20世纪20年代，文献[1]提出并证明了著名的Banach压缩映象原理.文献[2]提出了b-度量空间的概念，众多学者深入研究了b-度量空间中新型压缩映象及不动点问题.

定义1^[3] 设 $\mathscr{A}$ 为代数空间，共轭线性映射a|→a^*.若∀a，b∈ $\mathscr{A}$ ，有：

则称该映射为a^*-代数映射，数对( $\mathscr{A}$ ，^*)是a^*-代数空间.

定义2^[3] 设( $\mathscr{A}$ ，^*)是完备的单位赋范a^*-代数空间.若∀a∈ $\mathscr{A}$ ，有

则称( $\mathscr{A}$ ，^*)为巴拿赫a^*-代数空间.

定义3^[3] 若在巴拿赫a^*-代数空间( $\mathscr{A}$ ，^*)上，∀a∈ $\mathscr{A}$ ，有

则称 $\mathscr{A}$ 是C^*-代数空间.

∀a∈ $\mathscr{A}$ ，有a=a^*且σ(a)⊂ $\mathbb{R}$ ₊，其中

则称a为 $\mathscr{A}$ 中的正元素，用 $\mathscr{A}$ ₊表示正元素的集合.

对 $\mathscr{A}$ 中的正元素定义偏序‘ $\succcurlyeq$ ’：b $\succcurlyeq$ a当且仅当b-a∈ $\mathscr{A}$ ₊.若a∈ $\mathscr{A}$ ₊，即a $\succcurlyeq$ 0 _{$\mathscr{A}$} ，其中0 _{$\mathscr{A}$} 表示 $\mathscr{A}$ 中的零元.因此

注1^[3]  C^*-代数空间 $\mathscr{A}$ 中的任意正元素都有唯一正平方根， ${\left( {{a^ * }a} \right)^{\frac{1}{2}}} = \left| a \right|.$

定义4^[4] 设 $\mathscr{A}$ 为C^*-代数空间，X是非空集合，映射d：X×X→ $\mathscr{A}$ ₊.若∀x₁，x₂，x₃∈ $\mathscr{A}$ ，有：

(T1) d(x₁，x₂)=0 _{$\mathscr{A}$} 当且仅当x₁=x₂；

(T2) d(x₁，x₂)=d(x₂，x₁)；

(T3) d(x₁，x₂) $\preccurlyeq$ d(x₁，x₃)+d(x₃，x₂).

成立，则称(X， $\mathscr{A}$ ，d)是C^*-代数值度量空间.

定义5^[3] 设 $\mathscr{A}$ 为C^*-代数空间，X是非空集合.设b∈ $\mathscr{A}$ 且‖b‖≥1，映射d：X×X→ $\mathscr{A}$ ₊.若∀x₁，x₂，x₃∈ $\mathscr{A}$ ，有：

(BM1) d(x₁，x₂)=0 _{$\mathscr{A}$} 当且仅当x₁=x₂；

(BM2) d(x₁，x₂)=d(x₂，x₁)；

(BM3) d(x₁，x₂) $\preccurlyeq$ b[d(x₁，x₃)+d(x₃，x₂)].

成立，则称(X， $\mathscr{A}$ ，d)是C^*-代数值b-度量空间.

定义6^[3] 设(X， $\mathscr{A}$ ，d)是C^*-代数值b-度量空间，{x_n}为X中的任一序列，x∈X.

(ⅰ)若∀ε＞0，存在N∈ $\mathbb{N}$ ，使得当n＞N时，有

则称序列{x_n}收敛到点x.即

(ⅱ)若∀ε＞0，存在N∈ $\mathbb{N}$ ，使得当n，m＞N时，有

则称序列{x_n}是X中的柯西列.

（ⅲ）若X中每个柯西列都在(X， $\mathscr{A}$ ，d)中收敛，则称(X， $\mathscr{A}$ ，d)是完备的C^*-代数值b-度量空间.

定义7^[3] 设(X， $\mathscr{A}$ ，d)是C^*-代数值b-度量空间，T：X→X，若存在常数a∈ $\mathscr{A}$ ，‖a‖＜1，使得

则称T是X上的压缩映象.

文献[4-5]在C^*-代数值度量空间上证明Banach了压缩映象原理.文献[6]研究了有关C^*-值压缩映象的不动点理论.随后文献[3]对C^*-代数值度量空间与b-度量空间进行推广，定义了C^*-代数值b-度量空间，并证明了在C^*-代数值b-度量空间中满足d(Tx，Ty)≤a^*d(x，y)a的压缩映象的不动点的存在性与唯一性.

本文在C^*-代数值b-度量空间中引入新的压缩映象，并对该压缩映象证明了不动点的存在性与唯一性.结果如下：

定理1 设(X， $\mathscr{A}$ ，d)是一个完备C^*-代数值b-度量空间，压缩映象T：X→X.若∀x，y∈X，存在a∈ $\mathscr{A}$ ，‖a‖＜1且‖b‖‖a‖²＜1，有

其中m_i为非负实数(i=1，2，3)，且m₁+m₂+m₃≤1，则T有唯一不动点.

证 若 $\mathscr{A}$ ={0 _{$\mathscr{A}$} }，定理1成立.不失一般性，设 $\mathscr{A}$ ≠{0 _{$\mathscr{A}$} }，任取x₀∈X，定义迭代序列x_n+1=Tx_n，且有x_n=Tⁿx₀(∀n∈ $\mathbb{N}$ ).

由压缩条件(1) 有

下记d(x_n，x_n+1)=D_n.因‖a‖＜1，则

整理得

令

因：

则

因此有

即

∀m，n∈ $\mathbb{N}$ ，m＞n，由‖b‖≥1及(BM3)，有

又有

因

且‖b‖‖a‖²＜1，则有

因此

于是得到

因此{x_n}为柯西序列.由(X， $\mathscr{A}$ ，d)的完备性，存在x∈X，有x_n→x→(n→∞).故有

下证x为T的不动点.因为

两边取极限，有

由：

则有

(2) 式只有当d(Tx，x)=0 ^{$\mathscr{A}$} 时成立，因此有

即x为T的不动点.

下证x是唯一的不动点.设y是T的另一个不动点，有Tx=x≠y=Ty，则

由|m₁|≤1，‖a‖＜1，则有

(3) 式当且仅当d(x，y)=0 _{$\mathscr{A}$} 时成立.因此

综上所述，x为T的唯一不动点.

注2 令 $\mathscr{A}$ = $\mathbb{R}$ ，C^*-代数值b-度量空间就变成了b-度量空间，由定理1可直接得到b-度量空间中的Banach压缩定理.

令定理1中m₁=1，m₂=m₃=0即可得如下推论1，也就是文献[3]中的定理2.1：

推论1^[3] 设(X， $\mathscr{A}$ ，d)是一个完备C^*-代数值b-度量空间，压缩映象T：X→X.若∀x，y∈X，存在a∈ $\mathscr{A}$ ，‖a‖＜1且‖b‖‖a‖²＜1，有

则T有唯一不动点.