The Asymptotic Properties of Generalized Quantiles

令X的分布函数为F，其生存函数为$\bar{F}=1-F$. 假定X服从重尾分布，即$\bar{F}$满足如下的正规变化条件：

记为$\bar{F} \in R V_{-\frac{1}{\gamma}}$.

令$H(x):[0, \infty) \longrightarrow[0, \infty)$为严格单调递增、可导的凸函数，满足

文献[1]定义X的广义分位数

则$q_\tau^* \in \arg \min _q \mathrm{E}\left[\eta_\tau(X-q)-\eta_\tau(X)\right]$，其中$\eta_\tau(x)=|\tau-1(x \leqslant 0)| H(|x|)$. 它进一步研究了M分位数^[2]的性质. 当$H(x)=x, x^2, x^p, p>1$时，(1)式分别为一般分位数$q_\tau \in \arg \min _q \tau \mathrm{E}\left[(X-q)^{+}\right]+$ $(1-\tau) \mathrm{E}\left[(X-q)^{-}\right]$ ^[3]、期望分位数^[4]、$L_p$分位数^[5].

文献[6-9]说明了$q_\tau$与期望分位数之间的联系. 文献[10-11]则得到了$q_\tau$与$L_p$分位数的渐近关系. 有关$q_\tau$，期望分位数和$L_p$分位数应用的更多研究见文献[12-13]. 本文受文献[11]的启发，在假定$H \in R V_\alpha$且$\alpha>1$的基础上，讨论极端情况下$q_\tau^*$与$q_\tau$的渐近关系.

下面给出本文的主要结果，即$q_\tau^*$与$q_\tau$的联系. 首先建立$\bar{F}\left(q_\tau^*\right)$与$1-\tau$的联系，结论如下：

定理1    假定$\bar{F} \in R V_{-\frac{1}{\gamma}}, H \in R V_\alpha$. 对任意的$\alpha>1, c>0$，有$\mathrm{E}[H(c|X|)] <\infty$和$0 <\gamma <\frac{1}{\alpha-1}$. 则

其中$\mathrm{B}(a, b)=\int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1} \mathrm{~d} x$是贝塔函数.

由于$\bar{F}\left(q_\tau\right)=1-\tau$，因此基于定理1我们易得到$q_\tau^*$与$q_\tau$的联系(定理2).

定理2    在定理1的条件下，有

在证明定理1之前，先引入3个引理.

引理1    若对任意的$c>0$，有$\mathrm{E}[H(c|X|)] <\infty$，则$q_\tau^* \in \arg \min _q \mathrm{E}\left[\eta_\tau(X-q)-\eta_\tau(X)\right]$当且仅当$(1-\tau) \mathrm{E}\left[H^{\prime}\left(\left(X-q_\tau^*\right)^{-}\right)\right]=\tau \mathrm{E}\left[H^{\prime}\left(\left(X-q_\tau^*\right)^{+}\right)\right]$.

证    参见文献[1]引理3.

引理2    若对任意的c>0，有$\mathrm{E}[H(c|X|)] <\infty$，则$q_\tau^*$是(0，1)上的单调递增函数且当$\tau \rightarrow 1$时，$q_\tau^* \rightarrow+\infty$.

证    $q_\tau^*$的单调性见文献[1]的命题5(f).若当$\tau \rightarrow 1$时，$q_\tau^* \not \rightarrow+\infty$. 则由单调收敛定理可得$q_\tau^*$收敛到一个有限数值，记为$q^*$. 函数$\mathrm{E}\left[H^{\prime}\left(\left(X-q_\tau^*\right)^{-}\right)\right]$和$\mathrm{E}\left[H^{\prime}\left(\left(X-q_\tau^*\right)^{+}\right)\right]$是连续的，利用控制收敛定理及引理1，当$\tau \rightarrow 1$时，$\mathrm{E}\left[H^{\prime}\left(\left(X-q_\tau^*\right)^{+}\right)\right]=0$，即$\mathrm{P}\left(X \leqslant q^*\right)=1$. 这与X服从重尾分布F，其上端点为+∞^[15]矛盾.

引理3    假定$\bar{F} \in R V_{-\frac{1}{\gamma}}, H \in R V_\alpha$. 对任意的$\alpha>1, b \geqslant 1$和c>0，有$\mathrm{E}[H(c|X|)] <\infty, 0 < \gamma <\frac{1}{b(\alpha-1)}$. 则

证    记

其中

由文献[14]的命题0.7(b)可知$H^{\prime} \in R V_{a-1}$. 根据文献[14]的命题0.5，控制收敛定理及正规变化函数的局部一致收敛性，有

由文献[15]的定理B.2.18，对任意$\epsilon >0, 0 <\delta <\gamma^{-1}-b(\alpha-1)$，存在$t_0=t_0(\epsilon, \delta)$使得对$t \geqslant t_0, x>1$，有

因此，对$t>2, q_\tau^* \geqslant t_0$，有

由于$\gamma^{-1}-b(\alpha-1)>0, \gamma^{-1}-b(\alpha-1)-\delta>0$. 因而$(t-1)^{b(a-1)} t^{-\frac{1}{\gamma}-1}$和$(t-1)^{b(\alpha-1)+\hat{\delta}} t^{-\frac{1}{\gamma}-1}$在(2，+∞)上关于t可积. 同样利用控制收敛定理，可得

因此，由(3)-(5)式可得

对$\varDelta_2(\tau)$，同样由文献[15]的定理B.2.18可知，对任意$\epsilon>0, 0 <\delta <\gamma^{-1}-b(\alpha-1)$，存在$t_0^*=t_0^*(\epsilon, \delta )$使得对$q_\tau^* \geqslant t_0^*, s>1$，有

因此，

注意到

令$\epsilon \rightarrow 0$可得

由(2)，(6)与(7)式可知结论成立，引理证毕.

定理1的证明    由引理1可知

等价于

其中$I_1\left(q_\tau^*\right)=\mathrm{E}\left[H^{\prime}\left(X-q_\tau^*\right) 1_{\left(X>q_*^*\right)}\right], I_2\left(q_\tau^*\right)=\mathrm{E}\left[H^{\prime}\left(\left|X-q_\tau^*\right|\right)\right]$. (8)式两边同除以$H^{\prime}\left(q_\tau^*\right)$，有

由引理3，令b=1有

记

当$q_\tau^* \rightarrow+\infty$时，则$\bar{F}\left(q_\tau^*\right) \rightarrow 0$，由(9)式知$A_1(\tau)=\frac{I_1\left(q_\tau^*\right)}{H^{\prime}\left(q_\tau^*\right)} \rightarrow 0$.

注意到，文献[14]的命题0.7(a)表明，由$\mathrm{E}[H(c|X|)]$的存在性可得$\mathrm{E}\left[H^{\prime}(c|X|)\right]$的存在性. 因此对第二项$A_2(\tau)$，利用$\mathrm{E}\left[H^{\prime}(c|X|)\right]$的存在性及文献[14]的命题0.8(i)，当$q_\tau^* \rightarrow+\infty$时，有

对第三项A₃(τ)，有

由文献[14]的命题0.7(b)可得$H^{\prime} \in R V_{\alpha-1}$，类似引理3的证明有

注意到，当$\tau \rightarrow 1$时，有$q_\tau^* \rightarrow+\infty$，则(10)式第二项中的$\left(1-\frac{X}{q_\tau^*}\right)^{\alpha-1} 1_{\left(|X| <q_\tau^*\right)}$几乎处处收敛到1且小于等于$2^{a-1}$，由控制收敛定理可得

由(10)，(11)与(12)式可得A₃(τ)收敛到1. 因此，

联合(8)，(9)与(13)式可得定理得证.