不动点理论始终是非线性分析领域的研究热点之一，特别是各类压缩映射、扩张映射、非扩张映射等的不动点问题(文献[1]). 2007年，文献[2]在度量空间的基础上，用Banach空间取代实数空间，定义了锥度量空间，并获得了满足各类不同条件的有关压缩映射的不动点定理.近年来，一些作者对锥度量空间中的不动点定理进行了深刻的研究，得到了许多重要的结果(文献[2-5]). 2011年，文献[6]又在锥度量空间中引入了c-距离，并获得了相关的不动点定理.这是对锥度量的推广.同时，文献[7-12]还对此举例说明了c-距离下的不动点定理具有更广泛的应用.但是大部分结论都离不开两个条件，一是映射的连续性，二是锥的正规性，二者必须有一个存在于定理的条件中(见文献[7-9, 11-14]).而在本文中，我们在锥度量空间中c-距离下，在同时去掉这两个条件的情况下，不仅得到了不动点的存在性，还得到了其唯一性，同时给出了例子说明本文结论是有意义的.

设E是实Banach空间，θ是E中的零元，P是E中非空闭凸集，若：

(ⅰ) x∈P且λ≥0，则λx∈P；

(ⅱ) x∈P且-x∈P，则x=θ.

则称P是E中的锥.设P是E中的锥，≤是由P定义的半序，即∀x，y∈E，y-x∈P，则x≤y.如果存在常数K＞0，使得θ≤x≤y(∀x，y∈E)蕴含‖x‖≤K‖y‖，其中K为正规常数，锥P称为正规锥.用x≪y表示y-x∈int P.

定义1^[2]  设X是非空集合.若映射d：X×X→E满足：

(ⅰ) θ≤d(x，y)(∀x，y∈X)，d(x，y)=θ当且仅当x=y；

(ⅱ) d(x，y)=d(y，x)(∀x，y∈X)；

(ⅲ) d(x，y)≤d(x，z)+d(z，y)(∀x，y，z∈X).

则称d是X的一个锥度量. (X，d)称为锥度量空间.

定义2^[2]  设(X，d)为锥度量空间，x∈X且{x_n}_n≥1是X中的一个序列.则：

(ⅰ)若对∀c∈int P，存在正整数N，使得对∀n，m＞N，d(x_n，x_m)≪c，则称{x_n}_n≥1为Cauchy列；

(ⅱ)若对∀c∈int P，存在正整数N，使得对∀n＞N，d(x_n，x)≪c，则称{x_n}_n≥1为收敛列；

(ⅲ)若X中的每个Cauchy列都收敛，则称(X，d)为完备的锥度量空间.

定义3^[6]  设(X，d)为锥度量空间，映射q：X×X→E满足下列条件：

(ⅰ) ∀x，y∈X，θ≤q(x，y)；

(ⅱ) ∀x，y，z∈X，q(x，z)≤q(x，y)+q(y，z)；

(ⅲ) ∀x∈X且n≥1，若存在u=u_x∈P使得q(x，y_n)≤u，且序列{y_n}收敛到一点y∈X，则有q(x，y)≤u；

(ⅳ) 对∀c∈E且c≫θ, 存在e∈E且e≫θ，使得当q(z，x)≪e，q(z，y)≪e时，有d(x，y)≪c，则称q为X上的c-距离.

引理1^[15]  设(X，d)是锥度量空间，q为X上的c-距离，{x_n}，{y_n}是X中的序列.设x，y，z∈X，{u_n}，{v_n}是锥P中收敛到θ的两个序列，则下列结论成立：

(ⅰ)若q(x_n，y)≤u_n且q(x_n，z)≤v_n，则y=z，特别地，若q(x，y)=θ且q(x，z)=θ，则y=z；

(ⅱ)若q(x_n，y_n)≤u_n且q(x_n，z)≤v_n，则{y_n}收敛到z∈X；

(ⅲ)若对∀m＞n，有q(x_n，x_m)≤u_n，则{x_n}是X中的Cauchy列.

注1^[6]  在c-距离下，q(x，y)=q(y，x)不一定成立，且对∀x，y∈X，q(x，y)=θ也不等价于x=y.

定理1  设(X，d)为完备的锥度量空间，q为X上的c-距离，映射T：X→X以及映射k，l：X→[0，1)满足条件：

(ⅰ) ∀x∈X，k(Tx)≤k(x)，l(Tx)≤l(x)且k(x)+l(x)＜1；

(ⅱ) 对∀x，y∈X，有

则T有唯一的不动点u∈X，迭代序列{Tⁿx}收敛到不动点u，且有q(u，u)=θ.

证  ∀x₀∈X，如果Tx₀=x₀，则x₀为T的不动点.

假设Tx₀≠x₀，易得序列{x_n}⊆X：

令(1)式中的x=x_n-1，y=x_n，得

设h(x_n)=k(x_n)+l(x_n)∈[0，1)，则有

对∀m＞n≥1，有

因为h(x₀)∈[0，1)，则

根据引理1(ⅲ)得，{x_n}是Cauchy列.由于X完备，存在u∈X，使得x_n→u(n→∞).又由定义3(ⅲ)，令m→∞，得

下证Tu=u.由(1)式与(2)式得

令：

而k(x₀)，l(x₀)，h(x₀)∈[0，1)，故α_n，β_n→θ(n→∞).根据(2)，(3)式及引理1(ⅰ)知Tu=u，又由(1)式得

因为h(u)∈[0，1).故

最后证明不动点u是唯一的.假设有Tv=v，则有

根据k(u)∈[0，1)，得

由引理1(ⅰ)，有u=v.

定理2  设(X，d)为完备的锥度量空间，q为X上的c-距离，映射T：X→X以及映射k，l：X→[0，1)满足条件：

(ⅰ) ∀x∈X，k(Tx)≤k(x)，l(Tx)≤l(x)且k(x)+2l(x)＜1；

(ⅱ) ∀x，y∈X，

则T有唯一的不动点u∈X，迭代序列{Tⁿx}收敛到不动点u，且有q(u，u)=θ.

证  ∀x₀∈X，若Tx₀=x₀，则x₀即为T的一个不动点.

假设Tx₀≠x₀，可得序列{x_n}⊆X如下：

在(4)式中令：

得

即有

其中

由k(x)+2l(x)＜1(∀x∈X)知h(x_n)∈[0，1) (n=1，2，…).从而对∀m＞n≥1，有

由于h(x₀)∈[0，1)，则

根据引理1(ⅲ)得，{x_n}是Cauchy列.由X完备，存在u∈X，使得x_n→u(n→∞).又由定义3(ⅲ)，令m→∞，得

下证Tu=u.由(4)式与(5)式得

即

令：

由于k(x₀)，l(x₀)，h(x₀)∈[0，1)，故α_n，β_n→θ(n→∞).根据(5)，(6)式及引理1(ⅰ)知Tu=u，又由(4)式得

因为k(u)+2l(u)＜1，则

知q(u，u)=θ.类似于定理1的证明可得不动点是唯一的.

推论1^[13]  设(X，d)为完备的锥度量空间，q为X上的c-距离，映射T：X→X以及映射k：X→[0，1)满足条件：

(ⅰ) ∀x∈X，k(Tx)≤k(x)；

(ⅱ) ∀x，y∈X，q(Tx，Ty)≤k(x)q(x，y).

则T有唯一的不动点u∈X，迭代序列{Tⁿx}收敛到不动点u，且有q(u，u)=θ.

推论2^[10]  设(X，d)为完备的锥度量空间，q为X上的c-距离，映射T：X→X满足：∀x，y∈X，

其中k∈[0，1)，则T有唯一的不动点u∈X，迭代序列{Tⁿx}收敛到不动点u，且有q(u，u)=θ.

注2  由推论1、推论2可以看出，我们的结论是对文献[10, 13]中结论的推广.

注3  对比文献[6-7, 11-12, 14]中的结果，我们发现文献中的结果主要是在锥度量空间中c-距离下讨论映射的不动点的存在性，并且所得结论或者要求映射的连续性(文献[6]中的定理3.1，3.3，文献[7]中的定理2.4、推论2.5-2.7，文献[15]中的定理2-5，文献[14]中的定理3.1，3.3，文献[8]中的定理3.1，3.2，3.5，3.6，文献[12]中的定理2.1)，或者要求锥的正规性(文献[6]中的定理3.2，3.4，文献[14]中的定理3.2，3.5，文献[8]中的定理3.3，3.4，文献[9]中的定理3.1，3.3，文献[11]中的定理1、推论1-3，文献[12]中的定理2.2)，必取其一.在本文中，我们的结果同时去掉了映射的连续性和锥的正规性，最终得到不动点的存在性和唯一性.又由于c-距离是对锥度量的推广^[6]，因此比单纯的锥度量空间^[2-5]和度量空间^{[1, 16]}中的结论具有更广泛的意义.最后，若令E=$ \mathbb{R} $，可得到度量空间中相应的不动点定理.

推论3  设(X，d)为完备的度量空间，q为X上的c-距离(q：X×X→ $ \mathbb{R}$)，映射T：X→X以及映射k，l：X→[0，1)满足条件：

(ⅰ) ∀x∈X，k(Tx)≤k(x)，l(Tx)≤l(x)且k(x)+l(x)＜1；

(ⅱ) ∀x，y∈X，

则T有唯一的不动点u∈X，迭代序列{Tⁿx}收敛到不动点u，且有q(u，u)=θ.

注4  文献[6]中的例2.7证明了：当(X，d)为锥度量空间，P为正规锥时，令q(x，y)=d(x，y)，则q是c-距离.而通常的距离下，Banach空间E=$ \mathbb{R} $，即(X，d)是度量空间，文献[2]指出度量空间是锥度量空间的特例，从而通常的距离也是c-距离的特例.推论3为本文定理1在最常见的情况下对应的结果，类似可得定理2对应的结果，这是对文献[1]中已有结果的改进.

例1  令：

P是一个非正规的锥，且X=[0, 1]，d：X×X→E，其中

φ：[0, 1]→$ \mathbb{R} $，使得φ(t)=2^t.则(X，d)是一个完备的锥度量空间.定义映射q：X×X→E，使得∀x，y∈X，q(x，y)=φy=2^ty，则q为X上的c-距离.定义映射T：X→X如下：

显然，映射T为非连续映射.取：

则k，l：X→[0，1).且：

同理可证

同时有

(a) $\forall x \in X, \forall y \in \left[ {0, \frac{1}{2}} \right), $

(b) $ \forall x \in X, \forall y \in \left[ {\frac{1}{2}, 1} \right], $

因此定理2的条件均满足，映射T有唯一的不动点x=0，即T0=0，同时q(0，0)=0.但是例1中的锥不是正规的，映射也不是连续的，在这两个条件均不满足的情况下，我们仍然得出了不动点的存在唯一性，这是无法应用文献中已有的结论得到的.所以我们的结论改进并推广了原有文献中的众多结论.