定义1^[1] 设E是实Banach空间，θ是E中的零元，P是E的非空凸闭集，若满足：

(a) {θ，e}⊂P；

(b) αP+βP⊂P，α，β≥0；

(c) P²=P·P⊂P；

(d) P∩{-P}={θ}.

则称P是E中的锥.对于锥P⊂E，定义半序≤如下:x≤y当且仅当y-x∈P；x＜y表示x≤y且x≠y；而x≪y表示y-x∈int P，其中int P表示P的内部.如果存在常数K＞0，使得θ≤x≤y时，有║x║≤K║y║成立，则称P为正规锥.称满足║x║≤K║y║的最小常数K为P的正规常数.若int P≠Ø，则称P为体锥.

定义2^[9] 设X是非空集合，E是实Banach空间，s≥1为给定的实数.若映射d:X×X→E满足：

(a) 对任意的x，y∈X，d(x，y)≥θ，且d(x，y)=θ当且仅当x=y；

(b) 任意的x，y∈X，d(x，y)=d(y，x)；

(c) 任意的x，y，z∈X，d(x，y)≤s(d(x，z)+d(z，y)).

则称d为X上的锥b-度量，称(X，d)为锥b-度量空间.

定义3^[9] 设(X，d)是锥b-度量空间，{x_n}为X中的序列，x∈X.则：

(a) 若对任意θ≪c，存在正整数n₀，使得d(x_n，x)≪c对任意n＞n₀成立，则称{x_n}收敛于x，$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = x$或x_n→x(n→∞)；

(b) 若对任意θ≪c，存在正整数n₀，使得d(x_n，x_m)≪c对任意n，m＞n₀成立，则称{x_n}为Cauchy列；

(c)若X中任意Cauchy列都是收敛序列，则称X是完备的锥b-度量空间.

定义4^[3] 设(X，d)是锥度量空间，若映射q:X×X→E满足下列条件：

(a) 对任意的x，y∈X，q(x，y)≥θ；

(b) 对任意的x，y，z∈X，q(x，y)≤q(x，z)+q(z，y)；

(c) 对任意的x∈X，若存在u=u_x∈P使得q(x，y_n)≤u，且序列{y_n}收敛于y，y∈X，则d(x，y)≤u；

(d) 对任意的c∈E，且c≫θ，存在e∈E，且e≫θ，使得当q(z，x)≪e，q(z，y)≪e时，有d(x，y)≪c.

则称q为X上的c-距离.

下面给出锥b-度量空间中广义c-距离的定义：

定义5^[11] 设(X，d)是锥b-度量空间，s≥1为给定的实数.若映射q:X×X→E满足下列条件：

(a) 对任意的x，y∈X，q(x，y)≥θ；

(b) 对任意的x，y，z∈X，q(x，z)≤s(q(x，y)+q(y，z))；

(c) 对任意的x∈X，若存在u=u_x∈P使得q(x，y_n)≤u，且序列{y_n}收敛于y，y∈X，则d(x，y)≤su；

(d) 对任意的c∈E，且c≫θ，存在e∈E，且e≫θ，使得当q(z，x)≪e，q(z，y)≪e时，有d(x，y)≪c.

则称q为X上的广义c₁-距离.

引理1^[11] 设(X，d)是锥b-度量空间，q为X上广义的c₁-距离，{x_n}，{y_n}是X中的序列，x，y，z∈X，{u_n}是锥P中收敛到θ的序列，则下列结论成立：

(ⅰ)若q(x_n，y)≤u_n，且q(x_n，z)≤u_n，则y=z；

(ⅱ)若q(x_n，y_n)≤u_n，且q(x_n，z)≤u_n，则{y_n}收敛到一点z∈X；

(ⅲ)若对任意的m＞n，有q(x_n，x_m)≤u_n，则{x_n}是X中的Cauchy列；

(ⅳ)若q(y，x_n)≤u_n，则{x_n}是X中的Cauchy列.

引理2^[11] 在锥b-度量空间中，收敛序列的极限是唯一的.

注1 由于当q(x，y)=θ时，不一定成立x=y，故本文的所有定理及其推论只对不动点的存在性给予证明，对不动点的唯一性没有证明.

定理1 设(X，d)是完备的锥b-度量空间，q为X上广义的c₁-距离，s≥1，P是E中的锥.假设连续映射f:X→X是满射且对任意的x，y∈X，有

其中λ₁，λ₂，λ₃是非负实数且不全同时为0，$\frac{1}{s}({\lambda _1} + {\lambda _3}) + {\lambda _2} > 1$.则f在X中存在不动点.

证 取定x₀∈X，因为f是满射，故存在x₁∈X，使得x₀=f(x₁).依次进行这个过程，可定义序列{x_n}为:x_n=f(x_n+1)(n=0，1，2，…).

若x_n-1=x_n，则有x_n-1=f(x_n)=x_n，故x_n是f的不动点.

设对任意的n≥1，x_n-1≠x_n.则由(1)式有

则有

类似地，有

令$k = \frac{{1 - {\lambda _2}}}{{{\lambda _1} + {\lambda _3}}}$，因$\frac{1}{s}({\lambda _1} + {\lambda _3}) + {\lambda _2} > 1$，故$k \in {\rm{(}}0,\frac{1}{s})$.

依次进行上述过程，可以得到

则对任意的m＞n≥1，有

因为

故由引理1可知，{x_n}是(X，d)中的Cauchy列.由(X，d)的完备性知，存在x^*∈X，使得x_n→x^*(n→∞).

又因映射f是连续的，则有

即x_n-1→f(x^*).则由引理2收敛序列的极限唯一性得f(x^*)=x^*.故x^*是f的不动点.

推论1 设(X，d)是完备的锥b-度量空间，q是X上广义的c₁-距离，s≥1.若连续映射f:X→X是满射，且对任意的x，y∈X，有

其中λ₁，λ₂＞0，$\frac{1}{s}{\lambda _1} + {\lambda _2} > 1$，且λ₂＜1.则f在X中存在不动点.

证 令定理1中的λ₃=0，即证.

推论2 设(X，d)是完备的锥b-度量空间，q是X上广义的c₁-距离，s≥1.若连续映射f:X→X是满射，且对任意的x，y∈X，有

其中λ₁＞s.则f在X中存在不动点.

证 令定理1中的λ₂=λ₃=0，即证.

定理2 设(X，d)是完备的锥b-度量空间，q是X上广义的c₁-距离，s≥1，P是E中的正规锥，K是其正规常数.设映射f:X→X是满射，α，β，γ是X上的非负实值函数，满足以下条件：

(ⅰ)对任意的x∈X，α(x)≥α(f(x))，β(x)≥β(f(x))，γ(x)≥γ(f(x))且α(x)+γ(x)+sβ(x)＞s，β(x)＜1；

(ⅱ)对任意的x，y∈X，有

(ⅲ)对任意的y∈X，当f(y)≠y时，0＜inf{║q(x，y)║+║q(f(x)，x)║:x∈X}.

则f有不动点x^*∈X.并且迭代序列{f(x_n)}收敛到不动点x^*.

证 对任意的x₀∈X，因为f是满射，则存在x₁∈X，使得x₀=f(x₁)；存在x₂∈X，使得x₁=f(x₂).依次进行此过程，可定义序列{x_n}:x_n=f(x_n+1)(n=0，1，2，…).

不失一般性，设对任意的n≥1，x_n-1≠x_n.则由(4)式有

从而

令

因

则$h \in (0,\frac{1}{s})$.

综上所述，有

则对任意的m＞n≥1，有

因

且$h \in (0,\frac{1}{s}),\frac{{s{h^n}}}{{1 - sh}} \to \theta $，则由引理1可知，{x_n}是X中的Cauchy列.由X的完备性知，存在x^*∈X，使得x_n→x^*(n→∞).

根据(5)式及定义3中的(c)，有

由P的正规性得

而对任意的m＞n≥1，有

若f(x^*)≠x^*，则在(6)，(7)式中令m=n+1，有

矛盾.则f(x^*)=x^*，即x^*是f在X中的不动点.

推论3^[11] 设(X，d)是完备的锥b-度量空间，q是X上广义的c₁-距离，s≥1，P是E中的正规锥，K是其正规常数.设映射f:X→X是满射，映射k:X→(s，+∞)，满足以下条件：

(ⅰ)对任意的x∈X，k(x)≥k(f(x))；

(ⅱ)对任意的x，y∈X，q(f(x)，f(y))≥k(x)q(x，y)；

(ⅲ)对任意的y∈X，当f(y)≠y时，0＜inf{║q(x，y)║+║q(f(x)，x)║:x∈X}.

则f有不动点x^*∈X，且迭代序列{f(x_n)}收敛于不动点.

推论4 设(X，d)是完备的锥b-度量空间，q是X上广义的c₁-距离，s≥1.设映射f:X→X是满射，且满足以下条件：

(ⅰ)对任意的x，y∈X，存在常数α，β，γ，满足α+γ+sβ＞s且β＜1，使得

(ⅱ)对任意的y∈X，当f(y)≠y时，0＜inf{║q(x，y)║+║q(f(x)，x)║:x∈X}.

则f有不动点x^*∈X.且迭代序列{f(x_n)}收敛于不动点.

注2 定理1及其推论1和推论2去掉了锥的正规性，而定理2及其两个推论去掉了映射的连续性，并且扩张映射的系数也由1个增加到3个.本文的结论推广了文献[11]中的结果，使得锥b-度量空间中的扩张映射更具一般性.