复变量移动最小二乘近似是对向量函数的逼近, 取试函数

其中, u^h(z)是对函数u(z)=u₁(z)+iu₂(z)的逼近, P^T(z)=(p₀(z), p₁(z), …, p_m(z))是取自多项式空间的基函数.一般地, 可选取基函数为

在点z的局部逼近定义为

a_j(z)为待求, 由下面定义的泛函J取极小值得到:

z_i为点z的紧支域内的节点, w(z)为具有紧支特性的权函数, z₁, z₂, …, z_n⊂Ω⊂ $\mathbb{C}$ )²为一个点集, 我们用

表示节点间距, R=sh表示节点影响域半径, 其中s为一个固定常数, 其决定了覆盖计算点的节点个数.且有

(3) 式可以写成如下的矩阵形式:

其中:

为了求得α(z), 对J取极值, 可得

其中:

因此我们有

复变量移动最小二乘近似是基于节点的近似, 假设待求函数在节点处的函数值已知, 通过构造的泛函使得逼近函数在这些节点处的误差的加权平方和最小, 从而求出待求函数在求解域内的全局近似.

逼近函数u^h(z)可以写成如下形式:

其中

最后, 可以得到:

为了估计误差, 我们首先做如下的假设:

(ⅰ)对∀z∈Ω, 存在与h无关的正整数K₁和K₂, 使得m+1≤K₁≤n≤K₂, 即影响域包含计算点的节点个数至少是K₁个, 至多是K₂个；

(ⅱ)存在与h无关的常数c₀>0, 使得对∀z∈ ${B_{\frac{R}{2}}}$ (0), 都有w(z)≥c₀；

(ⅲ)存在c_p, 使得 $\frac{h}{\delta }$ ≤c_p, 其中δ=min|z_i-z_j|；

(ⅳ)w∈C¹(B_R(0))∩W^{1, ∞}(Ω), 存在c₁, 使得 ${\left\| {\mathit{w'}} \right\|_{{L^\infty }\left( \mathit{\Omega } \right)}} \le \frac{{{c_1}}}{h}.$

引理1^[5] 若假设(ⅰ)成立, 且u^h(z, z)由(2) 式确定, 则对∀u∈C^m+1(Ω), u(z)-u^h(z, z)关于z在B_R(z)∩Ω内至少有m+1个根.

推论1 u₁^h(z, z)-u₁(z)和u₂^h(z, z)-u₂(z)在B_R(z)∩Ω内至少有m+1个根.

因此, 由插值误差估计, 有下面的定理1成立:

定理1^[13] 若上述假设成立, 且u(z)∈C^m+1(Ω), 则存在常数C=C(m), 使得对∀z∈Ω和∀z∈B_R(z)∩Ω, 都有

特别地, 当z=z时, 有

同理, 对u₂^h(z, z)-u₂(z)有相同的估计.

注1 本文中的字母C表示与h无关的常数, 每次出现时可能并不相同.这里要强调的是其与h无关.

定理1得到的是逼近函数的误差估计, 下面估计逼近函数一阶偏导数的误差, 为此要估计 $\frac{{\partial {{\bar u}^h}}}{{\partial x}} - \frac{{\partial \bar u}}{{\partial x}}$ 的误差, 本文只讨论实部偏导的逼近误差, 虚部偏导的逼近误差同理可以证明.在此之前, 先给出如下的引理:

引理2 若u∈C^m+1(Ω), z∈Ω, 使得 $\frac{{\partial u_{^1}^h\left( {\mathit{z}, \mathit{\bar z}} \right)}}{{\partial z}}$ 存在, 且假设（ⅰ）-（ⅳ）成立, 则存在常数C=C(c₀, c₁, c_p, m), 使得对∀z∈B_R(z)∩Ω, 都有

证 给定z∈Ω, 由假设（ⅰ）知, 存在m+1个点z_j1, z_j2, …, z_jm+1∈B_R(z), 对∀l＞0, 定义

根据假设(ⅲ)可以得到

定义

且Q(z)的阶数不大于m, 由于最小值在u₁^h(z, z)处取到, 故有

所以(18) 式可以化为

对足够小的l>0, 存在θ_k, 使得

代入(20) 式可得

由

以及假设(ⅳ)可以得到

由定理1可以得到

于是(21) 式化为

由于Q(z)是阶数不超过m的多项式, 所以有

其中l_k(z)是拉格朗日多项式基函数, 故有

由假设(ⅲ)可知

由霍尔德不等式以及(22) 式可以得到

不等式两边同时除去 $\sum\limits_{k \notin \left\{ {{j_i}} \right\}} {\left| {Q\left( {{z_k}} \right)} \right|} $ , 可以得到

由(23) 以及(24) 式可以得到, 对∀z∈B_h(z)∩Ω, 都有

定理2 令u∈C^m+1(Ω), 且假设(ⅰ)-(ⅳ)成立, 则存在常数C=Cc₀, c₁, c_p, m, 使得有如下关系式成立:

证 由于权函数一阶连续可微, 且基函数无穷阶可微, 因此u^h(z, z)处处连续可微, 即u₁^h(z, z)∈W^{1, ∞}(Ω).我们要估计

根据链式法则, 有

所以要估计的式子变为

由于u₁^h(z, z)-u₁(z)在B_R(z)∩Ω内至少有m+1个根, 因此 $\frac{{\partial {u_1}\left( {\mathit{\bar z}} \right)}}{{\partial \bar z}}{\rm{ - }}\frac{{\partial u_1^h\left( {\mathit{z, \bar z}} \right)}}{{\partial \bar z}}$ 在B_R(z)∩Ω内至少有m个根, 因此由插值误差估计可得

由引理1可以得到

由(27), (28) 及(29) 式可得

在(30) 式中取z=z, 定理2得证.

下面的定理3说明 $\frac{{\partial u_1^h}}{{\partial x}} - \frac{{\partial {u_1}}}{{\partial x}}$ 和 $\frac{{\partial u_1^h}}{{\partial y}} - \frac{{\partial {u_1}}}{{\partial y}}$ 的误差与 $\frac{{\partial u_1^h}}{{\partial z}} - \frac{{\partial {u_1}}}{{\partial z}}$ 的误差保持一致.

定理3 若u∈C^m+1Ω, 假设(ⅰ)-(ⅳ)成立, 则存在常数C=C(c₀, c₁, c_p, m), 使得对于∀z=x+iy∈Ω, 都有:

证因为:

因此有:

接下来, 通过例子来验证本文的结论.取函数如下:

基函数取为线性基, 权函数取为高斯权函数, 节点个数从6×6个一直加倍到161×161个, 计算点选为(x_i, y_j), 其中:

逼近函数及其偏导数的L^∞误差针对节点间距的变化情况如图 1-图 4所示:

从图 1-图 4可以看出, 随着节点间距的减小, 逼近函数及其偏导的误差也随之减小, 且逼近函数及其偏导的收敛阶分别为2和1, 这与理论结果一致.

本文在对权函数做出适当假设的基础上, 得到了复变量移动最小二乘近似逼近函数及其偏导的误差估计, 结果表明, 误差随节点间距的减小而降低.