设X是一个非空集合，用〈X〉和2^X分别表示X的一切非空有限子集的族和所有子集的族. Δ_n表示以e_o，e₁，…，e_n为顶点的n维标准单形，Δ_J表示顶点{e_j：j∈J}的凸包，其中J⊂{0，1，…，n}.设Y，Z是两个非空集合，F：Z→2^Y，则F^*：Y→2^Z定义为

定义1^[8]  如果X，Y是两个非空集合，对每一N={y₀，y₁，…，y_n}∈〈Y〉(在N中有些元素可能是相同的)，存在非空集值映象φ_N：Δ_n→2^X.则称(X，Y；φ_N)是有限弱凸空间，简称FWC-空间.

注1  定义1中集值映象φ_N去掉了连续性，因此直接推广了FC-空间和GFC-空间.

定义2  设(X，Y，φ_N)为FWC-空间，Z为拓扑空间，F：Y→2^Z和T：X→2^Z为两个极值映象.若对∀N={y₀，y₁，…，y_n}∈〈Y〉和{y_i0，y_i1，…，y_ik}⊂N，其中i=1，2，…，n，存在一个集值映象φ_N：Δ_n→2^X，使得对每一{e_io，e_i1，…，e_ik}⊂{e_o，e₁，…，e_n}，有

其中

则称F为广义T-KKM映象.

定义3  设(X，Y，φ_N)为FWC-空间，Z为拓扑空间，且Y⊂Z，E⊂Z.设T：X→2^Z为一集值映象.如果对∀N={y₀，y₁，…，y_n}∈〈E〉和{y_i0，y_i1，…，y_ik}⊂N，其中i=1，2，…，n，使得对每一{e_io，e_i1，…，e_ik}⊂{e_o，e₁，…，e_n}，有T(φ_N(Δ_k))⊂E，则称集合E⊂Z关于T是FWC-凸的.

定义4^[8]  设(X，Y；φ_N)为FWC-空间，Z为拓扑空间，T：X→2^Z是集值映象，T∈ ${\tilde{\mathbb{B}}}$ (X，Y，Z)当且仅当对∀N={y₀，y₁，…，y_n}∈〈Y〉和任意连续映象ψ：T(φ_N(Δ_n))→Δ_n，复合映象ψ°T|_φN(Δn)°φ_N：Δ_n→Δ_n有不动点.

定义5^[5]  设X，Y，Z是非空集合. H：Z×Y→2^X，C：Z→2^X是两个集值映象，广义均衡问题(X，Y，Z；H，C)是寻找z∈Z，使得对∀y∈Y，有H(z，y)∩C(z)≠∅.

引理1^[5]  设X，Y，Z是非空集合. H：Z×Y2^X，C：Z2^X是两个集值映象，满足下列条件：

(ⅰ)C是闭图(开图)；

(ⅱ)对∀y∈Y，H(·，y)在Z的非空紧子集上是上半连续的.

定义映象F：Y→2^Z，其中

则F是非空紧闭值集值映象.

引理2  设(X，Y，φ_N)为FWC-空间，Z为拓扑空间. T：X→2^Z，H：Z×Y→2^X，C：Z→2^X，G：Z×X→2^Y，D：Z→2^Y，满足下列条件：

(ⅰ)对y∈Y，存在z∈T(X)，使得G(z，y)∩D(z)=∅；

(ⅱ)对x∈X，y∈Y，存在z∈T(x)，使得H(z，y)∩C(z)=∅，则对∀z∈T(x)，G(z，y)∩D(z)≠∅.

定义映象F：Y→2^Z，其中

则F是广义T-KKM映象.

证  若结论不成立，则存在N={y₀，y₁，…，y_n}∈〈Y〉和{y_i0，y_i1，…，y_ik}⊂N，其中i=1，2，…，n，存在{e_io，e_i1，…，e_ik}⊂{e_o，e₁，…，e_n}，有

因此存在x∈T(φ_N(Δ_k))和z∈T(x)，使得z∉F(y_ij)，其中j=1，2，…，k.根据F的定义，有

由条件(ⅱ)，对∀z∈T(x)，有

明显地与条件(ⅰ)矛盾，所以F是广义T-KKM映象.

在这一部分，我们将在FWC-空间中建立广义T-KKM映象的有限交定理和无限维的广义T-KKM定理.

定理1  设(X，Y；φ_N)为FWC-空间，Z为拓扑空间，F：Y→2^Z是广义T-KKM映象，令T ${\tilde{\mathbb{B}}}$ ∈(X，Y，Z)，则集族{F(y)：y∈Y}具有有限交性质.

证  首先证明对任意{y₁，y₂，…，y_n}∈〈Y〉，有

否则，存在N={y₁，y₂，…，y_n}∈〈Y〉，和{y_i0，y_i1，…，y_ik}⊂N，使得

于是

又由于

根据(1)，(2) 式得

假设{β_i}_i=1ⁿ是从属于覆盖{(Z\F(y_i))∩T(φ_N(Δ_n))}_i=1ⁿ的连续单位分解，即对∀i∈{1，2，…，n}，β_i：T(φ_N(Δ_n))→[0, 1]是连续的，且：

定义映象ψ：T(φ_N(Δ_n))→Δ_n，满足

显然ψ是连续的.

由于T∈ ${\tilde{\mathbb{B}}}$ (X，Y，Z)，则复合映象ψ°T|_φN(Δn)°φ_N：Δ_n→Δ_n有不动点a∈Δ_n，即

故存在

有

其中

而F是广义T-KKM映象，根据(2) 式有

因此存在j∈J(z)，使得(z)∈F(y_j).但是根据J(z)的定义和(3) 式，当β_j(z)≠0时，z∈Z\F(y_i).与(4) 式矛盾，假设错误.故对∀N={y₁，y₂，…，y_n}∈〈Y〉，有

集族{F(y)：y∈Y}具有有限交性质.

注2  该结果将文献[10]中的定理3.1从G-凸空间推广到FWC-空间，把KKM映象推广为T-KKM映象.

定理2  设(X，Y；φ_N)为FWC-空间，Z为拓扑空间，F：Y→2^Z是非空紧闭值的广义T-KKM映象，其中映象T∈ ${\tilde{\mathbb{B}}}$ (X，Y，Z)，若存在M∈〈Y〉，使得 $\mathop \cap \limits_{y \in M} $ F(y)在Z中是紧集，则 $\mathop \cap \limits_{y \in M} $ YF(y)≠∅.

证  根据定理1知，集族{F(y)：y∈Y}具有有限交性质.注意到，存在M∈〈Y〉，使得 $\mathop \cap \limits_{y \in M} $ F(y)在Z中是紧集，于是{F(y)∩( $\mathop \cap \limits_{k \in M} $ F(k))：y∈Y}.具有有限交性质，而F是紧闭值，所以F(y)∩( $\mathop \cap \limits_{y \in M} $ F(z))在紧集 $\mathop \cap \limits_{y \in M} $ F(z)中是闭的，从而由紧集的性质知

注3  定理2将文献[10]中的定理3.2从G-凸空间推广到FWC-空间，把KKM映象推广为T-KKM映象.

推论1  设(X，Y；φ_N)为FWC-空间，Z为拓扑空间，K是Z的紧子集. F：Y→2^Z是非空紧闭值的广义T-KKM映象，其中映象T∈ ${\tilde{\mathbb{B}}}$ (X，Y，Z)，若存在M∈〈Y〉，使得

则

在这一部分，我们应用定理2来证明Fan-Browder不动点定理、Ky Fan截口定理和广义向量均衡问题解的存在性定理.

定理3  设(X，Y；φ_N)为FWC-空间，Z为拓扑空间，Y⊂Z为非空集，T∈ ${\tilde{\mathbb{B}}}$ (X，Y，Z)，F：Z→2^Y是一集值映象，满足：

(ⅰ)对∀z∈Z，F^-1(z)是紧开值映象；

(ⅱ)存在M∈〈Y〉，使得 $\mathop \cap \limits_{y \in M} $ clF^*(y)在Z中是紧集；

(ⅲ)对∀y∈Y，F(y)关于T是非空FWC-凸的.则存在z∈Z，使得z∈F(z).

证  情形1  z∈Y，使得

此时F^-1(z)=Z，故对∀z∈Z，有z∈F(z).特别地，z∈F(z).

情形2  对∀y∈Y，F^*(y)≠∅.因F是非空值的，故

因此

由条件(ⅰ)知，因F^*是非空紧闭值，根据定理2，F^*不是T-KKM映象，则存在：

使得

于是

因此{y_i0，y_i1，…，y_ik}⊂F(z).由条件(ⅲ)，有

所以

定理4  设(X，Y；φ_N)为FWC-空间，Z为拓扑空间，Y⊂Z非空集，T∈ ${\tilde{\mathbb{B}}}$ (X，Y，Z)，∅≠D∅Z×Y，满足：

(ⅰ)对∀z∈Z，{y∈Y|(z，y)∉D}是紧闭集；

(ⅱ)存在M∈〈Y〉，使得 $\mathop \cap \limits_{y \in M} $ cl{z∈Z|(z，y)∈D}在Z中是紧集；

(ⅲ)对∀y∈Y，{y∈Y|(z，y)∉D}关于T是非空FWC-凸的；

(ⅳ)对∀y∈Y，(y，y)∈D.

则存在z∈Z，使得{z}×Y⊂D.

证  对∀y∈Y，定义F：Y→2^Z为

则对∀z∈Z，有

情形1  存在z∈Y，使得F(z)=∅，则由F的定义可知，对∀y∈Y，有(z，y)∈D，即{z}×Y⊂D，定理4获证.

情形2  对∀y∈Y，F(y)≠∅.由条件(ⅰ)，对∀z∈Z，F^*(z)是紧闭的，故对每一点z∈Z，F^-1(z)是紧开的.由条件(ⅱ)，存在M∈〈Y〉，使得 $\mathop \cap \limits_{y \in M} $ clF^*(y)在Z中是紧集.由条件(ⅲ)，对∀y∈Y，F关于T是非空FWC-凸的.根据定理3，存在z∈Z，使得

因而有(z，z)∉D，这与条件(ⅳ)矛盾，于是存在z∈Z，使得F(z)=∅，根据情形1知定理4获证.

定理5  设(X，Y，φ_N)为FWC-空间，Z为拓扑空间. H：Z×Y→2^X，C：Z→2^X，G：Z×X→2^Y，D：Z→2^Y，T∈ ${\tilde{\mathbb{B}}}$ (X，Y，Z)，满足下列条件：

(ⅰ)C是闭图(开图)；

(ⅱ)∀y∈Y，H(·，y)在Z的非空紧子集上是上半连续的；

(ⅲ)对y∈Y，存在z∈T(X)，使得G(z，y)∩D(z)=∅；

(ⅳ)对x∈X，y∈Y，存在z∈T(x)，使得H(z，y)∩C(z)=∅，则对∀z∈T(x)，G(z，y)∩D(z)≠∅；

(ⅴ)定义映象F：Y→2^Z，其中

存在M∈〈Y〉，使得 $\underset{y\in M}{\mathop{\cap }}\,$ F(y)在Z中是紧集.

则存在z∈Z，使得H(z，y)∩C(z)≠∅，即z是广义均衡问题(X，Y，Z；H，C)的解.

证  根据条件(ⅰ)，(ⅱ)和引理2，F是紧闭值映象.根据条件(ⅲ)，(ⅳ)和引理3，F是广义T-KKM映象.则根据条件(ⅴ)和定理2，有

即对∀y∈Y，有