The Graded Bialgebras Structure of Finite Dimensional Leavitt Path Algebras

Leavitt代数是文献[1]给出的不满足基数不变性的一个典型例子，一般记作L_$\mathbb{K}$(1，n)，其中n是正整数，$\mathbb{K}$是一个域.Leavitt路代数是基于有向图定义的满足一定生成关系的一类代数，是Leavitt代数的自然推广，由文献[2-3]各自独立引入.Leavitt路代数与Bergman代数、图C^*-代数、半群等若干类代数有着密切联系，近些年受到了广泛关注，有限维Leavitt路代数是一类半单代数^[4-8].

Hopf代数的分类，是代数学者长期关注的重要问题，近年来，Hopf代数也在组合研究领域中崭露头角^[9].有限维半单代数上有丰富的Hopf代数结构^[10-11]，相关研究在Hopf代数的分类中举足轻重，有向图也是研究Hopf代数分类问题的手段之一^[12-13].有限维Leavitt路代数作为半单代数自然也有Hopf代数结构，但Leavitt路代数同时具有整数分次结构($\mathbb{Z}$-分次结构)^[14]，其上是否具有$\mathbb{Z}$-分次的Hopf代数结构尚不清楚，本文给出了有限维Leavitt路代数具有$\mathbb{Z}$-分次双代数结构的充要条件.

我们首先引入一些基本概念和记号.令$\mathbb{K}$是代数闭域，B是$\mathbb{K}$-线性空间.又令I是B上的单位映射，m：B⊗B→B，μ：$\mathbb{K}$→B，Δ：B→B⊗B，$\epsilon$：B→$\mathbb{K}$，s₁：$\mathbb{K}$⊗B→B，s₂：B ⊗$\mathbb{K}$→B均是$\mathbb{K}$-线性映射，其中对任意b∈B，k∈$\mathbb{K}$，有s₁(k⊗b)=kb=s₂(b⊗k).若B关于m，μ，Δ，$\epsilon$满足下列条件：

(a) 结合性：m(I⊗m)=m(m⊗I)；

(b) 单位性：m(I⊗μ)=s₂，m(μ⊗I)=s₁；

(c) 余结合性：(I⊗Δ)Δ=(Δ⊗I)Δ；

(d) 余单位性：s₂(I⊗$\epsilon$)Δ=I=s₁($\epsilon$⊗I)Δ；

(e) Δ，$\epsilon$均是代数同态.

则称B是一个$\mathbb{K}$-双代数，记μ(1_$\mathbb{K}$)=1，则1是B的单位元^[15].若B=⊕_{n∈$\mathbb{Z}$}B_n是$\mathbb{K}$-双代数，且满足：

(ⅰ) B_iB_j⊆B_i+j(∀i，j∈$\mathbb{Z}$)；

(ⅱ) ΔB_n⊆⊕_i+j=nB_i⊗B_j(∀n，i，j∈$\mathbb{Z}$)；

(ⅲ) $\epsilon$B_n=0(∀n∈$\mathbb{Z}$-{0}).

则称B是$\mathbb{Z}$-分次$\mathbb{K}$-双代数.

四元组(Γ⁰，Γ¹，s，r) 称为一个有向图，记作Γ，其中，Γ⁰为图Γ的顶点集，Γ¹为图Γ的边集，s：Γ¹→Γ⁰为图Γ的起点映射，r：Γ¹→Γ⁰为图Γ的终点映射^[4].若s^-1(v)=∅=r^-1(v)，则称v是一个孤立点.若e₁，…，e_n∈Γ¹，对∀i=1，…，n-1，有r(e_i)=s(e_i+1)，则称边的序列ρ=e₁e₂…e_n为图Γ中的一条路径，且s(ρ)=s(e₁)，r(ρ)=r(e_n)，n=$\ell$(ρ)为ρ的长度.对∀v∈Γ⁰，有$\ell$(v)=0.Path(Γ)表示图Γ中所有路径构成的集合.称四元组(Γ⁰，Γ¹∪(Γ¹)^*，r′，s′)为图Γ的扩展图，记作$\stackrel{\wedge}{\varGamma}$，其中(Γ¹)^*={e^*：e∈Γ¹}.对∀e∈Γ¹，有

若ρ=e₁e₂…e_n∈Path(Γ)，则ρ^*=e_n^*e_n-1^*…e₁^*.由集合Γ⁰∪Γ¹∪(Γ¹)^*生成且满足以下生成关系的结合$\mathbb{K}$-代数为Γ在$\mathbb{K}$上的Leavitt路代数，记作L_$\mathbb{K}$(Γ)：

(V) uv=δ_u，vv(∀u，v∈Γ⁰)；

(E1) s(e)e=er(e)=e(∀e∈Γ¹)；

(E2) r(e)e^*=e^*s(e)=e^*(∀e∈Γ¹)；

(CK1) e^*e′=δ_e，e′r(e)(∀e，e′∈Γ¹)；

(CK2) $v=\sum\limits_{e \in s-1(v)} e e^*\left(\forall v \in \varGamma^0, s^{-1}(v) \neq \varnothing\right)$.

称Γ为L_$\mathbb{K}$(Γ)的底图.对∀v∈Γ⁰，e∈Γ¹，定义

则L_$\mathbb{K}$(Γ)形成$\mathbb{Z}$-分次$\mathbb{K}$-双代数.

一些简单的底图上的Leavitt路代数同构于我们熟知的若干代数.例如，全矩阵代数M_n(K)同构于L_$\mathbb{K}$(Γ₁)，其中n为正整数，Γ₁为有向n-线性图，即由n个顶点、n-1条首尾相连的边形成的有向图.又如，劳伦多项式代数$\mathbb{K}$[x，x^-1]同构于L_$\mathbb{K}$(Γ₂)，其中(Γ₂)⁰={v}，(Γ₂)¹={e}，且s(e)=r(e)=v.再如，Leavitt代数L_$\mathbb{K}$(1，n)同构于L_$\mathbb{K}$(Γ₃)，其中n为大于1的正整数，且(Γ₃)⁰={v}，(Γ₃)¹={e₁，…，e_n}，对∀i=1，…，n，有s(e_i)=r(e_i)=v.

另外，有限维Leavitt路代数含有单位元，且同构于某一个分块矩阵代数^{[5, 16]}.

引理1   设Γ=(Γ⁰，Γ¹，r，s)是一个有向图.则L_$\mathbb{K}$(Γ)有单位元当且仅当Γ⁰有限，且${\bf{1}}=\sum\limits_{v \in \varGamma^0} v$.

引理2   若Leavitt路代数L_$\mathbb{K}$(Γ)是有限维$\mathbb{K}$-代数，则必存在Γ′是有限个有限线性图的并，使得$L_\mathbb{K}(\varGamma) \simeq L_{\mathbb{K}}\left(\varGamma^{\prime}\right)$.

引理3   若Γ是有限个有限线性图的并，则$\mathfrak{B}$={ρ，ρ^*：ρ∈Path(Γ)}是L_$\mathbb{K}$(Γ)的一个$\mathbb{K}$-基.

定理1   有限维Leavitt路代数形成$\mathbb{Z}$-分次双代数当且仅当其底图含有孤立点.

证   据引理2、引理3，假设Γ是有限个有限线性图的并，且$\mathfrak{B}$是由Γ的路径形成的L_$\mathbb{K}$(Γ)的$\mathbb{K}$-基.

必要性   已知L_$\mathbb{K}$(Γ)具有$\mathbb{Z}$-分次双代数结构.因为$\epsilon$是代数同态，所以

且对∀v∈Γ⁰，有$\epsilon$(vv)=$\epsilon$(v)$\epsilon$(v)=$\epsilon$(v)，即$\epsilon$(v)∈{0，1}.故存在唯一的u∈Γ⁰，使得对∀v∈Γ⁰，有$\epsilon$(v)=δ_uv.下证u是孤立点，否则，必存在e∈Γ¹，使得s(e)=u或r(e)=u.不妨假设s(e)=u.注意到u ≠r(e)，有$\epsilon$(ee^*)=$\epsilon$(e)$\epsilon$(e^*)=$\epsilon$(u)=1，即$\epsilon$(e)≠0.另一方面$\epsilon$(e)=$\epsilon$(er(e))=$\epsilon$(e)$\epsilon$(r(e))=0，矛盾.因此，u为孤立点.

充分性   若Γ含孤立点，令$\mathfrak{B}=\mathfrak{B}_1 \uplus \mathfrak{B}_2$，其中$\mathfrak{B}_1=\left\{v_1, \cdots, v_t\right\}$为Γ的孤立点集. 任取$\beta \in \mathfrak{B} \backslash\left\{v_t\right\} $，定义

任取$x \in \mathbb{Z}$，记$\bar{x} \in\{y \in \mathbb{Z}: y \equiv x(\bmod t), 1 \leqslant y \leqslant t\}$.对$\forall v_i \in \mathfrak{B}_1, \beta \in \mathfrak{B}_2$，定义

显然上述定义的$\epsilon$，Δ满足$\mathbb{Z}$-分次条件.由上述余乘定义可得

以下仅需分别验证双代数的定义中的(c)，(d)，(e)3条.

(d) 任取$v_i \in \mathfrak{B}_1$，有

任取$\beta \in \mathfrak{B}_2$，有

即s₁($\epsilon$⊗I)Δ=I=s₂(I ⊗$\epsilon$)Δ.

(c) 基于上述定义，对∀x，y∈{1，…，t}，显然有$\overline{x-y}=\overline{\bar{x}-\bar{y}}$.任取$v_i \in \mathfrak{B}_1$，有

任取$\beta \in \mathfrak{B}_2$，基于(1)式可得

即(Δ⊗I)Δ=(I ⊗Δ)Δ.

(e) $\epsilon$是代数同态.任取λ，γ∈$\mathfrak{B}$，若λ=γ=v_t，则$\epsilon$(λγ)=1=$\epsilon$(λ)$\epsilon$(γ).若λ，γ不全为v_t，则$\epsilon$(λγ)=0=$\epsilon$(λ)$\epsilon$(γ)，即$\epsilon$(λγ)=$\epsilon$(λ)$\epsilon$(γ).

Δ是代数同态.任取$\lambda, \gamma \in \mathfrak{B}$，若$\lambda, \gamma \in \mathfrak{B}_1$，则

即Δ(λγ)=Δ(λ)Δ(γ). 若$\lambda, \gamma \in \mathfrak{B}_2$，当λγ=0时，显然Δ(λγ)=0=Δ(λ)Δ(γ)；当λγ≠0时，则存在κ∈$\mathfrak{B}_2$使得κ=λγ，且

即Δ(λγ)=Δ(κ)=Δ(λ)Δ(γ).当λ，γ不同时在$\mathfrak{B}_1$或$\mathfrak{B}_2$时，显然Δ(λγ)=0=Δ(λ)Δ(γ).总之，对∀λ，γ∈$\mathfrak{B}$，Δ(λγ)=Δ(λ)Δ(γ).

综上所述，(L_$\mathbb{K}$(Γ)，m，μ，Δ，$\epsilon$)可形成$\mathbb{Z}$-分次双代数.