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本文讨论下面二阶离散哈密尔顿系统的无穷多解
其中：Δu(t)=u(t+1)-u(t)，Δ2u(t)=Δ(Δu(t))，2≤T∈
$\mathbb{Z}$ ，F(t，x)=$\int_0^x {\nabla F\left( {t, s} \right)} {\text{d}}s$ 关于变量t是T周期的，关于变量x是连续可微的.$\mathbb{Z}$ 和$\mathbb{R}$ 分别表示整数集和实数集.对任意a，b∈$\mathbb{Z}$ 且a≤b，令$\mathbb{Z}$ [a，b]={a，a+1，…，b}.2003年，文献[1-3]建立了新的变分框架，运用临界点理论中的极小极大方法研究离散哈密尔顿系统.此后，有许多作者研究了系统(1)的周期解的存在性与多重性且得到很多有意义的结果.文献[4]考虑F是超二次的情形，文献[5]研究F是次二次的情形，分别推广和改进了文献[1]和文献[3]中的相关结果; 文献[6]讨论了F是次二次的情形，推广了文献[5]的相关结果; 文献[7]考虑F是次二次且部分周期的情形，推广了文献[5]的相关结果; 文献[8]减弱了位势条件推广了文献[7]的相关结果; 文献[9]考虑F在无穷远处和零点渐进线性的情形，运用临界点理论中的Morse理论得到系统(1)的非平凡解的存在性; 文献[10]运用对偶原理，研究了系统(1)的规定最小周期的次调和解.特别是文献[11]，考虑了如下(H1)-(H3)位势条件的无穷多周期解的存在性.
(H1) 存在函数f，g：
$\mathbb{Z}$ [0，T]→$\mathbb{R}$ +和数α∈[0，1)，使得对任意的(t,x∈$\mathbb{Z}$ [0，T]×$\mathbb{R}$ N，有(H2)
$\mathop {{\text{lim inf}}}\limits_{r \to \infty } \mathop {{\text{sup}}}\limits_{x \in {\mathbb{R}^N}, \left| x \right| = r} {\left| x \right|^{-2\alpha }}\sum\limits_{t = 0}^T {F\left( {t, x} \right)} =-\infty $ .(H3)
$\mathop {{\text{lim inf}}}\limits_{r \to \infty } \mathop {{\text{sup}}}\limits_{x \in {\mathbb{R}^N}, \left| x \right| = r} \sum\limits_{t = 0}^T {F\left( {t, x} \right)} =+\infty $ .其中：r是某个常数.最近，文献[12]进一步研究了α=1的情形.受文献[8, 13]的启发，在本文中，我们也讨论了一类二阶离散哈密尔顿系统(1)的无穷多解的存在性.先引出次凸的定义：
对λ，μ＞0，函数G：
$\mathbb{R}$ N→$\mathbb{R}$ 满足则称这样的函数G是(λ，μ)次凸的.
主要结论如下：
定理1 设函数F=F1+F2. F1，F2满足以下条件：
(A1) 函数F1(t，·)是(λ，μ)次凸的，其中λ＞
$\frac{1}{2}$ ，$\frac{1}{2}$ ＜μ＜2λ2，且存在函数a∈C($\mathbb{R}$ +，$\mathbb{R}$ +)，b，f，g：$\mathbb{Z}$ [0，T]→$\mathbb{R}$ +和数α∈[0，1)，使得对任意的(t，x)∈$\mathbb{Z}$ [0，T]×$\mathbb{R}$ N，有(A2)
$\mathop {{\text{lim sup}}}\limits_{r \to \infty } \mathop {\inf }\limits_{x \in {\mathbb{R}^N}, \left| x \right| = r} \sum\limits_{t = 0}^T {F\left( {t, x} \right)} =+\infty $ .(A3)
$\mathop {{\text{lim inf}}}\limits_{r \to \infty } \mathop {{\text{sup}}}\limits_{x \in {\mathbb{R}^N}, \left| x \right| = r} {\left| x \right|^{ -2\alpha }}\sum\limits_{t = 0}^T {\left({\mu F1\left({t, \frac{x}{\lambda }} \right) + {F_2}\left({t, x} \right)} \right)} < -\frac{{2\sum\limits_{t = 0}^T {{f^2}\left(t \right)} }}{{{\lambda _1}}}$ ，其中：λ1=2-2cos$\frac{{2\pi }}{T}$ 是特征问题的特征根，则有
(ⅰ) 系统(1)有一解序列{un}，使得{un}是泛函φ的临界点且
(ⅱ) 系统(1)有一解序列{un}，使得{un}是泛函φ极小点且
其中：泛函φ定义在Hilbert空间HT={u：
$\mathbb{Z}$ →$\mathbb{R}$ N|u(t)=u(t+T)，t∈$\mathbb{Z}$ }上，为注 定理1推广了文献[11]中的定理1.当F1(t，x)=0时，本文中的条件(A3)比文献[11]中定理1相应的条件(H2)弱.存在满足本定理1而不满足文献[1-13]的函数，如
其中：(t，x)∈
$\mathbb{Z}$ [0，T]×$\mathbb{R}$ N，h(t)：$\mathbb{Z}$ [0，T]→$\mathbb{R}$ 满足且
则F1是(1，1)次凸的且对任意的(t，x)∈
$\mathbb{Z}$ [0，T]×$\mathbb{R}$ N，有其中：A(ε)是依赖于ε的正常数.取α=
$\frac{3}{4}$ ，f(t)=$\frac{7}{4}$ |sin$\frac{2πt}{T}$ |+ε.经过简单的计算得取序列
则对充分小的ε，有
和
成立.这说明函数F满足(A1)-(A3).
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对任意的u∈HT，定义
则有
定义HT的内积和范数分别为
和
容易看出：HT是有限维空间且由(A1)知φ∈C1(HT，
$\mathbb{R}$ ).要找系统(1)的解即是找φ在空间HT上的临界点.引理1[5] HT的一个子空间Nk记为
其中：λk=2-2cos
$\frac{2kπ}{T}$ ，k∈$\mathbb{Z}$ [0，[$\frac{T}{2}$ ]]，则有下面的结论成立：(ⅰ) Nk⊥Nj，k≠j，k，j∈
$\mathbb{Z}$ [0，[$\frac{T}{2}$ ]]；(ⅱ) HT=
$\mathop \oplus \limits_{k = 0}^{\left[{T/2} \right]} {N_k}$ .显然，
记
和
则由文献[5]中的引理2可得：
记
其中：
由下列恒等式子
可得：‖u‖→∞当且仅当(|u|2+‖
$\widetilde u$ ‖2)$\frac{{\text{1}}}{{\text{2}}}$ →∞.
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我们运用文献[14]中的极小极大定理(推论4.3)，逐步给出定理1的证明.记
推断1 泛函φ在子空间W上是强制的.令
则β∈(0，2).对|x|＞1，存在正整数n，满足
则有
因此，由(A1)可知：
其中：
所以，对任意的(t，x)∈
$\mathbb{Z}$ [0，T]×$\mathbb{R}$ N，有根据条件(A1)，运用HÖlder不等式和(2)-(4)式，对所有u∈W，我们可以推出
因α∈[0，1)，β∈(0，2)，所以
推断2 (ⅰ){an}，{bm}满足
(ⅰ)
$\mathop {{\text{lim}}}\limits_{n \to \infty } {\text{ }}{a_n} = + \infty $ 且$\mathop {{\text{lim}}}\limits_{n \to \infty } \mathop {{\text{sup}}}\limits_{u \in V, \left\| u \right\| = {a_n}} \varphi \left( u \right) =-\infty $ ；(ⅱ)
$\mathop {{\text{lim}}}\limits_{m \to \infty } {\text{ }}{b_m} = + \infty $ 且$\mathop {{\text{lim}}}\limits_{m \to \infty } \mathop {\inf }\limits_{u \in {H_{{b_m}}}} \varphi \left( u \right) =-\infty $ ，其中Hbm={u∈V，‖u‖=bm}⊕W.推断2中(ⅰ)的证明可参见文献[11].由(A3)，我们取常数a＞
$\frac{1}{{{\lambda _1}}}$ ，满足任意u∈Hbm可表示为u=
$\widetilde u$ +u，其中：$\widetilde u$ ∈W且u∈V.由HÖlder不等式，(A1)和(A3)，我们可得因此，由上面的不等式和(4)知：对任意u∈Hbm，有下面不等式成立：
根据(5)式，(6)式和‖u‖→∞当且仅当
推断2的(ⅱ)即可证明.
现给出一个集合
其最小值cn为
其中：Ban是V内的球体，an是球Ban的半径.由文献[14]中的定理4.6可知，对任意γ∈Γn，有
推断3 对充分大的n，存在序列{γk}Γn和空间HT中的序列{νk}，使得当k→∞时，分别满足
由推断1，我们知道
因此，存在常数C5满足
且对充分大的n，有
根据事实γ(Ban)∩W≠Ø和推断2的(ⅰ)，对充分大的n，有
因此，由文献[14]中的定理4.3和推论4.3，对固定的n，此推断成立.
推断4 {νk}在HT中有界.由(7)式，对充分大的k，我们可得
选取wk∈γk(Ban)满足
根据推断2的(ⅱ)，对给定的n，存在充分大的m，使得下式成立：
和
这就意味着
记
其中：wk∈V和
${\widetilde w_k}$ ∈W.则对每一个k，我们可得到则
$\mu \sum\limits_{t = 0}^T {{F_1}\left( {t, \frac{{{{{\overline w }_k}}}}{\lambda }} \right)} {\text{ }}$ 有界，又由定理1的(A1)以及(2)式，(3)式和(9)式可知由此可得：‖
${\widetilde w_k}$ ‖有界.又由(9)式和‖wk‖=(T|wk|2+‖${\widetilde w_k}$ ‖2)$\frac{1}{2}$ ，我们可得：{wk}是有界的.又由(8)式，我们马上得到：{νk}在HT中有界.推断5 cn是φ的临界值.因{νk}有界而且HT是有限维空间，则{νk}有一个收敛子列，记为{νk}，满足
那么由(7)式，可得
因此，un是系统(1)的解.
下面我们证明定理1中的(ⅰ).取充分大的n满足an＞bm，则对任意γ∈Γn，有
则
运用上面的不等式和推断2的(ⅱ)，有下面的等式成立
定理1中的(ⅰ)得证.
接下来，我们证明定理1中的(ⅱ).对给定的m，定义HT的子集为
类似于(10)式的证明，对u∈Pm，有不等式
由(11)式可知，φ在Pm中有下界.取
和序列{uk}
$\subset$ Pm，满足类似于{wk}的有界性的证明，根据(11)式，我们可得：{uk}在HT中有界.则{uk}有一个收敛子列，记为{uk}，满足：k→∞时，有
又Pm在HT中是闭凸的，所以um*∈Pm，且有
和
最后，我们将证明um*是Pm的内点，也将证明um*是φ的临界点.
其中：um*∈V，
$\widetilde u$ m*∈W.若an＜bm，则有∂Ban$\subset$ Pm.这意味着由上式和推断2的(ⅱ)，我们可以得到
根据推断3，我们可得：对充分大的m，有um*≠bm.这就说明um*是Pm的内点且um*是φ的临界点.定理1得证.
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