\right] \longrightarrow X$是广义常微分方程(5)的解，$t_1, t_2 \in\left[s_0, t_0+\sigma\right]$，使得$t_2>t_1 \text {. 令 } \varphi \in A\left(t_1, x_\psi\left(t_1\right)\right) \text {, 定义 } \phi:\left[t_0, t_0+\sigma\right] \longrightarrow X$，

注意$\phi \in A\left(t_2, x_\psi\left(t_2\right)\right)$，因此，

由定义3和$\phi \in A\left(t_2, x_\psi\left(t_2\right)\right)$，可知函数$\sigma \longmapsto \phi(\sigma)-\int_{t_0}^\sigma D F(\phi(\tau), s), \sigma \in\left[t_0, t_2\right]$是正则且左连续的，则根据引理2，考虑关于

的两种情况：

1) 假设对v∈[t₀，t₂]，

在这种情况下，v∈[t₀，t₁]或v∈[t₁，t₂]. 如果v∈[t₀，t₁]，则

由于$\left.\phi\right|_{\left[t_0, t 1\right]}=y_t$，有

再由(13)式有

现在，假定v∈[t₁，t₂]，考虑到$\left.\phi\right|_{\left[t1, t_2\right]}=y$，有

因为x是广义常微分方程(5)的解，我们推断出

由(13)和(16)式，

再由(13)和(17)式，我们得到

2) 假设对v∈[t₀，t₂]，

在这种情况下，v∈[t₀，t₁]或v∈[t₁，t₂]. 如果v∈[t₀，t₁)，因为$\left.\phi\right|_{\left[t_0, t 1\right]}=y_t$，则

现在，假设v∈[t₁，t₂]，考虑到$\left.\phi\right|_{\left[t 1, t_2\right]}=x_\phi$，有

再由(13)式，有

在(14)，(18)和(20)式中，y_t∈A(t₁，x_ψ(t₁))，有

因此，

由引理4可得(iv)显然成立.

下面证明(v)：由引理4和引理8，考虑a是一个单位函数，对所有z∈X，t∈[t₀，t₀+σ]，

下面证明(vi)：仿照证明(iii)的方法，对所有t∈[s₀，t₀+σ)和η>0，有

即

因此

定理2   如果测度泛函微分方程(4)的平凡解y ≡ 0是正则吸引的，则存在一个泛函

满足：

(i) 对所有$\psi \in P, W(\cdot , \psi):\left[t_0, t_0+\sigma\right] \longrightarrow \mathbb{R}$在(t₀，t₀+σ]上是左连续的；

(ii) 存在一个连续(严格)递增函数$b: \mathbb{R}^{+} \longrightarrow \mathbb{R}^{+}$满足b(0)=0，使得对所有$(t, \psi) \in\left[t_0, t_0+\sigma\right] \times$$P, W(t, \psi) \geqslant b(\|\psi\|)$；

(iii) 对测度泛函微分方程(4)的每个饱和解$y:\left[s_0, t_0+\sigma\right] \subset\left[t_0, t_0+\sigma\right] \longrightarrow O$，我们有

(iv) 对所有t∈[t₀，t₀+σ]，W(t，0)=0；

(v) 存在一个连续递增函数$a: \mathbb{R}^{+} \longrightarrow \mathbb{R}^{+}$满足a(0)=0，使得对所有$z \in P, t \in\left[t_0, t_0+\sigma\right]$，$W(t, z) \leqslant a(\|z\|)$；

(vi) 函数$t \longmapsto W\left(t, y_t(s, \psi)\right), t \in\left(-\infty, t_0+\sigma\right]$沿初始条件为y_s=ψ的测度泛函微分方程(4)的每个饱和解y：(-∞，t₀+σ]是不增的；

证   (i)，(ii)，(iv)，(v)，(vi)的证明过程与定理1类似，因此在这里省略. 这里来证明一下(iii)：首先，对$s \geqslant t_0, x \in O \text {, 定义 } V:\left[t_0, t_0+\sigma\right] \times O \longrightarrow \mathbb{R}$，

设$x:\left[s_0, t_0+\sigma\right] \subset\left[t_0, t_0+\sigma\right] \longrightarrow X$是广义常微分方程(5)的饱和解，$t \in\left[s_0, t_0+\sigma\right] \text {. 设 } \varphi \in A(t$，$\left.x_\psi(t)\right), \eta>0 \text {. 定义 } \phi_\eta:\left[t_0, t_0+\sigma\right] \longrightarrow X$，

注意$\phi_\eta \in A(t+\eta, y(t+\eta))$. 因此

则函数$\sigma \longmapsto \phi_\eta(\sigma)-\int_{t_0}^\sigma D F\left(\phi_\eta(\tau), s\right), \sigma \in\left[t_0, t+\eta\right]$是正则且左连续的.根据引理2和引理6，考虑关于

的两种情况：

1) 假设对V∈[t₀，t+η]，

考虑到$\left.\phi_\eta\right|_{\left[t_0, t\right]}=\varphi \text { 和 }\left.\phi_\eta\right|_{[t, t+\eta]}=x_\psi $，有

因为$x_\psi(v)-\int_t^v D F\left(x_\psi(\tau), s\right)=x_\psi(t) \text { 和 } \varphi(t)=x_\psi(t)$，有

又因为$\varphi \in A\left(t, x_{\psi}(t)\right)$，有

所以，

因此，

因此，

2) 假设对V∈[t₀，t+η]，

因为情况2)的证明过程与定理1中(iii)的情况2)的证明过程相似，因此在这里省略.