设X和Y为Hausdorff拓扑线性空间，Λ和Γ为Hausdorff拓扑空间，C为Y中的闭凸点锥，K：Λ→2^X与F：X×X×Γ→2^Y都为集值映射.

含参集值强向量均衡问题(PSSVEP)如下：

$ \forall $(λ，u)∈(Λ，Γ)，找到${\bar x} $∈X，使得${\bar x} $∈K(λ)，F($ {\bar x}$，y，u)$ \subset $C ($\forall $y∈K(λ)).其解集记为S(λ，u).

ε-含参集值强向量均衡问题(ε-PSSVEP)如下：

$\forall $(λ，u)∈(Λ，Γ)，找到${\bar x} $∈X，使得${\bar x} $∈K(λ)，F(${\bar x} $，y，u)+ε $\subset $C ($\forall $y∈K(λ)).其对应的近似解集记为S(ε，λ，u).显然有S(0，λ，u)=S(λ，u).

定义1^[16]  设X，Y为拓扑线性空间，F：X→2^Y是集值映射.

(ⅰ)令x∈X，若对Y中的任意开集O，有F(x)$\subset $O，且存在x的开邻域N(x)$\subset $X，使得对$\forall $x′∈N(x)，有F(x′)$\subset $O，则称F在x处是上半连续的；

(ⅱ)令x∈X，若对Y中的任意开集O，有F(x)∩O≠∅，存在x的开邻域N(x)⊂X，使得对∀x′∈N(x)，有F(x′)∩O≠∅，则称F在x处是下半连续的；

(ⅲ)若F既是下半连续的又是上半连续的，则称F在x∈X点处是连续的.

引理1^[17]   设X，Y为拓扑线性空间，F：X→2^Y是集值映射.

(ⅰ)若F(x)是紧集，F在x∈X处是上半连续的当且仅当对于X中任意的网{x_α}，x_α→x，Y中任意的网{y_α}，y_α∈F(x_α)，均存在y∈F(x)和{y_α}的一个子网y_β，使得y_β→y；

(ⅱ)F在x∈X处是下半连续的当且仅当∀y∈F(x)，对于X中的任意网{x_α}，x_α→x，均存在Y中的网{y_α}，y_α∈F(x_α)，使得y_α→y.

在本节中，我们主要讨论ε-PSSVEP的近似解集S(ε，λ，u)的下半连续性.

定义2  设X为Hausdorff拓扑空间，Y为Hausdorff拓扑线性空间，C为Y中的锥，∀ε∈Y，若∀x_α→x₀，∀ε_α→ε，H(x₀)+ε⊂C，存在$ {\bar{\alpha }}$，满足$ H\left( {{x}_{{\bar{\alpha }}}} \right)+{{\varepsilon }_{{\bar{\alpha }}}}\subset C$，则称H在x₀处具有严格近似C包含性质.

定理1   设X为Hausdorff拓扑线性空间，对∀(ε，λ，u)∈(Y，Λ，Γ)，若有：

(ⅰ)K(·)在Λ上是连续的，且具有紧值；

(ⅱ)F(·，·，·)在X×X×Γ上是上半连续的；

(ⅲ) $ \forall \bar{x}$∈S(ε，λ，u)，∀y∈K(λ)，F(${\bar{x}} $，y，u)+ε⊂int C.则S (ε，λ，u)是下半连续的.

证  假设S(ε，λ，u)不是下半连续的，于是存在x₀∈S(ε，λ，u)，(ε_α，λ_α，u_α)→(ε，λ，u)，对∀x_α∈S(ε_α，λ_α，u_α)，有x_α$ \nrightarrow $x₀.

因为K(·)是下半连续的，所以存在网{ $\overline {{x_\alpha }} $}∈K(λ_α)，则$\overline {{x_\alpha }} $→x₀.

由上述假设知，存在子网{ $ $}，使得$ {\overline {{x_\beta }} }$→x₀，且$\overline {{x_\beta }} \notin $S(ε_β，λ_β，u_β).于是存在y_β∈K(λ_β)，使得

因为K(·)在Λ上是上半连续的，且具有紧值，于是存在y₀∈K(λ)，使得y_β→y₀(如有必要可取子网).又由条件(ⅲ)，对于x₀∈S(ε，λ，u)，y₀∈K(λ)，有

因为int C是开集，且F(·，·，·)是上半连续的，所以存在β₀，对∀β≥β₀，有

成立，这与(1) 式矛盾.所以结论成立.

下面给出例子说明条件(ⅲ)是必要的：

例1  令X=Y= $\mathbb{R} $，Λ≡Γ=[0,1]，C= ${\mathbb{R}_ + } $，K(λ)=[-λ，1-λ]，ε=1，

F(x，y，λ)={λ(x-y)-1}

显然定理1中的条件(ⅰ)与条件(ⅱ)成立.当ε=1时，计算

此时，显然S₁(λ)在λ=0处不是下半连续的.于是S(·，·，·)在(Y，Λ，Γ)处不是下半连续的.通过计算可以知道

F(x，y，0)+ε=0∉int C

不满足条件(ⅲ).

因此，在定理1中条件(ⅲ)是必要的，不可或缺的.

注1  通过例1可以发现，条件(ⅲ)不能去掉，但条件(ⅱ)与条件(ⅲ)可以被严格近似C包含性质所代替.在定理1的条件(ⅲ)中包含了解集的信息，下面定理2在关键假设——严格近似C包含性质的条件下，就有效避免了条件中解集信息的出现.

定理2  设X为Hausdorff拓扑线性空间，对∀(ε，λ，u)∈(Y，Λ，Γ)，若有：

(ⅰ)K(·)在Λ上是连续的，且具有紧值；

(ⅱ)F(·，·，·)在X×X×Γ上具有严格近似C包含性质.则S(ε，λ，u)是下半连续的.

证   假设S(ε，λ，u)不是下半连续的，于是存在x₀∈S(ε，λ，u)，存在(ε_α，λ_α，u_α)→(ε，λ，u)，对∀x_α∈S(ε_α，λ_α，u_α)，有x_α$\nrightarrow $x₀.

因为K(·)是下半连续的，所以存在{ $\overline {{x_\alpha }} $}∈K(λ_α)，则$\overline {{x_\alpha }} $→x₀.

由上述的假设知，存在子网$ \left\{ {\overline {{x_\beta }} } \right\} \subset \left\{ {\overline {{x_\alpha }} } \right\}$，使得$\overline {{x_\beta }} $→x₀，且$\overline {{x_\beta }} \notin $S(ε_β，λ_β，u_β).于是存在y_β∈K(λ_β)，使得

又因为K(·)在Λ上是上半连续的，且具有紧值，于是存在y₀∈K(λ)，使得y_β→y₀(如有必要可取子网).因为x₀∈S(ε，λ，u)，所以有

F(x₀，y，u)+ε⊂C

由条件(ⅱ)，存在$ {\bar \beta }$，使得

这与(2) 式矛盾，所以结论成立.

下面给出例子说明定理2中条件(ⅱ)也是必要的：

例2  令X=Y= $\mathbb{R} $，Λ≡Γ=[0,1]，C= ${\mathbb{R}_ + } $，K(λ)=[0,1]，ε= $ \frac{1}{2}$，

于是当λ=0时，

易知F在(x，y，0) 处不是上半连续的.事实上，可取开集

对于任意的(x，y，0) 邻域N，F(N)⊂(-1，1) 不一定成立.于是F在(x，y，0) 处不是上半连续的，且有

则定理1中的条件(ⅲ)不满足.而显然定理2中的条件(ⅱ)是成立的.

通过计算有$ {S_\varepsilon }\left( \lambda \right) = {S_{\frac{1}{2}}}\left( \lambda \right) = \left[{0, 1} \right]$，显然关于参数λ的解集是下半连续的.

在例2中，定理1是不可用的，但定理2可用.

在本节中，我们主要讨论ε-PSSVEP的近似解集S(ε，λ，u)的上半连续性.

定理3  设X为Hausdorff拓扑线性空间，对于∀ (ε，λ，u)∈(Y，Λ，Γ)，若有：

(ⅰ)K(·)在Λ上是连续的，且具有紧值；

(ⅱ)F(·，·，·)在X×X×Γ上是下半连续的.

则：

(Ⅰ)S(ε，λ，u)是上半连续的；

(Ⅱ)S(λ，u)是闭集.

证   (Ⅰ)若S(ε，λ，u)不是上半连续的，则存在S(ε，λ，u)的零元邻域O，满足S(ε，λ，u)⊂O，使得对∀(ε_α，λ_α，u_α)→(ε，λ，u)，都有S(ε_α，λ_α，u_α)⊄O，即存在x_α∈S(ε_α，λ_α，u_α)，使得

由x_α∈S(ε_α，λ_α，u_α)，有：

由(4) 式及K是上半连续的且具有紧值，利用引理1有x_α→x₀∈K(λ)(如有必要可取子网).

下面证明x₀∈S(ε，λ，u).事实上，若x₀ $\notin $S(ε，λ，u)，则存在y₀∈K(λ)，使得

于是存在z₀∈F(x₀，y₀，u)，使得

由于K是下半连续的且y₀∈K(λ)，故存在$\overline {{y_\alpha }} $∈K(λ_α)，使得$\overline {{y_\alpha }} $→y₀.

由(5) 式，对于上述的$\overline {{y_\alpha }} $∈K(λ_α)，有

又因为F是下半连续的且z₀∈F(x₀，y₀，u₀)，故存在z_α∈F(x_α，$ {\overline {{y_\alpha }} }$，u_α)，使得z_α→z₀.

那么z_α+ε_α∈C.由C是闭的，且z_α+ε_α→z₀+ε，于是有z₀+ε∈C.与(6) 式矛盾！所以

x₀∈S(ε，λ，u)

又由S(ε，λ，u)⊂O与x₀∈S(ε，λ，u)成立，故有x₀∈O，与(3) 式矛盾.

故S(ε，λ，u)是上半连续的.

(Ⅱ)设x_α∈S(λ，u)，于是有：

设x_α→x₀.由(7) 式及K是上半连续的且具有紧值，故有x₀∈K(λ).

对∀y₀∈K(λ)，由K是下半连续的，故存在y′_α∈K(λ)，使得y′_α→y₀.

对∀z∈F(x₀，y₀，u)，由F是下半连续的，故存在z_α∈F(x_α，y′_α， u_α)，使得z_α→z.

由(8) 式得，z_α∈C.利用C的闭性有z∈C.于是有

F(x₀，y₀，u)⊂C     ∀y₀∈K(λ)

故有x₀∈S(λ，u)，即得S(λ，u)是闭集.

综合得到ε-PSSVEP的近似解集S(ε，λ，u)的连续性.

定理4  设X为Hausdorff拓扑线性空间，对于∀(ε，λ，u)∈(Y，Λ，Γ)，若有：

(ⅰ)K(·)在Λ是连续的，且具有紧值；

(ⅱ)F(·，·，·)在X×X×Γ上是连续的；

(ⅲ)∀ ${\bar x} $∈S(ε，λ，u)，∀y∈K(λ， x)，F($ {\bar x}$，y，u)+ε⊂int C.则S(ε，λ，u)是连续的.

证   综合定理1、定理3可得.

定理5  设X为Hausdorff拓扑线性空间，对于∀(ε，λ，u)∈(Y， Λ，Γ)，若有：

(ⅰ)K(·)在Λ上是连续的，且具有紧值；

(ⅱ)F(·，·，·)在X×X×Γ上是下半连续的；

(ⅲ)F(·，·，·)在X×X×Γ上具有严格近似C包含性质.

则S(ε，λ，u)是连续的.

证   综合定理2、定理3可得.