考虑如下分数阶椭圆方程

其中：Ω$\subset $ ${{\mathbb{R}}^{N}}$ (N≥3)是一个非空有界开集，∂Ω满足Lipshcitz条件，N≥3且s∈(0，1)，λ是一个正数，h∈L²(Ω)，非局部算子(-Δ)^s定义如下：

设g：Ω×$\mathbb{R}$ →$\mathbb{R}$是Carathéodory函数，

满足下列条件：

1) 对于任意的ρ＞0，存在L_ρ∈L²(Ω)，使得对所有的x∈Ω和|t|≤ρ，有

2) 对于所有的x∈Ω，都有

近年来，分数阶椭圆方程引起了人们的广泛关注，它应用于优化、相位变换等诸多领域，而解决分数阶椭圆方程的难点在于分数阶算子是一个非局部算子，从而处理局部的拉普拉斯算子的泛函结构不再适用，更多研究者采用了在一个新的闭子空间建立泛函结构的方法.对于相应的半线性椭圆方程，当非线性项满足恰当的条件时，方程在高阶特征值处存在多解，文献[1]在推广的L-L条件下，来证明椭圆方程共振问题解的存在性，之后存在性结果被推广到了半线性椭圆方程^[2]，例如：p-Laplacian系统的共振问题^[3]，Kirchhoff型方程共振问题^[4].受这些成果的启发，本文把L-L条件推广到分数阶椭圆方程，并得到方程在高阶特征值处的近共振问题多解的存在性.

记

其中：

且

X是${{\mathbb{R}}^{N}}$到${\mathbb{R}}$的勒贝格可测函数组成的线性空间，并且满足

考虑X的闭线性子空间

并且在X₀中定义范数为：

由文献[5]可知，当r∈[1，2_s^*]时，嵌入X₀$\circlearrowleft$ L^r(Ω)为连续的，当r∈[1，2_s^*)时，此嵌入为紧的，并且存在常数τ＞0，使得

设0＜λ₁＜λ₂≤…≤λ_k→+∞是-Δ^s的一列特征值，相应的特征函数e_k(k∈${\mathbb{N}}$ )构成L²(Ω)及X₀的正交基，E_k是对应于λ_k的特征子空间，定义

定义

并假设：

考虑方程(1)对应的能量泛函Φ_λ：X₀→${\mathbb{R}}$：

本文主要的结果是：

定理1   假设条件1)，2)都成立，并且$\underline {F\left( {x, - \infty } \right)}$ ，$\overline {F\left( {x, + \infty } \right)}$ ∈L²(Ω)满足

则存在δ₁＞0，当λ∈(λ_k，λ_k+δ₁)时，方程(1)至少有两个解.

证  定理是利用分离球面定理^[6]得到的第一个解，再由环绕定理^[7]得到的第二个解.下面分三步来完成定理1的证明.

(ⅰ) 证明泛函Φ_λ满足(PS)条件：设{u_n}$\subset $ X₀满足Φ_λ(u_n)有界，且当n→∞时，Φ_λ^′(u_n)→0.只需证明{u_n}是有界的，标准的讨论易知{u_n}具有收敛的子列.假设当n→∞时，‖u‖→∞，设w_n=$\frac{{{u}_{n}}}{\left\| {{u}_{n}} \right\|}$ ，则存在一列子列仍记为{w_n}，满足在X₀中w_n$\rightharpoonup$ w，在L^p(Ω)中w_n→w，且在Ω中w_n(x)→w(x)几乎处处成立.由条件1)和2)可得，对于任意的ε＞0，存在正常数$\widetilde{{{\rho }_{\varepsilon }}}$，有

从而有

由(3)式可知，对任意的v∈X₀，有

两边取极限，并且由ε的任意性，有

类似可得

对任意的v∈X₀，有

由(5)式，对(7)式两边取极限，得

这表明：

即w为λ对应的特征值.但是，由

(6) 式及(2)式，得

这表明w≠0，矛盾.

(ⅱ) 第一个解的存在性：若λ＞λ_k，取$\varepsilon \in \left( 0, \text{ }\frac{{{\lambda }_{k}}-{{\lambda }_{k-1}}}{2} \right)$，对任意的u∈W₂，由(2)式和(4)式，有

这表明，当λ＞λ_k时，若u∈W₂，且‖u‖→∞，则

定义$M=\underset{\lambda \in \left( {{\lambda }_{k}}\text{, }\frac{{{\lambda }_{_{k}}}+{{\lambda }_{_{k+1}}}}{2} \right), \text{ }u\in {{W}_{2}}~}{\mathop{\text{sup}}}\, {{\mathit{\Phi }}_{\lambda }}\left( u \right)$，作如下论断：存在常数R₁＞0，${{\delta }_{1}}\in \left( 0, \frac{{{\lambda }_{k+1}}-{{\lambda }_{k}}}{2} \right)$，使得对任意的λ∈(λ_k，λ_k+δ₁)，u∈W₁且‖u‖≥R₁，或u∈W₁⊕W₀且‖u‖=R₁，有

若论断成立，由(8)式可知，对任意的λ∈(λ_k，λ_k+δ₁)，存在常数R^*＞0，使得

则对任意的λ∈(λ_k，λ_k+δ₁)，有

因此，由文献[6]可知，Φ_λ有一个临界点，对应临界值c₁≤b≤M.

下面证明上述论断成立.由于对任意的u∈X₀，Φ_λ(u)关于λ是非增的，所以只需证明存在常数R₁＞0，${{\delta }_{1}}\in \left( 0, \frac{{{\lambda }_{k+1}}-{{\lambda }_{k}}}{2} \right)$，当λ∈(λ_k，λ_k+δ₁)，u∈W₁且‖u‖≥R₁，或u∈W₁⊕W₀且‖u‖=R₁时，有

对任意的u ∈W₁，有

则

由上式可知，存在常数R^*＞0，当$\lambda \in \left( {{\lambda }_{k}}\text{, }\frac{{{\lambda }_{k+1}}+{{\lambda }_{k}}}{2} \right)$，u∈W₁且‖u‖≥R^*时，有

另一方面，存在常数R₁≥R^*，${{\delta }_{1}}\in \left( 0, \frac{{{\lambda }_{k+1}}-{{\lambda }_{k}}}{2} \right)$，使得对任意的λ∈(λ_k，λ_k+δ₁)，u∈W₁⊕W₀且‖u‖=R₁，有

事实上，若不成立，则对任意的R_n≥R^*，${{\delta }_{n}}\in \left( 0, \frac{{{\lambda }_{k+1}}-{{\lambda }_{k}}}{2} \right)$，存在u_n∈W₁⊕W₀且‖u_n‖=R_n，有

取R_n，δ_n满足当n→∞时，有R_n→∞，δ_n→0，R_nδ_n→0.记u_n=u_n¹+u_n⁰，其中u_n¹∈W₁，u_n⁰∈W₀，则有

那么，由(10)式，(11)式和(2)式，有

两边取极限，由(6)式得：

这表明：

因为W₀是有限维空间，所以当n→∞时，有

因此，有

对任意的ε＞0，令

则存在ρ_ε＞0，使得当t≤-ρ_ε时，有

当t≥ρ_ε时，有

当t≤-ρ_ε时，对[s，t]$\subset $ (-∞，-ρ_ε]两边积分，有

由条件2)，有

所以，当t≤-ρ_ε时，

类似的，当t≥ρ_ε时，

由(12)式可知，当n→∞时，

同理，有

因此，

两边取极限，由(13)式，(14)式知，

由ε的任意性，有

这与前面的假设条件矛盾，因此证得(9)式成立.

(ⅲ)  第二个解的存在性：若λ∈(λ_k，λ_k+δ₁)，取$\varepsilon \in \left( 0, \frac{\lambda-{{\lambda }_{k}}}{2} \right)$，由(2)式和(4)式，有

因此，存在正数$\widehat{R}$＞R₁，使得当u∈W₂⊕W₀，且‖u‖=$\widehat{R}$时，有Φ_λ(u)＜M.令

那么，由文献[7]可知，A和B环绕，Φ_λ有第二个临界点，其临界值c₂≥M+1，所以这两个解是不同的.