引理1 ^[5]设X₁，X₂，…，X_n是NSD随机变量序列，f₁，f₂，…，f_n均为非降的函数，则随机变量f₁(X₁)，f₂(X₂)，…，f_n(X_n)仍是NSD随机变量序列.

引理2 ^[7]设{X_n，n≥1}是NSD随机变量序列，$ \mathrm{E}{{X}_{n}}=0, \mathrm{E}{{\left| {{X}_{n}} \right|}^{p}}<\infty , p\ge 2, {{S}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ni}}{{X}_{i}}}$，则存在一个仅与p和ρ(o)有关的正常数C=C(p，ρ(o))，有

定理1 设{X_i，i≥1}为NSD随机变量序列，$ \mathit{\boldsymbol{E}}{X_i} = 0, {{S}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ni}}{{X}_{i}}}$.对于1＜P≤2，存在$ S\in \left( \frac{1}{P}, 1 \right]$，有

对于P＞2，存在$ S\in \left( \frac{1}{2}, 1 \right]$，使得

则对∀ε＞0，

证 分以下两种情况讨论.

(1) 对于1＜P≤2与S必存在$ {{S}_{0}}\in \left( \frac{1}{P}, S \right]$，使得

其中$ X_{i}^{\left( n \right)}\triangleq {{X}_{i}}{{I}_{\left( \left| {{x}_{i}} \right|\le {{n}^{{{s}_{0}}}} \right)}}$，则对∀ε＞0，

由EX_i=0，(1)及(2)式可得

因此当n充分大时，由(4)及(5)式知

即证以下(6)，(7)式成立.

由(1)式得

由引理2知

当i→∞时，ρ(2ⁱ)→0，故存在n₀＞1，i＞n₀时，有

则对∀n≥1，

令q=2，则

将(11)式代入(9)式得II＜∞，故(3)式完全成立.

$\left( \text{ii} \right) $对于P＞2，对于情况$\left( \text{ii} \right) $中的s，存在${{S}_{0}}\in \left( \frac{1}{2}, s \right] $，可得ps₀＞1.由$ \left( \text{i} \right)$的证明可得(3)式成立.结合$\left( \text{i} \right) $和$\left( \text{ii} \right) $两种情况，可得定理1成立.证毕.

由(3)式可推得$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim\limits }}\, {{S}_{n}}=0\ \text{a}\text{.}\ \text{s}\text{.} $，故由定理1可推出文献[5]中的定理1.

推论1 设{X_i，i≥1}为NSD随机变量序列，$ \mathrm{E}{{X}_{i}}=0, {{S}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ni}}{{X}_{i}}}$，且$ \underset{i\ge 1}{\mathop{\text{sup}}}\, \mathrm{E}{{\left| {{X}_{i}} \right|}^{p}}<\infty $对于P＞2.若$ S\in \left( \frac{1}{2}, 1 \right]$，使得$ \underset{1\le i\le n}{\mathop{\max }}\, \left| {{a}_{ni}} \right|=O\left( {{n}^{-s}} \right)$，则

证 由(3)式，可得$ \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim\limits }}\, {{S}_{n}}=0\ \text{a}\text{.}\ \text{s}\text{.}$，故从定理1可得推论1成立.

注1 由推论1可得文献[5]中的推论，即推论1对比文献[5]放宽了对加权系数a_ni的限制.

定理2 设{X_i，i≥1}为NSD随机变量序列，$ \mathrm{E}{{X}_{i}}=0, {{S}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ni}}{{X}_{i}}}$，若存在b_i≥0，使

若存在$ {{S}_{1}}\in \left( \frac{1}{r}+\frac{1}{2}, 1 \right]$，s₂＞2对于r＞2，有

则对∀ε＞0，

证 ∀i≥1，令$ X_{i}^{\left( n \right)}={{X}_{i}}I\left( \left| {{X}_{i}} \right|<{{b}_{i}} \right), S_{j}^{\left( n \right)}\sum\limits_{i=1}^{j}{\left( {{a}_{ni}}X_{i}^{\left( n \right)}-{{a}_{ni}}\mathrm{E}X_{i}^{\left( n \right)} \right)}$.则类似于定理1的证明可得定理2的证明.

推论2 设{X_i，i≥1}为NSD随机变量序列，$\mathrm{E}{{X}_{i}}=0, {{S}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ni}}{{X}_{i}}} $，且$\underset{i\ge 1}{\mathop{\text{sup}}}\, \mathrm{E}{{X}_{i}}<\infty $，r＞2，若存在${{S}_{1}}\in \left( \frac{1}{r}+\frac{1}{2}, 1 \right] $，使得

则对∀ε＞0，有

证 在定理2中取b_i=i^s，易得定理2的条件满足，结合定理2的证明即得推论2成立.

其中{X_ij}为已知的设计点列，Λ≥=(β₁，…，β_n)^T为未知的回归系数向量，e_i为随机误差，记β的最小二乘估计$\overset{\Lambda }{\mathop{{{\mathrm{ }\!\!\Lambda\!\!\text{ }}_{n}}}}\, =\left( \overset{\Lambda }{\mathop{{{\beta }_{n1}}}}\, , \cdots , \overset{\Lambda }{\mathop{\beta _{np}^{\text{T}}}}\, \right) $.则由文献[8]知

其中$\mathrm{A}_{n}^{\left( j \right)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left( a_{ni}^{\left( i \right)} \right)}^{2}}=\frac{1}{V_{ij}^{\left( n \right)}}}, {{\left( V_{ij}^{\left( n \right)} \right)}_{p\times p}}={{\left( \mathrm{X}_{n}^{\text{T}}{{\mathrm{X}}_{n}} \right)}^{-1}}, {{\mathrm{X}}_{n}}={{\left( {{x}_{ij}} \right)}_{n\times p}}$.

于是，对固定的j∈{1，2，…，p}，令$ {{a}_{nk}}=\frac{a_{nk}^{\left( j \right)}}{A_{n}^{\left( j \right)}}$，k=1，2，…，n.则由定理2及(13)式得以下定理3.

定理3 设(12)式中随机误差{e_i，i≥1}为NSD随机变量序列，满足E_ei=0.若存在b_i≥0，使

对于r≥2，若存在$ {{s}_{1}}\left( {{s}_{1}}>\frac{r}{2}+1 \right)$，s₂(s₂＞2)，使得

则对于有j=1，2，…，p有$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim\limits }}\, \overset{\Lambda }{\mathop{{{\beta }_{nj}}}}\, ={{\beta }_{j}}, \ \text{a}\text{.}\ \text{s}\text{.} $.

2) 非参数回归模型中的应用

设p是一个正整数，A是$ {{\mathbb{R}}^{p}}$中一个紧集，考虑以下回归模型

其中X₁⁽ⁿ⁾，…，X⁽ⁿ⁾_n∈A为已知的非随机设计点列，g为未知的实函数，ε₁⁽ⁿ⁾，…，ε_n⁽ⁿ⁾为均值为0的随机向量.取g_(x)的权函数估计为

下面给出g_n(x)在NSD序列下的强相合性，现作如下基本假设

$ \left( {\rm{i}} \right){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{W_{ni}}} (x) = 1;$

$\left( {{\rm{ii}}} \right){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \sum\limits_{i = 1}^n | {W_{ni}}(x)| \le C < \infty ; $

$ \left( {{\rm{iii}}} \right){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } |\sum\limits_{i = 1}^n {{W_{ni}}} (x)(g({x_i}) - g(x))I(|x_i^{(n)} - x| > a)| = 0,\forall a > 0{\kern 1pt} .$

定理4 设模型(14)基本条件$\left( \text{i} \right) $，$ \left( \text{ii} \right)$和$ \left( \text{iii} \right)$成立，{ε_i⁽ⁿ⁾，i≥1}为NSD随机变量序列，且当r＞2时，

若存在某个正数$S\in \left( \frac{1}{2}, 1 \right] $，使

则∀x∈c(g)，其中c(g)为g的连续点集，有

证 由于

由文献[13]引理3知

由于

再由推论2知

因此(18)式得证.