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考虑如下拟线性椭圆方程：
其中，Ω为
${{\mathbb{R}}^{N}}$ (N≥3)中边界光滑的有界开集，且0∈Ω，1＜p＜N，0≤a＜$\frac{N-p}{p}$ ，a≤b＜a+1，0≤μ＜$\overline{\mu }\triangleq {{\left(\frac{N-p}{p}-a \right)}^{p}}$ ，${{p}^{*}}\left(a, b \right)\triangleq \frac{Np}{N-p\left(a+1-b \right)}$ 是Hardy-Sobolev临界指数，λ＞0，f∈C(Ω×${\mathbb{R}}$ +，${\mathbb{R}}$ )，由于我们只考虑正解，不妨定义在本文中，记W=Wa1，p(Ω)为C0∞(Ω)关于范数
${{\left(\int_{\mathit{\Omega }}{{{\left| x \right|}^{-ap}}{{\left| \nabla u \right|}^{p}}\text{d}x} \right)}^{\frac{1}{p}}}$ 的完备化空间.令由加权的Hardy不等式知，当μ＜μ时，‖u‖等价于Wa1，p中的范数.定义最佳Hardy-Sobolev常数为：
为了求方程(1)的正解，我们考虑如下泛函：
其中，u∈W，u+=max{u，0}，u-=max{-u，0}，F(x，u)=
$\int_{0}^{u}{f\left(x, \text{ }s \right)\text{d}s}$ .称u为方程(1)的弱解，若对任意的函数φ∈W，有下列等式成立：易知，方程(1)的非负弱解与泛函I的临界点一一对应.
当p=2，μ=0且a=b=0时，方程(1)已经被广泛研究[1-5].当p≠2且a=b=0时，文献[1]通过建立局部(PS)条件得到了问题(1)的无穷多非平凡解.最近，在文献[2]中作者利用Ekeland变分原理和山路引理证明了方程
在一定条件下存在两个正解.当p≠2且a≠0，b≠0时，通过变分方法，文献[3]中研究了方程
在1＜p＜N，p≤q＜p*(a，d)，a≤d＜a+1的条件下正解的存在性.更多类似的问题可参考文献[5-8].
受文献[2]和[3]的启发，本文考虑加权的拟线性方程(1)的正解的存在性和多重性.首先，借助Ekeland变分原理证明第一个正解的存在性; 然后利用变化的山路引理得到第二个正解.本文的主要困难在于(PS)条件的证明和能量泛函值的估计.主要结果为：
定理1 假定N≥3，0≤a＜
$\frac{N-p}{p}$ ，a≤b＜a+1，0≤μ＜μ，且f满足(f1)：
$\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\text{lim}}}\, \frac{f\left(x, \text{ }t \right)}{{{t}^{p-1}}}=+\infty, \underset{t\to +\infty \text{ }}{\mathop{~\text{lim}}}\, \frac{f\left(x, \text{ }t \right)}{{{t}^{{{p}^{*}}\left(a, \text{ }b \right)-1}}}=0$ 对于x∈Ω一致成立.则存在λ*＞0，使得当λ∈(0，λ*)时，方程(1)至少有一个正解uλ.记
定理2 假定0≤a＜
$\frac{N-p}{p}$ ，a≤b＜a+1，0≤μ≤$\widehat{\mu }$ ，且f满足(f1)及如下条件(f2)：f：Ω×
${\mathbb{R}}$ +→${\mathbb{R}}$ 关于第二个变量单调递增.(A)：p≥
$\frac{3N}{3\left(a+1-b \right)+N}$ ，N≥${{p}^{2}}\left(a+1 \right)+\left(1-p \right)b{{p}^{*}}\left(a, \text{ }b \right)$ .则存在λ*＞0，使得对任意的λ∈(0，λ*)，方程(1)至少有两个正解.注 本文推广了文献[2]和[3]，在文献[2]中，作者证明了方程(1)在a=b=0的情况下存在两个正解.在文献[3]中，作者研究了当
时正解的存在性.在本文中，我们将考虑当a≠0，b≠0且f为一般项f(x，u)时，方程(1)的正解的存在性与多重性.
为了方便，本文中用C表示不同的正常数，O(εσ)(σ＞0)表示存在一个常数M＞0，当ε充分小时，有|O(εσ)|≤Mεσ，o(1)表示当n→∞时的无穷小量.
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定理1的证明 我们可通过Ekeland变分原理和强极大值原理来证明定理1，其证明过程与文献[2]中定理1的证明相似，在此我们省略其证明过程.由定理1已经得到第一个正解uλ，下面寻找具有形式u=uλ+v的第二个正解，实际上，只需证存在v＞0即可. v对应的方程为：
记
方程(4)对应的能量泛函为：
为了证明定理2，我们给出一些主要的引理.
引理1 v=0是J在W中的一个极小值点.
证 对任意的v∈W，我们记v=v+-v-.由J的定义有
因为uλ是I在W中的一个局部极小值点，所以对充分小的ε，当‖v‖≤ε时，有
从而引理1成立.
引理2 假设条件(f1)和(f2)成立，若v=0是J的唯一临界点，则对于任意的
J满足(PS)c条件.
证 在W中取(PS)序列{vn}，使得J(vn)→c，且在W*中J′(vn)→0.类似于文献[2]中引理3.2的证明，容易证得{vn}有界，从而存在子列(不妨仍记为{vn})及v0∈W，使得当n→∞时，有
由于序列{vn}在W中是有界的，所以由Sobolev嵌入定理可知，存在常数C有
由(f1)可知对任意的ε＞0，存在C(ε)＞0使得
记E的测度为mes E，令
$\delta =\frac{\varepsilon }{2C(\varepsilon)}>0$ ，若$E\subset \mathit{\Omega }$ 且mes E＜δ，则利用Vitali定理，可得
从而，对任意的w∈W，有
因此，v0是J的临界点，由条件可知v0=0.下面证明vn→0.利用反证法，根据Brezis-Leib定理和(7)式可知
进而
假设
由(2)式可得对任意的n∈
${\mathbb{N}}$ *，有因此
即
进而有
与假设条件矛盾，所以当n→∞时，vn→0.引理2得证.由文献[3]可知，当Ω=
${{\mathbb{R}}^{N}}$ 时，Sμ，a，b可由如下函数达到其中ε＞0.并且Vε(x)满足方程
取ρ＞0充分小，使得Bρ(0)
$\subset $ Ω.定义截断函数φ(x)∈C0∞(Bρ(0))使得，当x∈Bρ(0)时，0≤φ(x)≤1;当$x\in {{B}_{\frac{\rho }{2}}}(0)$ 时，φ(x)=1.设vε(x)=φ(x)Vε(x)，当ε→0时，有[2]：其中，β(μ)为函数
的一个零点，且
$\beta \left(\mu \right)\frac{N-p\left(a+1 \right)}{p}$ .引理3 设N≥p2(a+1)-(p-1)bp*(a，b)，0≤a＜
$\frac{N-p}{p}$ ，a≤b＜a+1，0≤μ≤$\widehat{\mu }$ .若条件(f1)，(f2)和(A)都成立，则存在v*∈W且v*≢0，使得证 由(A)知
所以
由基本不等式
结合条件(f2)和(7)式，可得
因此
所以
令
可得，当ε＞0充分小时，Q′(t)=0有唯一的正解tε，并且Q在tε处取得最大值，tε是一致有界的.结合(8)式和(9)式，得
通过计算可知
因此，当ε充分小时，有
由文献[3]可知，函数k(t)有唯一的极小值点
且k在(δ，+∞)上单调递增.又由条件(A)知
计算可得
(ⅰ) 若β(μ)＞
$\frac{1}{p}$ (N-bp*(a，b))，则由(10)式可知又
结合(12)式，当ε＞0充分小时，我们有
(ⅱ) 若β(μ)=
$\frac{1}{p}$ (N-bp*(a，b))，则由(11)式可知而
结合(12)式，取ε充分小，可得
所以，当ε充分小时，v*=vε满足引理3的结论.
定理2的证明 若v=0是J的唯一临界点，由引理1知存在α＞0，使得对任意的v∈∂Bρ={v∈W，‖v‖=ρ}，都有J(v)＞α成立，其中ρ＞0充分小.由引理3可知存在v*∈W，v*≢0使得
又由条件(f1)可知
因此，存在t0＞0，使得当‖t0v*‖＞ρ时，有
根据山路引理可知，存在{vn}
$\subset $ W，使得当n→∞时，其中，
进而
由引理2可知
而
矛盾.定理2证毕.
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