由文献[8]可知，模型(1) 等价于如下问题：

其中，

显然模型(4) 具有平凡解$\left( {\overline U, \overline V } \right) = \left( {0, 0} \right) $；如果a＞(λ)₁，模型(4) 具有半平凡解$\left( {\overline U, \overline V } \right) = \left( {{{\left( {2 - {r_1}} \right)}^2}{\theta _a}, 0} \right) $；如果b＞(λ)₁，模型(4) 具有半平凡解$\left( {\overline U, \overline V } \right) = \left( {0, {{\left( {1 + {r_2}} \right)}^2}{\theta _b}} \right) $.由此可以看出模型(1) 有两条半平凡解曲线：

为了研究以上各平凡解和半平凡解的不动点指数，我们首先定义以下集合：

其中，

由文献[8]中引理4.1可知(4) 式的非负解都在D内，我们记D的内部为$ \overset{{}^\circ }{\mathop{D}}\, $.

定义E上的算子A为

其中：f(u，v)=u((2-r₁)a-u-cv)，g(u，v)=v((1+r₂)b+du-v)，$ u\left( {\overline U, \overline V } \right)$和$v\left( {\overline U, \overline V } \right) $由(5) 式给出.常数p充分大使得$\mathit{\boldsymbol{A}}:\bar D \to W $.我们令

根据文献[8]中的引理5.1和引理5.2，如下结论成立：

(¡)${{\deg }_{w}}\left( \mathit{\boldsymbol{I}}-\mathit{\boldsymbol{A}}, \overset{{}^\circ }{\mathop{D}}\, \right)=1 $，

(¡¡)如果a＞(λ)₁且b≠(λ)₁，则有

(¡¡¡)如果a＞(λ)₁，b≠(λ)₁且(λ)₁(φ(θ_a，b))＞0，则

(¡v)如果a＞(λ)₁，b＞(λ)₁且(λ)₁(ψ(a，θ_b))＜0，则

为了给出本文的主要结果，我们在(a， b)平面内定义两条曲线S₁和S₂如下：

由文献[8]中的引理6.1和引理6.2可知：

其中a^*是一个大于(λ)₁的正常数且满足$f\left( {{a}^{*}} \right)=-\frac{d}{\beta {{r}_{2}}}, f\left( a \right) $是[(λ)₁，a^*]上关于a递减的连续可微函数，g(a)是[(λ)₁，+∞)上关于a递增的连续可微函数，并且f(a)和g(a)满足

利用分支理论，我们可以得到如下定理：

定理1  固定a＞(λ)₁，模型(4) 曲线在Γ₁附近有分支解当且仅当b=f(a)，并且对充分小的δ＞0，模型(4) 在((2-r₁)²θ_a，0，f(a))附近的分支正解${{\varGamma }_{3}}=\left\{ \left( \overline{U}, \overline{V}, b \right)=\left( \overline{U}\left( s \right), \overline{V}\left( s \right), b\left( s \right) \right):0<s\le \delta \right\} $可表示为：

并且有

其中ξ和η的定义见(18) 和(19) 式，{Φ₁(s)，Ψ₁(s)，b(s)}关于s是光滑的并满足

证  设$X={{\left[{{W}^{2, p}}\left( \varOmega \right)\bigcap W_{0}^{1, p}\left( \varOmega \right) \right]}^{2}}, Y={{\left[{{L}^{p}}\left( \varOmega \right) \right]}^{2}} $，定义映射$\mathit{\boldsymbol{S}}:X\times \mathbb{R}\to Y $如下：

其中f和g由(8) 式给出.通过计算，我们可以得到：

由于b=f(a)时，(λ)₁(φ(θ_a，b))=0，令ξ是其对应的满足${{\left\| \xi \right\|}_{{{L}^{2}}\left( \varOmega \right)}}=1 $的正特征函数，即ξ满足方程

由于算子-Δ+2θ_a-a在Dirichlet边界条件下是可逆的，我们令η是问题

的唯一解.经计算得

在$ \left( \overline{U}, \overline{V}, b \right)=\left( {{\left( 2-{{r}_{1}} \right)}^{2}}{{\theta }_{a}}, 0, f \right)$时，我们可以得到

此外，由于$\int{_{\Omega }\left( 1+{{r}_{2}} \right)\frac{1+\beta \left( 2-{{r}_{1}} \right){{\theta }_{a}}}{1+{{r}_{2}}+\beta \left( 2-{{r}_{1}} \right){{\theta }_{a}}}{{\xi }^{2}}\text{d}}x>0 $，可知

从而由Rabinowitz局部分支理论^[15-16]可知定理成立.再根据文献[17]可知，

其中：A，B由(15) 式定义，L是Y上的线性泛函满足〈L，(χ，ψ)〉=∫_Ωψξdx.定理证明完毕.

显然我们可以知道$ {{\left\{ \left( \overline{U}\left( s \right), \overline{V}\left( s \right), b\left( s \right) \right) \right\}}_{0<s<\delta }}$是(4) 式的正解，下面我们研究这组正解$\left( \overline{U}\left( s \right), \overline{V}\left( s \right) \right) $的稳定性.

定理2  假设a＞(λ)₁且b₁≠0，则存在常数δ′∈(0，δ]，当0＜s＜δ′时，解$\left( \overline{U}\left( s \right), \overline{V}\left( s \right), b\left( s \right) \right) $是非退化的.此外，若b₁＜0，则$\left( \overline{U}\left( s \right), \overline{V}\left( s \right), b\left( s \right) \right)$是不稳定的；若b₁＞0，则$ \left( \overline{U}\left( s \right), \overline{V}\left( s \right), b\left( s \right) \right)$是稳定的.

证  设X，Y和S是定理1的证明中所定义的集合和映射，则对任意的(φ，ψ)∈X，有

考虑特征值问题

其中

当s→0时，$\left( \overline{U}\left( s \right), \overline{V}\left( s \right), b\left( s \right) \right)\to {{\left( \left( 2-{{r}_{1}} \right) \right)}^{2}}{{\theta }_{a}}, 0, f $.因此，

由于

故算子$ {{\mathscr{L}}_{0}}$有最小特征值0，并且$ {{\mathscr{L}}_{0}}$的其他特征值都大于0.由摄动定理知，存在δ₁∈(0，δ]使得当s∈(0，δ₁)时，$\mathscr{L} $存在唯一的特征值ω(s)满足

并且$\mathscr{L} $的其他特征值的实部都大于0.

下面讨论当s＞0适当小时ω(s)的符号，考虑特征值问题

类似$\mathscr{L} $的讨论，可得存在一个适当小的常数δ₂∈(0，δ]使得当|b-f|＜δ₂时，$-{{\mathit{\boldsymbol{S}}}_{\left( \bar{U},\bar{V} \right)}}\left( {{\left( 2-{{r}_{1}} \right)}^{2}}{{\theta }_{a}},0,b \right)$存在唯一的特征值m(b)满足

并且$-{{\mathrm{S}}_{\left( \overline{U}, \overline{V} \right)}}\left( {{\left( 2-{{r}_{1}} \right)}^{2}}{{\theta }_{a}}, 0, b \right)$的其他特征值都有正实部.另外，m(b)满足线性化特征值问题

由于m(f)=0，ξ(f)=ξ，将(21) 式两边关于b求导，

令ζ=ξ^′(f)并取b=f得

将(22) 式两边乘以ξ并在Ω上积分得

由(23) 式知，

因为b₁≠0，所以存在一个正数δ₃≤min{δ₁，δ₂}使得当0＜s＜δ₃时ω(s)≠0并且有

此时可知存在一个正数$\tilde{\delta }\le {{\tilde{\delta }}_{3}} $使得当0$0<s<\tilde{\delta } $时，ω(s)与b₁符号相同.定理得证.

基于上述讨论，模型(4) 正解的多重性结果如下：

定理3  固定a＞(λ)₁，则如下列结论成立：如果b₁＜0，则存在一个常数ε=ε(b)＜(λ)₁-f使得

1) 当f-ε＜b＜f时，模型(4) 至少有两个正解；

2) 当b≥f-ε时，模型(4) 至少有一个正解.

其中f和b₁的定义可参见(12) 和(14) 式.

证  由定理1知，方程(4) 在((2-r₁)²θ_a，0，b)附近有正解曲线Γ₃.由于b₁＜0，则当s＞0适当小时b(s)＜f.

下面用反证法证明此定理.假设在f附近且b＜f时方程(4) 有唯一解$\left( \hat{U}, \hat{V} \right) $，显然$ \left( \hat{U}, \hat{V} \right)=\left( \overline{U}\left( s \right), \overline{V}\left( s \right) \right)$，并且由定理2知它是非退化的正解.因而$ \mathit{\boldsymbol{I}}-{{\mathit{\boldsymbol{A}}}_{\left( \hat{U},\hat{V} \right)}}\left( \hat{U},\hat{V} \right):\overline{{{W}_{\left( \hat{U},\hat{V} \right)}}}\to \overline{{{W}_{\left( \hat{U},\hat{V} \right)}}}$是可逆的.因为$ \left( \hat{U}, \hat{V} \right)\in \overset{{}^\circ }{\mathop{D}}\, $，根据文献[19]中定理4.9.3知$\rm{inde}{{\rm{x}}_{w}}\left( \mathit{\boldsymbol{A}},\left( \hat{U},\hat{V} \right) \right)=\pm 1 $.注意到当$0<s\ll 1, a>{{\lambda }_{1}} $时，b＜f.因此由(10) 式可知

上面的等式不可能成立.故假设错误，定理得证.

本文研究了文献[8]中提出的一类具有分数型交错扩散项的捕食-食饵模型.首先利用分支理论研究了模型在半平凡解曲线附近的分支解的存在条件和稳定性条件，其次利用以上结论并结合拓扑度理论得到了模型正解的多重性条件.此结论推广并完善了文献[8]中的相关结果.