Empirical Estimation on Mark to Market Conditional Tail Expectation under α-mixing Dependence Structure

近年来，风险度量在金融市场中变得愈加重要. 记投资组合收益为随机变量X，其累积分布函数为F_X(x). 给定显著性水平α∈(0，1)，在险价值

给出了投资组合以α的概率所遭受的最小损失值. 文献[1-2]分别刻画、研究了对冲基金的风险特征与资本充足率，及住宅市场的下行风险. 文献[3]将在险价值与医院金融风险管理相结合，以达增强医院资产流动的目的. 但VaR因不满足次可加性，故不是一致性风险度量^[4]. 作为本文的研究对象，条件尾期望

刻画了投资组合在损失超过阈值VaR_X(α)时所遭受的期望损失值，且当F_X(x)为连续函数时，其满足一致性风险度量的所有理想性质^[4-5]. 关于条件尾期望估计量及条件尾期望在银行、金融服务与保险等领域的广泛应用，见文献[6-12].

尽管在险价值与条件尾期望有着简单且易于理解的表达式，但其是根据持有期结束时的投资组合收益变化计算的. 故当金融机构出现投资组合在其持有期内有多次结算时，在险价值与条件尾期望很难适用于该金融机构内部风险的评估. 同时为缓解在险价值对资产市场风险的低估，基于投资组合在每一个连续交易日的收益时序{X₁，X₂，…}，文献[13]提出了逐日盯市在险价值

其中：S_k^X=X₁+…+X_k，k为任一给定的正整数；F_Y(y)为当i=1时，Y_i：=min(X_i，X_i+X_i+1，…，X_i+X_i+1+…+X_i+k-1)的累积分布函数. 文献[13]在序列{X_i，i≥1}满足严平稳ρ-混合相依性的条件下，证明了逐日盯市在险价值经验估计量$-\hat{F}_{Y, n}^{-1}(\alpha)$的强相合性与渐近正态性，其中$\hat{F}_{Y, n}^{-1}(\alpha)$为

的α分位数. 基于逐日盯市在险价值，本文提出逐日盯市条件尾期望：

为保证逐日盯市条件尾期望满足风险度量一致性公理，且为便于后续理论推导，本文针对Y₁的累积分布函数F_Y，作如下假设：

(ⅰ) F_Y在定义域内连续；

(ⅱ) F_Y在ξ_α的某邻域内至少二阶可导，其中ξ_α：=F_Y^-1(α)=inf{y：F_Y(y)≥α}，且F_Y的一阶导函数F′_Y与二阶导函数F″_Y在该邻域内有界；

(ⅲ) F′_Y(ξ_α)=：f(ξ_α)>0.

易知上述假设(ⅰ)保证了MMVaR_Sk^X(α)=-ξ_α，且由假设(ⅱ)，(ⅲ)可知逐日盯市条件尾期望有如下积分表达式

其经验估计量定义为

其中Y_i：n为Y₁，…，Y_n的第i次序统计量，[nα]表示对nα向下取整. 本文将在时序满足相较于文献[13]更弱的相依性，即严平稳强混合的条件下，证明$-\hat{F}_{Y, n}^{-1}(\alpha)$与MMCTE_Sk^X，n(α)的强相合性与渐近正态性.

本文主要结论如下：

定理1  假设{X_i，i≥1}为严平稳强混合序列，其混合系数满足α(n)≤cn^-β，其中c>0，β>1. 则对任一给定的α∈(0，1)与任意的$\delta \in\left(\frac{9}{10+8 \beta}, \frac{1}{2}\right)$，当n→∞时，

几乎处处成立.

注1  对比定理1与文献[14]中的引理3.3可知，基于相同的参数δ，本文得到了一个比$O\left(n^{-\frac{1}{2}+\delta}(\log \right. \ \left.\log n)^{\frac{1}{2}}\right)$更好的界$O\left(n^{-\frac{1}{2}+\delta}\right)$.

定理1的证明  为书写方便，记$\hat{F}_{Y, n}^{-1}(\alpha)$为${\mathop \xi \limits^ \wedge _\alpha }$. 因{X_i，i≥1}为严平稳强混合序列，故由定义可知，{Y_i，i≥1}也是严平稳强混合序列，且其强混合系数α_Y(n)满足α_Y(n)≤α(n)≤cn^-β，其中c>0，β>1. 对于任意的$\delta \in\left(\frac{9}{10+\beta}, \frac{1}{2}\right)$，令$\epsilon_n=n^{-\frac{1}{2}+\delta}$，n≥1，有

其中$V_i=\mathrm{I}\left(Y_i>\xi_\alpha+\epsilon_n\right), v_{n 1}=F_Y\left(\xi_\alpha+\epsilon_n\right)-\alpha=f\left(\xi_\alpha\right) n^{-\frac{1}{2}+\delta}+o\left(\epsilon_n\right)$. 因为{Y_i，i≥1}是严平稳强混合序列，由定义可知，{V_i-EV_i，i≥1}亦为严平稳强混合序列，且与{Y_i，i≥1}有着相同的强混合系数. 同时因其满足|V_i-EV_i|≤1，故由文献[15]的定理1.3可得

类似地，有

其中$u_{n 2}=\alpha-F_Y\left(\xi_\alpha-\epsilon_n\right)=f\left(\xi_\alpha\right) n^{-\frac{1}{2}+\delta}+o\left(\epsilon_n\right)$，$\left[\frac{n}{2 q}\right]$表示对$\frac{n}{2 q}$向下取整. 记υ_n=min(υ_n1，υ_n2)，则当n充分大时，有不等式$u_n \geqslant \frac{1}{3} f\left(\xi_\alpha\right) n^{-\frac{1}{2}+\delta}$成立. 令q=「n^1-2δ(log n)²⌉，其中「⌉表示向上取整，综合不等式(2)与(3)可知，对于充分大的n，有

成立，其中$\tau=-\frac{5}{4}+\delta\left(\frac{5}{2}+2 \beta\right)>1$. 因此，存在正整数n₀使得

则由Borel-Cantelli引理可知(1)式几乎处处成立. 定理证毕.

如下定理2给出了逐日盯市在险价值经验估计量的渐近分布.

定理2  假设{X_i，i≥1}为严平稳强混合序列，其混合系数满足α(n)≤cn^-β，其中c>0，β>3. 记Y₍₁₎≤Y₍₂₎≤…≤ Y_(n)≤…为过程{Y_i，i≥1}的次序统计量. 若正整数序列{k_n，n≥1}满足1≤k_n≤n，且当n→∞时，

记H_n=Y_(kn)，则

其中$\sigma _\alpha ^2 = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n{\mathop{\rm Var}\nolimits} \left( {{{\hat F}_{Y, n}}\left( {{\xi _\alpha }} \right)} \right) < \infty $.

证  因为

其中V_i=I(Y_i>ξ_α+a_n)，$\tilde{v}_{n 1}=F_Y\left(\xi_\alpha+a_n\right)-\frac{k_n}{n}=F_Y\left(\xi_\alpha+a_n\right)-\alpha+o\left(n^{-\frac{1}{2}}\right)=f\left(\xi_\alpha\right) a_n+o\left(a_n\right)$，及

其中：W_i=I(Y_i≤ξ_α-a_n)，$\tilde{v}_{n 2}=\frac{k_n}{n}-F_Y\left(\xi_\alpha-a_n\right)=f\left(\xi_\alpha\right) a_n+o\left(a_n\right)$. 则由文献[16]引理3.4的证明易得，当n充分大时，$H_n \in \mathscr{D}_n:=\left[\xi_\alpha-a_n, \xi_\alpha+a_n\right]$几乎处处成立，其中$a_n=n^{-\frac{1}{2}}(\log \log n \cdot \log n)^{\frac{1}{2}}$. 由文献[16]的定理2.4可知，当$\delta>\max \left(\frac{5}{\beta-3}-1, \frac{2}{\beta-1}\right)$，β>3，及n→∞时，对所有的$y \in \mathscr{D}_n$，有

几乎处处成立. 因此，基于(5)式可得，当n→∞时，

几乎处处成立，其中由文献[15]的定理1.5与定理1.7可知$\frac{n^{\frac{1}{2}}\left(\hat{F}_{Y, n}\left(\xi_\alpha\right)-\alpha\right)}{\sigma_\alpha} \stackrel{\mathscr{L}}{\longrightarrow} N(0, 1)$，$\sigma _\alpha ^2 = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n{\mathop{\rm Var}\nolimits} \left( {{{\hat F}_{Y, n}}\left( {{\xi _\alpha }} \right)} \right) < \infty $. 利用泰勒展式，有

综合(6)，(7)式可知(4)式成立. 定理证毕.

接下来的定理3-4给出了MMCTE_Sk^X(α)经验估计量的强相合性与渐近正态性.

定理3  假设定理1的条件成立，且Y₁的一阶矩存在. 则对任一固定的α∈(0，1)，${MMCTE}_{S_k^X, n}(\alpha) \stackrel{a . s}{\longrightarrow} MMCT{E_{S_k^X}}(\alpha )$.

证  若证得

易知该定理结论成立. 因为E|Y₁| < ∞，即$\int_0^1\left|F_Y^{-1}(u)\right| \mathrm{d} u<\infty$，则对任意给定的$\epsilon>0$，存在充分小的$\delta_\epsilon>0$，

(8) 式的左边部分可拆分为

其中由定理1的证明易得$I_n^{(1)}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left|Y_i\right|-\mathrm{E}\left|Y_1\right| \stackrel{a. s.}{\longrightarrow} 0$，因此存在N₁>0，使得对于所有的n>N₁，有

由定理1可知，$\stackrel{\wedge}{F}_{Y, n}^{-1}(u) \stackrel{a \cdot s}{\longrightarrow} F_Y^{-1}(u)$在区间u∈(0，1)上局部一致成立. 故利用控制收敛定理，对于上述给定的$\epsilon$，存在N₂>0，使得对于所有的n>N₂，有

与

成立. 综合(9)-(13)式可知对任意给定的$\epsilon>0$，存在$N_{\epsilon, \delta}:=\max \left(N_1, N_2\right)>0$，使得对所有的$n>N_{\epsilon, \delta}$，有$\mathrm{P}\left(\left|\int_0^1\right| \hat{F}_{Y, n}^{-1}(u)-F_Y^{-1}(u)|\mathrm{d} u|<\epsilon\right)=1$. 这表明(8)式成立. 定理证毕.

定理4  假设定理1的条件成立，则对任一给定的α∈(0，1)，

其中$\sigma _Y^2(\alpha ) = \frac{1}{{{\alpha ^2}}}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\mathop{\rm Var}\nolimits} \left( {\frac{1}{{{n^{\frac{1}{2}}}}}\sum\limits_{i = 1}^n {\int_{ - \infty }^{{\xi _\alpha }} {\left( {{\rm{I}}\left( {{Y_i} \le u} \right) - {F_Y}(u)} \right)} } {\rm{d}}u} \right) < \infty $.

证  首先计算如下积分：

基于类似的计算步骤，可得

接着计算如下等式：

其中基于(14)与(15)式可得

由此可知R_Y，n(α)的界为

基于此界，对任一给定的α∈(0，1)，因为$\hat{F}_{Y, n}\left(F_Y^{-1}(\alpha)\right)-\alpha=O_P\left(\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\right), \hat{F}_{Y, n}\left(\hat{F}_{Y, n}^{-1}(\alpha)\right)-\alpha=O\left(\frac{1}{n}\right)$，且由定理1可知$F_Y^{-1}(\alpha)-\hat{F}_{Y, n}^{-1}(\alpha)=o_P(1)$，故$n^{\frac{1}{2}}\left|R_{Y, n}(\alpha)\right|=o_P(1)$. 因此，对任一给定的α∈(0，1)，利用文献[15]的定理1.5与定理1.7，有

成立，其中$\sigma _Y^2(\alpha ) = \frac{1}{{{\alpha ^2}}}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\mathop{\rm Var}\nolimits} \left( {\frac{1}{{{n^{\frac{1}{2}}}}}\sum\limits_{i = 1}^n {\int_{ - \infty }^{{\xi _\alpha }} {\left( {{\rm{I}}\left( {{Y_i} \le u} \right) - {F_Y}(u)} \right)} } {\rm{d}}u} \right) < \infty $. 定理证毕.