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一类条件协方差估计及其大样本性质

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甘胜进. 一类条件协方差估计及其大样本性质[J]. 西南大学学报（自然科学版）, 2021, 43(11): 80-87. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2021.11.010
引用本文: 甘胜进. 一类条件协方差估计及其大样本性质[J]. 西南大学学报（自然科学版）, 2021, 43(11): 80-87. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2021.11.010
shu
GAN Shengjin. Estimate for a Class of Conditional Covariance and Its Large Sample Properties[J]. Journal of Southwest University Natural Science Edition, 2021, 43(11): 80-87. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2021.11.010
Citation: GAN Shengjin. Estimate for a Class of Conditional Covariance and Its Large Sample Properties[J]. Journal of Southwest University Natural Science Edition, 2021, 43(11): 80-87. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2021.11.010
shu

一类条件协方差估计及其大样本性质

  • 1.

    福建师范大学 福清分校电子与信息工程学院，福建 福清 350300

  • 2.

    台湾政治大学 统计学系，台北 11605

  • 基金项目: 福建省自然科学基金面上项目(2018J01662)；福建师范大学福清分校高级培育项目(KY2018S02)
详细信息
    作者简介:

    甘胜进，讲师，博士研究生，主要从事概率统计方面研究 .

  • 中图分类号: O212

Estimate for a Class of Conditional Covariance and Its Large Sample Properties

  • 1.

    School of Electronical and Information Engineering, Fuqing Branch of Fujian Normal University, Fuqing Fujian 350300, China

  • 2.

    Department of Statistics, National Chengchi University, Taipei 11605, China

  • 摘要: 提出一类条件协方差的核估计量，并给出其大样本性质，蒙特卡洛模拟结果表明，其估计效果不比现有估计量差.
    Abstract: A kernel estimator for a class of conditional covariance is proposed, and its large sample properties are given. Monte Carlo simulation shows that its performance is comparable to the existing methods.
  • 加载中

  • 表 1  模型1下协方差矩阵的两种估计量偏差比较

    σij u=0.2 n=400 u=0.2 n=800 u=0.4 n=400 u=0.4 n=800
    $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$
    σ11 0.007 6 0.029 7 0.006 1 0.025 1 0.001 2 0.038 8 -0.002 3 0.027 5
    σ12 0.001 9 0.021 6 -0.000 5 0.016 3 -0.001 7 0.031 3 -0.007 8 0.019 0
    σ13 -0.046 1 0.043 0 -0.064 9 0.001 7 -0.013 3 0.062 9 -0.043 9 0.014 6
    σ22 0.008 4 0.019 1 0.006 1 0.016 7 0.003 7 0.028 0 -0.010 4 0.010 5
    σ23 -0.057 0 0.042 4 -0.056 8 0.015 6 -0.025 8 0.068 1 -0.067 1 0.007 5
    σ33 1.073 2 0.045 3 0.995 4 0.025 4 1.342 7 0.141 4 1.186 0 0.013 4
    σij u=0.6 n=400 u=0.6 n=800 u=0.8 n=400 u=0.8 n=800
    $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$
    σ11 -0.001 6 0.036 5 -0.013 7 0.016 9 -0.000 0 0.025 6 -0.010 7 0.008 3
    σ12 -0.003 2 0.030 6 -0.013 5 0.012 6 -0.005 0 0.020 1 -0.015 1 0.003 3
    σ13 0.037 7 0.070 7 -0.018 8 0.014 8 0.095 4 0.061 5 0.028 9 0.006 7
    σ22 0.006 6 0.031 6 -0.014 3 0.003 9 0.003 9 0.021 7 -0.011 2 -0.001 2
    σ23 0.008 9 0.088 0 -0.075 2 0.004 5 0.022 2 0.074 4 -0.083 9 0.000 3
    σ33 1.745 0.235 5 1.552 0 0.035 4 2.214 6 0.234 0 2.078 0 0.036 0
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    表 2  模型1下逆协方差矩阵两种估计量偏差比较

    σij u=0.2 n=400 u=0.2 n=800 u=0.4 n=400 u=0.4 n=800
    $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1
    σ11 0.000 5 -0.005 3 -0.003 7 -0.011 3 0.011 0 -0.008 1 0.005 1 -0.010 3
    σ12 -0.022 1 -0.012 0 -0.020 8 -0.015 2 -0.019 4 -0.020 4 -0.020 7 -0.022 5
    σ13 0.021 2 -0.005 4 0.025 1 0.004 7 0.009 1 -0.000 7 0.013 0 0.005 6
    σ22 -0.047 2 0.016 9 -0.049 6 0.000 7 -0.255 9 0.037 9 -0.253 6 0.005 5
    σ23 0.059 2 -0.009 0 0.056 2 -0.001 6 0.151 1 -0.013 8 0.150 6 0.000 8
    σ33 -0.058 3 0.005 7 -0.056 5 0.001 5 -0.085 1 0.005 2 -0.083 7 0.000 4
    σij u=0.6 n=400 u=0.6 n=800 u=0.8 n=400 u=0.8 n=800
    $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1
    σ11 -0.025 9 -0.000 4 -0.015 5 0.010 3 -0.806 4 0.008 4 -0.842 1 0.023 1
    σ12 0.217 5 -0.033 1 0.202 9 -0.036 2 2.052 2 -0.059 7 2.177 4 -0.054 7
    σ13 -0.076 8 0.005 1 -0.072 9 0.006 2 -0.482 2 0.010 4 -0.510 1 0.006 4
    σ22 -1.128 5 0.097 6 -1.171 7 0.036 3 -5.086 7 0.245 2 -5.516 3 0.132 3
    σ23 0.401 0 -0.027 9 0.419 7 -0.001 4 1.196 0 -0.053 8 1.293 2 -0.017 2
    σ33 -0.142 1 0.007 8 -0.147 6 -0.000 8 -0.281 0 0.012 4 -0.302 0 0.002 3
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    表 3  模型2下协方差矩阵的两种估计量偏差比较

    σij u=0.1 n=400 u=0.1 n=800 u=0.3 n=400 u=0.3 n=800
    $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$
    σ11 -0.018 4 -0.008 3 -0.030 1 -0.021 0 -0.010 2 0.003 2 -0.025 2 -0.017 0
    σ12 -0.005 0 0.001 7 -0.018 9 -0.013 7 -0.025 2 -0.015 2 -0.005 0 0.001 3
    σ13 -0.016 6 -0.000 9 -0.044 7 -0.028 7 -0.070 8 -0.054 0 -0.018 6 -0.007 2
    σ14 -0.208 6 -0.183 7 -0.167 3 -0.139 3 -0.132 1 -0.100 7 -0.148 8 -0.129 7
    σ22 0.014 2 -0.001 8 0.030 5 0.016 0 0.000 8 -0.005 9 0.019 2 0.012 2
    σ23 0.057 6 0.073 0 0.021 8 0.015 9 -0.006 7 -0.011 6 0.017 0 0.011 6
    σ24 -0.059 5 0.008 8 -0.186 7 -0.126 0 -0.170 4 -0.122 7 -0.017 7 0.016 7
    σ33 1.230 0 0.138 9 1.096 3 0.047 2 1.182 0 0.020 0 1.201 5 -0.014 7
    σ34 0.168 6 0.195 6 -0.200 3 -0.120 9 -0.411 6 -0.295 2 -0.074 2 -0.057 2
    σ44 -1.256 2 -1.690 1 -0.514 1 -0.777 6 -0.986 7 -1.364 3 -1.023 1 -1.219 4
    σij u=0.5 n=400 u=0.5 n=800 u=0.7 n=400 u=0.7 n=800
    $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$ $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$
    σ11 -0.020 5 -0.007 4 -0.022 8 -0.014 7 -0.018 6 -0.004 7 -0.009 0 -0.000 6
    σ12 -0.024 7 -0.014 5 -0.021 6 -0.014 4 -0.010 7 -0.000 2 -0.010 1 -0.002 8
    σ13 -0.045 5 -0.034 0 -0.019 1 -0.010 8 -0.002 1 0.010 6 -0.009 0 -5.473 2
    σ14 -0.054 3 -0.025 4 -0.016 0 -0.001 1 -0.038 9 -0.013 5 0.006 2 0.024 3
    σ22 -0.017 9 -0.022 5 -0.016 3 -0.019 0 -0.002 5 -0.006 3 -0.008 8 -0.010 2
    σ23 -0.090 3 -0.058 9 -0.062 5 -0.038 1 -0.095 7 -0.038 6 -0.059 6 -0.026 4
    σ24 -0.212 1 -0.178 9 -0.110 6 -0.083 5 -0.050 2 -0.046 1 -0.044 0 -0.033 2
    σ33 1.236 2 -0.178 9 1.258 7 -0.049 3 1.778 1 -0.065 9 1.772 9 -0.017 0
    σ34 -0.523 6 -0.579 8 -0.209 7 -0.099 8 -0.092 5 0.025 8 -0.233 1 -0.015 6
    σ44 -0.147 6 -0.612 3 0.743 8 0.478 6 0.806 4 0.497 6 0.717 5 0.498 9
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    表 4  模型2下逆协方差矩阵两种估计量的偏差比较

    σij u=0.1 n=400 u=0.1 n=800 u=0.3 n=400 u=0.3 n=800
    $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1
    σ11 0.076 7 0.090 7 0.111 7 0.121 2 0.070 2 0.115 0 0.108 6 0.136 9
    σ12 -0.018 6 -0.020 4 -0.021 0 -0.019 6 0.060 8 -0.020 6 0.071 1 0.004 7
    σ13 0.012 0 0.022 9 0.005 7 0.014 6 -0.042 1 0.028 0 -0.050 0 0.010 6
    σ14 -0.005 9 -0.012 4 -0.006 2 -0.011 1 -0.003 3 -0.018 6 -0.007 2 -0.018 1
    σ22 0.045 2 0.079 9 -0.001 1 0.020 7 -0.038 5 0.076 4 -0.071 4 0.047 3
    σ23 0.010 3 -0.021 9 0.014 9 -0.006 9 0.079 3 -0.015 7 0.083 8 -0.013 7
    σ24 0.001 1 0.001 1 0.005 0 0.004 4 -0.014 7 0.001 9 -0.018 0 -0.003 0
    σ33 -0.046 5 0.015 1 -0.048 5 0.006 5 -0.074 6 0.013 7 -0.077 5 0.013 6
    σ34 -0.000 6 -0.004 8 0.001 8 -0.001 6 0.012 5 -0.004 0 0.012 8 -0.002 6
    σ44 0.002 1 0.003 8 0.000 6 0.001 8 0.000 4 0.004 5 0.000 9 0.004 0
    σij u=0.5 n=400 u=0.5 n=800 u=0.7 n=400 u=0.7 n=800
    $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1 $\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1
    σ11 -0.043 6 0.227 5 -0.136 9 0.126 9 -1.566 2 -0.012 0 -1.598 8 0.078 3
    σ12 0.386 4 -0.075 0 0.421 4 -0.015 7 2.788 3 0.124 2 2.798 7 -0.029 5
    σ13 -0.215 8 0.021 6 -0.228 5 0.002 4 -1.012 2 -0.060 6 -1.012 7 -0.011 9
    σ14 0.029 9 -0.025 4 0.043 5 -0.010 0 0.248 2 0.010 9 0.249 2 -0.002 2
    σ22 -0.582 2 0.192 1 -0.600 5 0.094 3 -4.708 3 -0.202 0 -4.670 7 0.069 1
    σ23 0.348 1 -0.047 1 0.347 6 -0.017 1 1.699 5 0.088 0 1.690 3 0.011 1
    σ24 -0.079 7 0.006 3 -0.083 9 0.001 2 -0.422 4 -0.019 7 -0.424 5 -0.003 1
    σ33 -0.187 8 0.018 9 -0.188 0 0.007 2 -0.602 9 -0.022 6 -0.604 1 -0.007 4
    σ34 0.044 4 -0.001 8 0.046 0 -0.000 2 0.150 5 0.005 1 0.152 6 0.002 5
    σ44 -0.007 7 0.003 8 -0.010 2 0.001 1 -0.037 1 -0.000 3 -0.038 1 0.000 0
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  • [1] doi: http://intersci.ss.uci.edu/wiki/pdf/ScutariStrimmer1005.1036v3.pdf O'BRIEN C M. Introduction to Graphical Modelling [J]. Journal of the Royal Statistical Society: Series D (the Statistician), 1996, 45(4): 531-532.
    [2] RUPPERT D, WAND M P, HOLST U, et al. Local Polynomial Variance-Function Estimation [J]. Technometrics, 1997, 39(3): 262-273. doi: 10.1080/00401706.1997.10485117
    [3] FAN J Q, YAO Q W. Efficient Estimation of Conditional Variance Functions in Stochastic Regression [J]. Biometrika, 1998, 85(3): 645-660. doi: 10.1093/biomet/85.3.645
    [4] DRTON M, PERLMAN M D. Model Selection for Gaussian Concentration Graphs [J]. Biometrika, 2004, 91(3): 591-602. doi: 10.1093/biomet/91.3.591
    [5] SMITH M, KOHN R. Parsimonious Covariance Matrix Estimation for Longitudinal Data [J]. Journal of the American Statistical Association, 2002, 97(460): 1141-1153. doi: 10.1198/016214502388618942
    [6] LEDOIT O, WOLF M. Honey, I Shrunk the Sample Covariance Matrix [J]. The Journal of Portfolio Management, 2004, 30(4): 110-119. doi: 10.3905/jpm.2004.110
    [7] doi: http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/21170152 YIN J, GENG Z, LI R, et al. Nonparametric Covariance Model [J]. Statistica Sinica, 2010, 20: 469-479.
    [8] CHEN Z Q, LENG C L. Dynamic Covariance Models [J]. Journal of the American Statistical Association, 2016, 111(515): 1196-1207. doi: 10.1080/01621459.2015.1077712
    [9] LI Q Racine J S. Nonparametric Econometrics: Theory and Practice [M]. Princeton: Princeton University Press, 2006: 66-72.
    [10] doi: http://pdfs.semanticscholar.org/a234/deb510536d9d783b392ddedfa1d3f05fdc8f.pdf COOK R D, LI B. Determining the Dimension of Iterative Hessian Transformation [J]. The Annals of Statistics, 2004, 32(6): 2501-2531.
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-11-06
  • 刊出日期:  2021-11-20

一类条件协方差估计及其大样本性质

    作者简介: 甘胜进，讲师，博士研究生，主要从事概率统计方面研究
  • 1. 福建师范大学 福清分校电子与信息工程学院，福建 福清 350300
  • 2. 台湾政治大学 统计学系，台北 11605
  • 收稿日期:  2019-11-06
基金项目:  福建省自然科学基金面上项目(2018J01662)；福建师范大学福清分校高级培育项目(KY2018S02)

摘要: 提出一类条件协方差的核估计量，并给出其大样本性质，蒙特卡洛模拟结果表明，其估计效果不比现有估计量差.

English Abstract

    全文HTML

  • 开放科学(资源服务)标志码(OSID)：

  • 设p维随机变量X=(X1，X2，…，Xp)T，在给定协变量U=u条件下，考虑X的条件协方差矩阵，即

    当p=1时，条件协方差矩阵特殊化为条件方差Var(X|U=u). 条件方差及协方差函数的估计已在文献[1-6]中有较为详细讨论. 依据

    文献[7]通过极小化拟似然函数：

    构造ΣXX(u)的估计量：

    其中mX(u)的N-W核估计量为

    窗宽h＞0，{(Xi，Ui)}i=1n为来自总体(X，U)的简单随机样本. 条件协方差矩阵的另外一种表示形式为

    故一种显而易见的核估计量为

    虽然文献[8]也提到$\widetilde{\mathit{\boldsymbol{\Sigma}}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$，但并未给出其渐近性质，本文针对其大样本性质及其统计模拟展开研究.

1.   估计量的大样本性质

  • 在导出估计量的渐近性质之前，一些限制性条件十分必要，它们经常在非参数核估计中用到，尽管它们不是最弱的，但能使证明变得简便.

    (C1) U的边缘密度f(u)具有紧支集，并且在支撑集中，f(u)显著大于0，具有连续的二阶导数.

    (C2) E(Xk1j1Xk2j2|U=u)存在并且在u点具有连续的二阶导数，其中j1，j2∈{1，2，…p}，k1，k2∈{0，1}，k1和k2可能不相同，存在某个δ＞0，使得E(|Xk1j1Xk2j2|2+δ|U=u)＜+∞.

    (C3) 核密度函数K(v)满足以下条件：K(v)有界并且关于原点对称，K(v)≥0，

    (C4) 存在常数c使得窗宽h→0，nh5→c，c＞0，当n→+∞.

    为方便起见，有必要对一些符号表示含义作如下说明：令函数g(u)，$\dot{g}(u)$和$\ddot{g}(u)$分别表示g(u)的一阶、二阶导数，令

    在类似于(C1)-(C4)的条件下，文献[7]得到条件协方差矩阵的核估计大样本形式：

    其中：

    为导出$\widetilde{\mathit{\boldsymbol{\Sigma}}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$的大样本性质，给出如下引理1.

    引理1  令u为U的支撑的内点，在条件(C1)-(C4)下

    逐点依分布收敛，其中

    证  令

    Xi，j为X的第j个分量第i次观测，则有

    由于${\hat{f}(u)}$=f(u)+op(1)，故只须推导出$\frac{1}{n h} \sum\limits_{i=1}^{n}$(Xi，j1Xi，j2-mXXj1，j2(u))K$\left(\frac{U_{i}-u}{h}\right)$的渐近分布即可. 对A2进行泰勒展开

    不难得到

    依据条件(C2)和有界的核密度函数K(·)以及Cr不等式[9]，由Liapunov's中心极限定理可知$\sqrt{n h} A_{1}$→N(0，Var(Xj1Xj2|U=u)K0f(u))依分布收敛. 易知

    故有

    类似以上讨论，

    引理得证.

    值得注意的是，尽管引理1给出核估计量的渐近正态性，但是这没有必要，只须将估计量写成以下相合形式：

    其中

    类似引理1过程，不难得到以下结果：

    其中

    通过以上讨论，由(2)式、(3)式，根据条件(C1)-(C4)和Cr不等式[9]可得定理1.

    定理1  令u为U的支撑的内点，在条件(C1)-(C4)下，

    逐点依分布收敛，其中

    定理2给出逆协方差矩阵估计量的大样本性质.

    定理2  设u为协变量U的内点，在条件(C1)-(C4)下，

    证  由定理1，根据文献[10]讨论，假设

    依据$\widetilde{\mathit{\boldsymbol{\Sigma}}}_{\boldsymbol{XX}}(u)^{-1} \widetilde{\mathit{\boldsymbol{\Sigma}}}_{\boldsymbol{XX}}(u)=\boldsymbol{I}$，解下列方程得到Bn，Vn：

    左边是

    故

    定理得证.

    同理可得

2.   随机模拟

  • 借助文献[7]采用留一交叉验证拟似然函数来选择最优窗宽：

    $\hat{\boldsymbol{m}}_{-i}\left(u_{i}\right), \widetilde{\mathit{\boldsymbol{\Sigma}}}_{\boldsymbol{X} \boldsymbol{X}}(u)_{(-i)}$分别是去掉第i个样本后的N-W核估计量和新估计量. σij表示矩阵的(i，j)元素，采用100次蒙特卡洛模拟的偏差平均数来衡量估计量估计性能，偏差项数越多，可能的偏差越大，因此以下模拟协变量U为[0, 1]上的均匀分布. 由于ΣXX(u)中有效参数数量为$\frac{p(p+1)}{2}$，限于篇幅，以下随机模拟选择p=3，4.

    模型1  X|U=u~N3(m(u)，ΣXX(u))，其中m(u)=$\left(\begin{array}{c}u \\ \sin (u) \\ \mathrm{e}^{u}\end{array}\right)$，ΣXX(u)=AAT，

    从表 1中可知，协方差矩阵6个参数估计中，$\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$在σ11，σ12，σ22上要好于$\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$，$\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$在σ13，σ23，σ33上优于$\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$.从表 2看到，当样本容量增加时，$\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1在绝大部分点优于$\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1. 从表 1、表 2中观测到，当样本容量增加时，估计量偏差越来越趋于零，印证了定理1、定理2.

    模型2  X|U=u~N4(m(u)，$\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$)，其中m(u)=$\left(\begin{array}{c}u^{2} \\ \cos (u) \\ \mathrm{e}^{u} \\ \ln (1+u)\end{array}\right)$，$\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$=AAT，$\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ \sin (u) & \cos (u) & 0 & 0 \\ 2 \sin (u) & 4 \sin (u) & 2 \cos (u) & 0 \\ 6 \cos (u) & 3 \sin (u) & 5 \sin (u) & 4 \cos (u)\end{array}\right)$，U~U[0, 1]

    通过表 3可知，除σ44在u取值较小点外，$\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$估计的各参数与零的接近程度好于$\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$，随着u取值增大，$\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$-1估计量的优势越来越明显.

3.   结语

  • 本文给出动态协方差矩阵核估计量的另外一种形式，由于文献[7]给出的核估计量在每个样本点均需计算$\hat{\boldsymbol{m}}_{X}\left(U_{i}\right)$，尤其利用交叉验证选择最优窗宽时，计算格外耗时，另外其估计量的大样本性质推导极为繁琐. 相比较而言，本文建议的核估计量的计算相对简单，大样本性质简单易得，并且模拟结果表明，其估计效果不比文献[7]给出估计量差.

参考文献 (10)

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