下面首先介绍区间值信息系统和广义多尺度信息系统的基本概念.

定义1^[24]   称IVS=(U，C，V，f)为区间值信息系统，U为非空有限对象集，C为非空有限条件属性集. 对任意a∈C，存在映射f：U→V_a，V_a是属性a下的值域，为区间值的形式.

定义2^[22]   对任意两个区间值的交运算和并运算定义为

定义3^[22]  对任意两个区间值[a_s，a_s]和[a _t，a _t]之间的Jaccard相似率定义为

|·|表示区间的长度.

定义4^[4]  称S=(U，C)=(U，{a_j^k|k=1，2，…，I_j，j=1，2，…，m})为广义多尺度信息系统，U={x₁，x₂，…，x_n}为非空有限对象集，C={a₁，a₂，…，a_m}为非空有限条件属性集，属性a_j有I_j个尺度，j=1，…，m.

a_j^k：U→V_j^k，V_j^k是属性a_j在k尺度下的值域，并且对于j=1，2，…，m，存在一个满射函数g_j^k，k+1：V_j^k→V_j^k+1，使得

称g_j^k，k+1为粒度信息转化函数^[4]，x_s∈U，1≤k≤I_j-1. 称S=(U，C∪{d})为广义多尺度决策系统，其中，决策属性d不属于条件属性集C.

定义5^[4]   S=(U，C)为广义多尺度信息系统，如果属性a_j分别取第l_j个尺度(j=1，2，…，m)，那么由该属性-对象集可以构造一个单尺度信息系统S^K. 每个属性对应的指数序列构成的K=(l₁，l₂，…，l_m)称为S^K在S中的尺度组合，S中所有尺度组合构成的集合表示为$ \mathcal{L}$={(l₁，l₂，…，l_m)|1≤l_j≤I_j，j=1，2，…，m}.

定义6^[4]  设K₁=(l₁¹，l₂¹，…，l_m¹)∈ $ \mathcal{L}$，K₂=(l₁²，l₂²，…，l_m²)∈ $ \mathcal{L}$，对任意的j=1，2，…，m，若有l_j¹≤l_j²，则称尺度组合K₁细于K₂，或称K₂粗于K₁，记作K₁$\preccurlyeq$K₂. 若K₁$\preccurlyeq$K₂，且存在$ \tilde{j}$=1，2，…，m，使$l_{\tilde j}^1 < l_{\tilde j}^2$，则称尺度组合K₁严格细于K₂，或称K₂严格粗于K₁，记作K₁$\prec$K₂.

由定义6，可以验证出($ \mathcal{L}$，$\preccurlyeq$)是一个偏序集.

定义7^[4]   K₁=(l₁¹，l₂¹，…，l_m¹)，K₂=(l₁²，l₂²，…，l_m²)，K₁，K₂∈ $ \mathcal{L}$定义

可得，($ \mathcal{L}$，$\preccurlyeq$，∧，∨)构成有界格，最小元K₀=(1，1，…，1)，最大元I=(I₁，I₂，…，I_m).

根据文献[4]，对于广义多尺度决策系统S，若最细的尺度组合K₀=(1，1，…，1)对应的决策系统是协调的(即${R_{{C^{{K_0}}}}} \subseteq {R_d}$)，则称决策系统S为协调的，否则称决策系统S为不协调的.

其中，由条件属性集C^K生成的等价关系、等价类分别为

由决策属性d生成的等价关系、等价类分别为

对任意X$ \subseteq$U，X关于等价关系R_C^K的下近似和上近似分别定义为

根据文献[6]

其中

L_C^K与H_C^K分别称为决策类U/R_d关于属性集C^K在S中的下分布与上分布；μ_C^K(x_s)与γ_C^K(x_s)分别称为对象x_s在属性集C^K下关于决策类U/R_d的概率分布与最大分布；Bel_C^K与Pl_C^K分别称为决策类U/R_d关于属性集C^K在S中的信任分布与似然分布.

定义8^[6]  设S=(U，C∪{d})为不协调的广义多尺度决策系统，K，$ \widetilde{K}$ ∈ $ \mathcal{L}$，x_s∈U

1) 若L_C^K(d)=L_C^K0(d)，则称S^K关于S下分布协调. 当S^K关于S下分布协调并且对所有$ \widetilde{K}$ ($ \widetilde{K}$$\succ$K且$ \widetilde{K}$≠Ø)，$ S^{\widetilde{K}}$相对于S都不是下分布协调，则称K是S的一个下分布最优尺度组合；

2) 若H_C^K(d)=H_C^K0(d)，则称S^K关于S上分布协调. 当S^K关于S上分布协调并且对所有$ \widetilde{K}$ ($ \widetilde{K}$$\succ$K且$ \widetilde{K}$≠Ø)，$ S^{\widetilde{K}}$相对于S都不是上分布协调，则称K是S的一个上分布最优尺度组合；

3) 若μ_C^K(x_s)=μ_C^K0(x_s)，则称S^K关于S概率分布协调. 当S^K关于S概率分布协调并且对所有$ \widetilde{K}$ ($ \widetilde{K}$$\succ$K且$ \widetilde{K}$≠Ø)，$ S^{\widetilde{K}}$相对于S都不是概率分布协调，则称K是S的一个概率分布最优尺度组合；

4) 若γ_C^K(x_s)=γ_C^K0(x_s)，则称S^K关于S最大分布协调. 当S^K关于S最大分布协调并且对所有$ \widetilde{K}$ ($ \widetilde{K}$$\succ$K且$ \widetilde{K}$≠Ø)，$ S^{\widetilde{K}}$相对于S都不是最大分布协调，则称K是S的一个最大分布最优尺度组合；

5) 若Bel_C^K(d)=Bel_C^K0(d)，则称S^K关于S信任分布协调. 当S^K关于S信任协调并且对所有$ \widetilde{K}$ ($ \widetilde{K}$$\succ$K且$ \widetilde{K}$≠Ø)，$ S^{\widetilde{K}}$相对于S都不是信任分布协调，则称K是S的一个信任分布最优尺度组合；

6) 若Pl_C^K(d)=Pl_C^K0(d)，则称S^K关于S似然分布协调. 当S^K关于S似然协调并且对所有$ \widetilde{K}$ ($ \widetilde{K}$$\succ$K且$ \widetilde{K}$≠Ø)，$ S^{\widetilde{K}}$相对于S都不是似然分布协调，则称K是S的一个似然分布最优尺度组合.

本节首先定义了广义多尺度区间值信息系统的概念；然后，在其背景上构造了θ-相容关系；最后，讨论了相关的基本性质.

定义9  称MS-IVS=(U，C)为广义多尺度区间值信息系统，U={x₁，x₂，…，x_n}为非空有限对象集，C={a₁，a₂，…，a_m}为非空有限条件属性集. 其中，a_j具有I_j个尺度(j=1，2，…，m)，对任意a_j^k(k=1，2，…，I_j)，存在映射f：U→V_aj^k，V_aj^k是属性a_j在k尺度下的值域，为区间值的形式. 在同一对象相同属性不同尺度下，属性值具有下面包含关系

i=1，2，…，n，j=1，2，…，m. MS-IVDS=(U，C∪{d})称为广义多尺度区间值决策系统. 其中，决策属性d不属于条件属性集C.

Jaccard相似率刻画了两个对象在同一属性下的相似度，由于在文中需要依据多属性下对象之间的相似度构造关系矩阵，因而，将Jaccard相似率做了进一步推广.

定义10  在MS-IVS=(U，C)中，对任意对象x_s，x_t关于属性集C^K下的相似度定义为

性质1  在MS-IVS=(U，C)中，对任意对象x_s，x_t关于属性集C^K下的相似度满足

1) 0≤J_C^K(x_s，x_t)≤1；

2) J_C^K(x_s，x_t)=1当且仅当x_s，x_t在属性集C^K下的取值相同；

3) J_C^K(x_s，x_t)=J_C^K(x_t，x_s).

性质1说明，当J_C^K(x_s，x_t)=0时，对象x_s，x_t在属性集C^K下不相似；当J_C^K(x_s，x_t)=1时，对象x_s，x_t在属性集C^K下完全相似. 同时，对象x_s，x_t的相似性随着J_C^K(x_s，x_t)的增大而变接近.

定义11  MS-IVDS=(U，C∪{d})为广义多尺度区间值决策系统，在U上定义关于属性集CK形成的二元关系TCKθ，θ∈[0, 1]

相应地，对象x_s所在的类表示为

集合X$ \subseteq$U关于二元关系TCKθ形成的下近似和上近似分别定义为

性质2  二元关系TCKθ满足

1) $ \forall$xs∈U，(xs，xs)∈TCKθ，自反性；

2) $ \forall$xs，xt∈U，(xs，xt)∈TCKθ，(xt，xs)∈TCKθ，对称性.

依据性质2，二元关系TCKθ不满足传递性，故不是等价关系. 在下面内容，称二元关系TCKθ为θ-相容关系. 根据θ-相容关系TCKθ的定义可知，TCKθ随阈值θ以及属性集CK的变化而变化，依据它们的变化规律可以得到性质3、4.

性质3  如果0≤θ₁≤θ₂≤1，K₁$ \subseteq$K∈ $ \mathcal{L}$，那么 $T_{{C^{{K_1}}}}^{^{{\theta _2}}} \subseteq T_{{C^{{K_1}}}}^{{\theta _1}}$.

证  由$T_{{C^{{K_1}}}}^{^{{\theta _2}}}$={(x_s，x_t)|(x_s，x_t)∈U×U，J_C^K1(x_s，x_t)≥θ₂}，可得$ \forall$(x_s0，x_t0)∈$T_{{C^{{K_1}}}}^{^{{\theta _2}}}$，有

因此，当θ₁≤θ₂时，有

得

分析性质3可以发现，保证属性集CK不变，随着阈值θ的增大，θ-相容关系TCKθ形成的相容类SCKθ变小或者不变. 但是，尺度组合具有粗细关系时，尺度组合对应属性集形成的θ-相容关系不总是具有包含关系，即性质4.

性质4  当K₁$\prec$K₂时，存在θ∈[0, 1]，使得 $T_{{C^{{K_1}}}}^\theta \subseteq T_{{C^{{K_2}}}}^\theta $(通过例1来说明性质4).

例1  MS-IVS=(U，C)，U={x₁，x₂，…，x₅}为对象集，C={a₁，a₂，a₃}为条件属性集.

假设K₁={1，1，1}，K₂={2，1，1}，K₁$\prec$K₂，θ=0.6，分别计算$S_{{C^{{K_1}}}}^{0.6}(U),S_{{C^{{K_2}}}}^{0.6}(U)$，得$S_{{C^{{K_1}}}}^{0.6}\left( {{x_4}} \right) = \left\{ {{x_4},{x_5}} \right\},S_{{C^{{K_2}}}}^{0.6}\left( {{x_4}} \right) = \left\{ {{x_4}} \right\}$. 显然，$S_{{C^{{K_1}}}}^{0.6}\left( {{x_4}} \right) \nsubseteq S_{{C^{{K_2}}}}^{0.6}\left( {{x_4}} \right)$，$T_{{C^{{K_1}}}}^\theta \nsubseteq T_{{C^{{K_2}}}}^\theta $.

虽然，尺度组合具有粗细关系时，其对应属性集形成的θ-相容关系不具有包含关系. 但是，任意两个对象x_s，x_t在细尺度下具有相似性，可以推出在粗尺度下也具有相似性，即性质5.

性质5  在MS-IVS=(U，C)中，对任意对象x_s，x_t，若$ \left[\underline{a}_{s j}^{I_{j_1}}, \bar{a}_{a_{s j}}^{I_{j_1}}\right] \cap\left[\underline{a}_{t_j}^{I_{j_1}}, \bar{a}_{a_{t j}}^{I_{j_1}}\right] \neq \varnothing \Rightarrow\left[\underline{a}_{s j}^{I_{j_2}}, \right.$ $ \left.\underline{a}_{a_{s j}}^{I_{j_2}}\right] \cap\left[\underline{a}_{t j}^{I_{j_2}}, \bar a_{{{tj}}}^{{I_{{j_2}}}}\right] \neq \varnothing, 1 \leqslant I_{j_1}<I_{j_2} \leqslant I_j$.

证  设$ \left[\underline{a}_{s j}^{I_{j_1}}, \bar{a}_{a_{s j}}^{I_{j_1}}\right] \cap\left[\underline{a}_{t j}^{I_{j_1}}, \bar{a}_{t_j}^{I_{j_1}}\right]=[a, b] \neq \varnothing$，可得$ [a, b] \subseteq\left[\underline{a}_{s_j}^{I_{j_1}}, \bar{a}_{s_j}^{I_{j_1}}\right]$且$ [a, b] \subseteq\left[\underline{a}_{{t j}}^{{ }^{I_{j_1}}}, \bar{a}_{{t j}}^{I_{j_1}}\right]$. 依据定义9，在MS-IVS=(U，C)中，同一对象相同属性不同尺度下，属性值具有包含关系. 推出$ \left[ {\underline a _{sj}^{{I_{{j_1}}}}, - \overline a _{sj}^{{I_{{j_1}}}}} \right]$ $ \subseteq\left[\underline{a}_{s j}^{I_j}, \bar{a}_{s j}^{I_j}\right]$且$ \left[\underline{a}_{t j}^{I_{j_1}}, \bar{a}_{{t j}}^{I_{j_1}}\right] \subseteq\left[\underline{a}_{t j}^{I_{j_2}}, \bar{a}_{a_{t j}}^{I_{j_2}}\right]$，$ [a,b] \subseteq \left[ {\underline a _{sj}^{^{{I_{{j_2}}}}},\bar a_{sj}^{{I_{{j_2}}}}} \right]$且$ [a,b] \subseteq \left[ {\underline a _{tj}^{^{{I_{{j_2}}}}},\bar a_{{t_j}}^{{I_{{j_2}}}}} \right]$得

以Wu-and-Leung模型为基础，Li等^[4]推广的广义多尺度信息系统，主要研究单值情形下的粗糙集近似. 由文献[6]知，尺度组合具有粗细关系时，其对应属性集构成的等价类具有包含关系. 即，随着尺度组合变粗，等价关系将对象集的划分变粗.

随着实际问题复杂性、不确定性的增强，人们描述某种现象时，有时以区间值的形式表达. 文献[24]基于Wu-and-Leung模型推广到多尺度区间信息系统，其定义方式主要从二元关系的构造考虑. 该二元关系定义方式为

基于此，文献[24]给出多尺度区间信息系统的概念，$ \forall$x_s，x_t，a_j^k∈C^k，在a_j^k(x_s)∩a_j^k(x_t)≠Ø下，可推出g_j^k，k+1(a_j^k(x_s))∩g_j^k，k+1(a_j^k(x_t))≠Ø. 在该背景下，对任意x_s，S_C^k(x_s)$ \subseteq$S_C^k+1(x_s). 但在文献[24]中未考虑尺度组合情形.

本节我们将广义多尺度信息系统推广到区间值的形式. 定义9的给出，主要从实际背景出发. 在实际生活中，实验人员判断某种菌类存活的适宜温度范围，若最开始划定范围为0 ℃~100 ℃，该菌类能存活，对于第二次实验，培养菌类温度会限制在较窄的范围. 即，人们掌握确定的信息越多，描述样本特征时给出的区间值范围越精确. 反之，了解确定信息越少，给出的区间范围越宽泛. 因而在定义9中，细粒度下的区间值范围包含于粗粒度下的区间值范围. 但是，依据定义11构造的θ-相容关系，尺度组合具有粗细关系时，尺度组合对应的属性集形成的θ-相容关系不总具有包含关系.

本节我们依据Wu-and-Leung模型定义协调性的方式，给出了广义多尺度区间值决策系统协调性的定义；然后，介绍了在协调与不协调决策系统中，最优尺度组合的定义；最后，描述了获取最优尺度组合的方法.

定义12  MS-IVDS=(U，C∪{d})=(U，{a_j^k|k=1，2，…，I_j，j=1，2，…，m}∪{d})为广义多尺度区间值决策系统. 如果$T_{{C^{{K_0}}}}^\theta $$ \subseteq$R_d，则称广义多尺度区间值决策系统MS-IVDS为协调的，否则称MS-IVDS为不协调的.

基于文献[6]可将6种分布推广到θ-相容关系下，即

其中，

定义13  设MS-IVDS=(U，C∪{d})为协调的广义多尺度区间值决策系统，如果MS-IVDS^K相对于MS-IVDS协调且对所有$ \widetilde{K}(\widetilde{K} \succ K \text { 且 } \widetilde{K} \neq \varnothing)$，$ M S-I V D S^{\widetilde{K}}$相对于MS-IVDS都不协调，则称K是MS-IVDS的一个最优尺度组合，(K，$ \widetilde{K} \in \mathcal{L}$).

定义14  设MS-IVDS=(U，C∪{d})为不协调的广义多尺度区间值决策系统，K，$ \widetilde{K} \in \mathcal{L}$

1) 若$L_{{C^K}}^\theta (d) = L_{{C^{{K_0}}}}^\theta (d)$，则称MS-IVDS^K关于MS-IVDS下分布协调. 当MS-IVDS^K关于MS-IVDS下分布协调并且对所有$ \widetilde{K}$ ($ \widetilde{K}$ $\succ$K且$ \widetilde{K}$ ≠Ø)，$ M S-I V D S^{\widetilde{K}}$相对于MS-IVDS都不是下分布协调，则称K是MS-IVDS的一个下分布最优尺度组合.

2) 若$H_{{C^K}}^\theta (d) = H_{{C^{{K_0}}}}^\theta (d)$，则称MS-IVDS^K关于MS-IVDS上分布协调. 当MS-IVDS^K关于MS-IVDS上分布协调并且对所有$ \widetilde{K}$ ($ \widetilde{K}$ $\succ$K且$ \widetilde{K}$ ≠Ø)，$ M S-I V D S^{\widetilde{K}}$相对于MS-IVDS都不是上分布协调，则称K是MS-IVDS的一个上分布最优尺度组合.

3) 若$\mu _{{C^K}}^\theta ({x_s}) = \mu _{{C^{{K_0}}}}^\theta ({x_s})$，则称MS-IVDS^K关于MS-IVDS概率分布协调. 当MS-IVDS^K关于MS-IVDS概率分布协调并且对所有$ \widetilde{K}$ ($ \widetilde{K}$ $\succ$K且$ \widetilde{K}$ ≠Ø)，$ M S-I V D S^{\widetilde{K}}$相对于MS-IVDS都不是概率分布协调，则称K是MS-IVDS的一个概率分布最优尺度组合.

4) 若$\gamma _{{C^K}}^\theta ({x_s}) = \gamma _{{C^{{K_0}}}}^\theta ({x_s})$，则称MS-IVDS^K关于MS-IVDS最大分布协调. 当MS-IVDS^K关于MS-IVDS最大分布协调并且对所有$ \widetilde{K}$ ($ \widetilde{K}$ $\succ$K且$ \widetilde{K}$ ≠Ø)，$ M S-I V D S^{\widetilde{K}}$相对于MS-IVDS都不是最大分布协调，则称K是MS-IVDS的一个最大分布最优尺度组合.

5) 若$bel_{{C^K}}^\theta (d) = bel_{{C^{{K_0}}}}^\theta (d)$，则称MS-IVDS^K关于MS-IVDS信任分布协调. 当MS-IVDS^K关于MS-IVDS信任分布协调并且对所有$ \widetilde{K}$ ($ \widetilde{K}$ $\succ$K且$ \widetilde{K}$ ≠Ø)，$ M S-I V D S^{\widetilde{K}}$相对于MS-IVDS都不是信任分布协调，则称K是MS-IVDS的一个信任分布最优尺度组合.

6) 若$pl_{{C^K}}^\theta (d) = pl_{{C^{{K_0}}}}^\theta (d)$，则称MS-IVDS^K关于MS-IVDS似然分布协调. 当MS-IVDS^K关于MS-IVDS似然分布协调并且对所有$ \widetilde{K}$ ($ \widetilde{K}$ $\succ$K且$ \widetilde{K}$ ≠Ø)，$ M S-I V D S^{\widetilde{K}}$相对于MS-IVDS都不是似然分布协调，则称K是MS-IVDS的一个似然分布最优尺度组合.

依据定义13可以得到下面的命题1，2，3.

命题1  如果K₁$\prec$K₂且MS-IVDS^K₂相对于MS-IVDS协调，那么K₁不是最优尺度组合.

命题2  如果K是MS-IVDS的一个最优尺度组合，那么比K$\prec$$ \widetilde{K}$或K$\succ$ $ \hat{k}$的$ \widetilde{K}$与$ \hat{k}$，都不是MS-IVDS的最优尺度组合.

命题3  若最粗的尺度组合I=(I₁，I₂，…，I_m)对应决策系统为协调的，那么尺度组合I为决策系统的最优尺度组合.

注1  命题1，2，3是在协调的MS-IVDS中讨论，若背景换为不协调广义多尺度区间值决策系统，3个命题也适用.

分析3个命题可以得知，如果尺度组合K对应决策系统为协调的，那么比K细的所有尺度组合对应的决策系统，无论是否是协调的，这些尺度组合都不会是最优尺度组合. 即，在协调的MS-IVDS中希望找到使决策系统达到协调的最粗尺度组合，在不协调的MS-IVDS中挑出与最细尺度组合K₀在某种标准下具有相同信息量的最粗尺度组合.

因此，在挑选最优尺度组合时，可以先验证最粗尺度组合I，对应决策系统的协调性. 如果是协调的，那么I是最优尺度组合. 虽然尺度组合I对应决策系统中的数据是最粗的情况，但它可以保持与最细尺度组合对应的决策系统含有的某种信息量相同.

依据命题1，若尺度组合K对应决策系统为协调的，那么比K细的所有尺度组合$ \hat{k}$均不是最优尺度组合. 因而，下面定义15，16是希望找到一些能够排除其他尺度组合不是最优尺度组合的尺度组合.

定义15   I=(I₁，…，I_j，…，I_m)为$ \mathcal{L}$中最粗的尺度组合，j=1，2，…，m.

1) 对任意I_j，如果I_j为偶数，则取I_j的一半. 而其他是奇数的指数不改变，从而得到尺度组合Q₁=(I₁，…，I_j/2，…，I_m)∈ $ \mathcal{L}$；

2) 对任意I_j，如果I_j为奇数，则取(I_j+1)的一半. 而其他是偶数的指数不改变，从而得到尺度组合Q₂=(I₁，…，(I_j+1)/2，…，I_m)∈ $ \mathcal{L}$，设Q={Q₁，Q₂}.

定义16  对任意K∈ $ \mathcal{L}$，比K严格细的所有尺度组合K^↓组成集合表示为Fine(K)={K^↓|K^↓$\prec$K}，不能与K比较粗细的尺度组合所组集合表示为Nc(K)={K^→|K^→K，K^→K}.

下面是获取不协调广义多尺度区间值决策系统最优尺度组合的算法.

算法1  获取不协调MS-IVDS中最优尺度组合算法.

输入：不协调MS-IVDS，$ \mathcal{L}$={(l₁，l₂，…，l_m)|1≤l_j≤I_j，j=1，2，…，m}，I=(I₁，…，I_j，…，I_m)，K₀=(1，1，…，1)_1×m，Q={Q₁，Q₂}，i=1，2.

输出：最优尺度组合OSC

第1步：

      if MS-IVDS^CI is consistent probability distribution then

                break；

      end

第2步：

OSC←Ø

      for every Q_i in Q do

              if MS-IVDS^Q_i is inconsistent probability distribution then

              end

              if MS-IVDS^Q_i is consistent probability distribution then

              end

      end

第3步：

Nc(Q)={Nc(Q₁)，Nc(Q₂)}

      for every Q^→ in Nc(Q) do

              if Nc(Q)=Ø then

                        break；

                      else

                           if MS-IVDS^Q→ is inconsistent probability distribution then

                           end

                           if MS-IVDS^Q→ is consistent probability distribution then

                           end

                  end

           end

      end

第4步：

      for every L in $ \mathcal{L}$ do

          if MS-IVDS^L is inconsistent probability distribution then

          end

      end

第5步：

OSC←OSC∪ $ \mathcal{L}$

      for every csc in OSC do

               if there is an element osc∈OSC and osc$\prec$csc then

                        OSC←OSC-osc

               end

      end

第6步：

return OSC

性质6  设MS-IVDS=(U，C∪{d})为广义多尺度区间值决策系统，记θ∈[0, 1]，K=(l₁，l₂，…，l_m)∈ $ \mathcal{L}$，U/R_d={D₁，D₂，…，D_r}，令

当θ∈(θ_C^K0，1)时

1) MS-IVDS^K关于MS-IVDS上分布协调$ \Leftrightarrow$MS-IVDS^K关于MS-IVDS下分布协调；

2) MS-IVDS^K关于MS-IVDS信任分布协调$ \Leftrightarrow$MS-IVDS^K关于MS-IVDS下分布协调；

3) MS-IVDS^K关于MS-IVDS似然分布协调$ \Leftrightarrow$MS-IVDS^K关于MS-IVDS上分布协调.

证   1) 一方面，若MS-IVDS^K关于MS-IVDS上分布协调，推出$ \overline {S_{{C^K}}^\theta } \left( {{D_h}} \right) = \overline {S_{{C^{{K_0}}}}^\theta } \left( {{D_h}} \right)$，1≤h≤r. 由于$\theta \in \left( {{\theta _{{C^{{K_0}}}}}, 1} \right)$，获得$ \forall$x_s∈U，$S_{{C^{{K_0}}}}^\theta\left(x_s\right)=\left\{x_s\right\}$，$ \overline {S_{{C^{{K_0}}}}^\theta } \left( {{D_h}} \right) = {D_h} = \overline {S_{{C^K}}^\theta } \left( {{D_h}} \right)$且$\underline {S_{{C^{{K_0}}}}^\theta }$(D_h)=D_h. 下证，$\underline {S_{{C^K}}^\theta } $(D_h)=D_h，1≤h≤r. 由下近似定义可以推出：$\underline {S_{{C^K}}^\theta } $(D_h)$ \subseteq$D_h. 下面，采用反证法，证明D_h$ \subseteq$$\underline {S_{{C^K}}^\theta } $(D_h)，假设存在${\tilde h}$，使${D_{\tilde h}}$$ \nsubseteq$$\underline {S_{{C^K}}^\theta } $(${D_{\tilde h}}$)，即存在x_t，使得x_t∈ ${D_{\tilde h}}$，$x_t \notin \underline {S_{{C^K}}^\theta }$(${D_{\tilde h}}$). 可得，$ S_{C^K}^\theta\left(x_t\right)\nsubseteq {D_{\tilde h}}$，$\exists {x_{\tilde h}}$，${x_{\tilde h}} \in S_{{C^K}}^\theta \left( {{x_t}} \right)$，${x_{\tilde t}} \notin {D_{\tilde h}}$. 依据对称性${x_t} \in S_{{C^K}}^\theta \left( {{x_{\tilde t}}} \right)$，$S_{{C^K}}^\theta \left( {{x_{\tilde t}}} \right) \cap {D_{\tilde h}} \ne $Ø，${x_{\tilde t}} \in \overline {S_{{C^K}}^\theta } \left( {{D_{\tilde h}}} \right)$. 由于，$\underline {S_{{C^K}}^\theta } $(D_h)=D_h，所以${x_{\tilde t}} \in {D_{\tilde h}}$，与${x_{\tilde t}} \notin {D_{\tilde h}}$. $ \forall {x_t} \in {D_{\tilde h}}, {x_t} \in S_{{C^K}}^\theta \left( {{D_{\tilde h}}} \right)$，可得$ \forall$h，D_h$ \subseteq$$\underline {S_{{C^K}}^\theta } $(D_h). 综上$\underline {S_{{C^K}}^\theta } $(D_h)=D_h，$\underline {S_{{C^K}}^\theta } $(D_h)= $\underline {S_{{C^{{K_0}}}}^\theta } $(D_h)=D_h，1≤h≤r，故MS-IVDS^K关于MS-IVDS下分布协调.

另一方面，若MS-IVDS^K关于MS-IVDS下分布协调，$\underline {S_{{C^K}}^\theta } $(D_h)=$\underline {S_{{C^{{K_0}}}}^\theta } $ (D_h)，1≤h≤r. 由于，θ∈(${\theta _{{C^{{K_0}}}}}$，1)，$ \forall$x_s∈U，${S_{{C^{{K_0}}}}^\theta } $(x_s)={x_s}，获得$\underline {S_{{C^{{K_0}}}}^\theta } $ (D_h)=D_h=$\underline {S_{{C^K}}^\theta } $(D_h)且$\overline {S_{{C^{{K_0}}}}^\theta } $ (D_h)=D_h. 下证，$\overline {S_{{C^K}}^\theta } $(D_h)=D_h，1≤h≤r. 由上近似定义可以推出：D_h$ \subseteq$$\overline {S_{{C^K}}^\theta } $(D_h). 再证，$\overline {S_{{C^K}}^\theta } $(D_h)$ \subseteq$D_h，采用反证法. 假设存在$\tilde h$，使得$\overline {S_{{C^K}}^\theta } $(${D_{\tilde h}} \nsubseteq {D_{\tilde h}}$，即存在x_t，使得x_t∈$\overline {S_{{C^K}}^\theta } $(${D_{\tilde h}}$)，x_t∉${D_{\tilde h}}$. $S_{C^K}^\theta$(x_t)∩${D_{\tilde h}}$≠Ø且$S_{C^K}^\theta$(x_t)∩${D_{\tilde h}}$≠x_t，推出$\exists {x_{\tilde t}}$，${x_{\tilde t}}$∈$S_{C^K}^\theta$(x_t)且${x_{\tilde t}}$∈${D_{\tilde h}}$. 依据对称性，x_t∈$S_{C^K}^\theta$(${x_{\tilde t}}$)，由上知，对任意h，$\underline {S_{{C^K}}^\theta } $(D_h)=D_h，有$\underline {S_{{C^K}}^\theta } $(${D_{\tilde h}}$)=${D_{\tilde h}}$，${x_{\tilde t}}$∈$\underline {S_{{C^K}}^\theta } $(${D_{\tilde h}}$)，$S_{C^K}^\theta$(${x_{\tilde t}}$)$ \subseteq$${D_{\tilde h}}$. x_t∈${D_{\tilde h}}$，与x_t∉${D_{\tilde h}}$矛盾，$ \forall$h，$\overline {S_{{C^K}}^\theta } $(D_h)$ \subseteq$D_h，$\overline {S_{{C^K}}^\theta } $(D_h)=D_h，可得$\overline {S_{{C^K}}^\theta } $(D_h)=D_h=$\overline {S_{{C^{{K_0}}}}^\theta } $ (D_h)，1≤h≤r. 综上，MS-IVDS^K关于MS-IVDS上分布协调.

2) 一方面，若MS-IVDS^K关于MS-IVDS信任分布协调，$\frac{{\left| {\underline {S_{{C^K}}^\theta } \left( {{D_h}} \right)} \right|}}{{|U|}} = \frac{{\left| {\underline {S_{{C^{{K_0}}}}^\theta } \left( {{D_h}} \right)} \right|}}{{|U|}}$，1≤h≤r. 由于，θ∈(${\theta _{{C^{{K_0}}}}}$，1)，$ \forall$x_s∈U，$ {S_{{C^{{K_0}}}}^\theta } $(x_s)={x_s}，$\underline {S_{{C^{{K_0}}}}^\theta } $ (D_h)=D_h，$\frac{{\left| {\underline {S_{{C^{{K_0}}}}^\theta } \left( {{D_h}} \right)} \right|}}{{|U|}} = \frac{{\left| {{D_h}} \right|}}{{|U|}} = \frac{{\left| {\underline {S_{{C^K}}^\theta } \left( {{D_h}} \right)} \right|}}{{|U|}}$. 下证，$\underline {S_{{C^K}}^\theta } $(D_h)=D_h，由下近似定义可知：$\underline {S_{{C^K}}^\theta } $(D_h)$ \subseteq$D_h，再证D_h$ \subseteq$$\underline {S_{{C^K}}^\theta } $(D_h). 假设存在$\tilde h$，使得${D_{\tilde h}}$$\nsubseteq$$\underline {S_{{C^K}}^\theta } $(${D_{\tilde h}}$)，即，存在$\widetilde{x}_s$∈${D_{\tilde h}}$，$\widetilde{x}_s$∉$\underline {S_{{C^K}}^\theta } $(${D_{\tilde h}}$)，依据下近似定义，$S_{C^K}^\theta$($\widetilde{x}_s$)$ \subseteq$${D_{\tilde h}}$，|$\underline {S_{{C^K}}^\theta } $(${D_{\tilde h}}$)|=|{x_s|$S_{C^K}^\theta$(x_s)$ \subseteq$${D_{\tilde h}}$}| < |${D_{\tilde h}}$|，$\frac{{\left| {\underline {S_{{C^k}}^\theta } \left( {{D_{\tilde h}}} \right)} \right|}}{{|U|}} \ne \frac{{\left| {{D_{\tilde h}}} \right|}}{{|U|}}$，与$\frac{{\left| {\underline {S_{{C^K}}^\theta } \left( {{D_h}} \right)} \right|}}{{|U|}} = \frac{{\left| {{D_h}} \right|}}{{|U|}}$，1≤h≤r矛盾. $ \forall$1≤h≤r，$\underline {S_{{C^K}}^\theta } $(D_h)=D_h，MS-IVDS^K关于MS-IVDS下分布协调.

另一方面，若MS-IVDS^K关于MS-IVDS下分布协调，由定义14推出MS-IVDS^K关于MS-IVDS信任分布协调.

3) 同理可证MS-IVDS^K关于MS-IVDS似然分布协调$ \Leftrightarrow$MS-IVDS^K关于MS-IVDS上分布协调.

性质7  设MS-IVDS=(U，C∪{d})为广义多尺度区间值决策系统，记θ∈[0, 1]，K∈ $\mathcal{L}$，U/R_d={D₁，D₂，…，D_r}，令

当θ∈[0，${\tilde \theta _{{C^{{K_0}}}}}$]时

1) MS-IVDS^K关于MS-IVDS信任分布协调$ \Leftrightarrow$MS-IVDS^K关于MS-IVDS下分布协调；

2) MS-IVDS^K关于MS-IVDS似然分布协调$ \Leftrightarrow$MS-IVDS^K关于MS-IVDS上分布协调.

证  1) 一方面，若MS-IVDS^K关于MS-IVDS信任分布协调，$\frac{{\left| {\underline {S_{{C^K}}^\theta } \left( {{D_h}} \right)} \right|}}{{|U|}} = \frac{{\left| {\underline {S_{{C^{{K_0}}}}^\theta } \left( {{D_h}} \right)} \right|}}{{|U|}}$，1≤h≤r. 由于θ∈[0，${\tilde \theta _{{C^{{K_0}}}}}$]，$ \forall$x_s∈U，$ {S_{{C^{{K_0}}}}^\theta } $(x_s)={x₁，x₂，…，x_n}. 将U/R_d={D₁，D₂，…，D_r}分两种情况.

① D₁=D₂=…=D_r=U，r=1. $\underline {S_{{C^{{K_0}}}}^\theta } $ (D₁)=U，$\frac{{\left| {\underline {S_{{C^{{K_0}}}}^\theta } \left( {{D_1}} \right)} \right|}}{{|U|}} = \frac{{|U|}}{{|U|}} = \frac{{\left| {\underline {S_{{C^K}}^\theta } \left( {{D_1}} \right)} \right|}}{{|U|}}$. 由于D₁=U，$ \forall$x_s∈U，$S_{C^K}^\theta$(x_s)$ \subseteq$$ {S_{{C^{{K_0}}}}^\theta } $(x_s)$ \subseteq$D₁，$\underline {S_{{C^K}}^\theta } $(D₁)=U，$\underline {S_{{C^{{K_0}}}}^\theta } $ (D₁)=$\underline {S_{{C^K}}^\theta } $(D₁).

② 对任意D_h≠U，1≤h≤r. 由于${S_{{C^{{K_0}}}}^\theta } $(x_s)={x₁，x₂，…，x_n}，x_s∈U，得$\underline {S_{{C^{{K_0}}}}^\theta } $ (D_h)=Ø，$\frac{{\left| {\underline {S_{{C^{{K_0}}}}^\theta } \left( {{D_h}} \right)} \right|}}{{|U|}} = \frac{0}{{|U|}} = \frac{{\left| {\underline {S_{{C^K}}^\theta } \left( {{D_h}} \right)} \right|}}{{|U|}}$，由$\frac{{\left| {\underline {S_{{C^K}}^\theta } \left( {{D_h}} \right)} \right|}}{{|U|}} = \frac{0}{{|U|}}$，可知，对任意x_s∈U，$S_{C^K}^\theta$(x_s)$ \nsubseteq$[x_s]_Rd. $\underline {S_{{C^{{K_0}}}}^\theta } $ (D_h)=$\underline {S_{{C^K}}^\theta } $(D_h)=Ø，即MS-IVDS^K关于MS-IVDS下分布协调. 由定义14，MS-IVDS^K关于MS-IVDS下分布协调MS-IVDS^K关于MS-IVDS信任分布协调.

2) 同理可证MS-IVDS^K关于MS-IVDS似然分布协调$ \Leftrightarrow$MS-IVDS^K关于MS-IVDS上分布协调.

推论1  在广义多尺度区间值决策系统MS-IVDS=(U，C∪{d})中，对任意θ∈[0，${\tilde \theta _{{C^{{K_0}}}}}$]，若K是MS-IVDS的一个下分布最优尺度组合$ \Leftrightarrow$K是MS-IVDS的一个信任分布最优尺度组合，若K是MS-IVDS的一个上分布最优尺度组合$ \Leftrightarrow$K是MS-IVDS的一个似然分布最优尺度组合. 对任意θ∈(${\theta _{{C^{{K_0}}}}}$，1)，若K是MS-IVDS的一个上分布最优尺度组合$ \Leftrightarrow$K是MS-IVDS的一个下分布最优尺度组合$ \Leftrightarrow$K是MS-IVDS的一个似然分布最优尺度组合$ \Leftrightarrow$K是MS-IVDS的一个信任分布最优尺度组合.

性质8  在不协调MS-IVDS=(U，C∪{d})中，记θ∈[0, 1]，K∈ $\mathcal{L}$，U/R_d={D₁，…，D_r}. 任取一个θ值，得到MS-IVDS的最优尺度组合，用集合K^*表示K^*={K₁，…，K_w，…，K_W}，比最优尺度组合K_w粗的所有尺度组合表示Crude(K_w)={K_w1，K_w2，…，K_wp}，依据属性集C^K构造的关系矩阵用A^K表示，A^K中每一个元素表示为$\alpha_{s t}^{A^K}, A_w=\left\{A^{K_0}, A^{K_w}, A^{\text {Crude }\left(K_w\right)}\right\}$.

1) 如果

(s，t=1，2，…，m)，则K_w保持是MS-IVDS的一个最优尺度组合.

2) 如果

则K^*中的任一个尺度组合也保持是MS-IVDS的最优尺度组合.

(下面保持概率分布协调，获取最优尺度组合).

证  任取一个θ值，经过算法1获取MS-IVDS中的最优尺度组合，用K^*={K₁，…，K_w，…，K_W}表示. 对象x_s关于尺度组合K₀，K_w以及比K_w粗的所有尺度组合Crude(K_w)分别关于决策类U/R_d的概率分布值为$\mu _{{C^{{K_0}}}}^\theta \left( {{x_s}} \right) = \left\{ {v_{{C^{{K_0}}}}^1,v_{{C^{{K_0}}}}^2, \cdots ,v_{{C^{{K_0}}}}^r} \right\}$，s=1，2，…，n.

根据定义14，对任意x_s∈U，$\mu _{{C^{{K_0}}}}^\theta $(x_s)= $\mu _{{C^{{K_w}}}}^\theta $(x_s). 同时，存在对象使得比K_w粗的任一个尺度组合与最细尺度组合K₀对应决策系统的概率分布值不相等. 在概率分布定义中$D\left[D_h / S_{C^K}^\theta\left(x_s\right)\right]=\frac{\left|D_h \cap S_{C^K}^\theta\left(x_s\right)\right|}{\left|S_{C^K}^\theta\left(x_s\right)\right|}$，$D\left[D_h / S_{C^K}^\theta\left(x_s\right)\right]$的取值随D_h与$S_{C^K}^\theta$(x_s)中元素变化而变化，h=1，2，…，r，s=1，2，…，m. 而θ的变化会改变$S_{C^K}^\theta$(x_s)中元素，不会改变D_h中元素. 可知，$S_{C^K}^\theta$(x_s)中的元素满足J_C^K(x_s，x_t)≥θ，x_s，x_t∈U.

1) 若存在${x_{\tilde t}}$使得J_C^K(x_s，${x_{\tilde t}}$) < θ，那么，$\widetilde{\theta}$取J_C^K(x_s，x_t)中最小值与J_C^K(x_s，${x_{\tilde t}}$)中最大值之间的数时，不会改变$S_{C^K}^\theta$(x_s)中的元素(在下面用α_st^K表示J_C^K(x_s，x_t)). 设$\beta^K=\left\{\alpha_{s t}^K: \alpha_{s t}^K \geqslant \theta\right\}$，${\tilde \beta ^K} = \left\{ {\alpha _{s\tilde t}^K:\left. {\alpha _{s\tilde t}^K < \theta } \right\}} \right.$取${\bar \theta _{{C^K}}} = \min {\beta ^K} = \min \left\{ {\alpha _{st}^K:\alpha _{st}^K \ge \theta } \right\}$，${\underline \theta _{{C^K}}} = \max {\tilde \beta ^K} = \max \left\{ {\alpha _{s\tilde t}^K:\alpha _{s\tilde t}^K < \theta } \right\}$. 因而，$\widetilde{\theta}$取(${\underline \theta _{{C^K}}}$，${\overline \theta _{{C^K}}}$]中的值时不会改变$S_{C^K}^\theta$(x_s)中的元素，$\mu_{C^K}^\theta$(x_s)的取值也不发生改变. 那么，尺度组合K₀，K_w以及Crude(K_w)分别可以得到关于θ的取值，$\left( {{{\underline \theta }_{{C^{{K_0}}}}},{{\bar \theta }_{{C^{{K_0}}}}}} \right]$、$\left( {{{\underline \theta }_{{C^{{K_w}}}}},{{\bar \theta }_{{C^{{K_w}}}}}} \right]$、$\left( {{{\underline \theta }_C}{\mathop{\rm Crude}\nolimits} \left( {{K_w}} \right), {{\bar \theta }_C}{\mathop{\rm Crude}\nolimits} \left( {{K_w}} \right)} \right]$，将这3个区间取交运算后得到区间范围(θ，θ ]. 在这里，$\left( {{{\underline \theta }_C}{\mathop{\rm Crude}\nolimits} \left( {{K_w}} \right), {{\bar \theta }_C}{\mathop{\rm Crude}\nolimits} \left( {{K_w}} \right)} \right]\left( {{{\underline \theta }_{{C^{K_{w_{_1}}}}}}, {{\bar \theta }_{{C^{{K_{{w_1}}}}}}}} \right]$∩…∩(${\underline \theta _C}_{^{{K_{{w_p}}}}}, {\overline \theta _C}_{^{{K_{{w_p}}}}}$].

由上证明过程，$\tilde{\theta} \in(\underline{\theta}, \bar{\theta}]$时，可得

因而，可得

再根据，$\mu _{{C^{{K_0}}}}^\theta \left( {{x_s}} \right) = \mu _{{C^{{K_w}}}}^\theta \left( {{x_s}} \right)$，推出

可知取θ时，存在对象，使得比K_w粗的任一个尺度组合与最细尺度组合K₀对应决策系统的概率分布值不相等，因而，取$\tilde{\theta}$也成立. 依据定义14，K_w保持是MS-IVDS的一个最优尺度组合.

2) 若不存在${x_{\tilde t}}$∈U，使得J(x_s，${x_{\tilde t}}$) < θ，那么可得0到J_C^K(x_s，x_t)的最小值之间，不会改变$S_{C^K}^\theta$(x_s)中的元素. 同1)证明过程，尺度组合K₀，K_w以及Crude(K_w)也分别可以得到一个区间使得$S_{C_0^K}^\theta \left( {{x_s}} \right)$、$S_{{C^{{K_w}}}}^\theta \left( {{x_s}} \right)$、$S_C^\theta \operatorname{Crude}\left(K_w\right)$(s=1，2，…，n)中元素不发生改变. 然后取交运算，也可以得到一个区间，θ在这个区间范围内变化，K_w保持是MS-IVDS的一个最优尺度组合.

2) 由1)知$\tilde{\theta} \in\left(\max \left\{\min\limits _{A \in A_w}\left\{\alpha_{s t}^A, \theta\right\}\right\}\right.$，$\left.\min \left\{\max\limits _{A \in A_w}\left\{\alpha_{s t}^A, \theta\right\}\right\}\right]$，K^*中的K_w保持是MS-IVDS的一个最优尺度组合. 若K^*中的任一个尺度组合也保持是MS-IVDS的最优尺度组合，则需遍历K^*中每一个元素，即

注2   在性质8证明过程中，当$\tilde{\theta} \in(\underline{\theta}, \bar{\theta}]$时，可得

说明$\tilde \theta \in (\underline \theta ,\bar \theta ]$时，可以保证每一对象关于尺度组合K₀，K_w以及Crude(K_w)对应条件属性集形成的相容类与取θ时一致. 因此，性质8也可以保持最大分布协调、上分布协调、下分布协调、似然分布协调、信任分布协调得到关于θ的区间范围.

文献[6]中，分别讨论了在协调与不协调广义多尺度决策系统中获得的最优尺度组合之间的关系. 在协调背景下，保持信任分布协调、似然分布协调、下分布协调、上分布协调获取最优尺度组合相同；在不协调背景下，保持似然分布协调与保持上分布协调获得的最优尺度组合相同、保持信任分布协调与保持下分布协调获得的最优尺度组合相同. 在本节内容中，当阈值θ∈(${\theta _{{C^{{K_0}}}}}$，1)时，对应广义多尺度区间值决策系统为协调的，此时保持上述四种分布获取最优尺度组合也均是相同的；当θ∈[0，${\tilde \theta _{{C^{{K_0}}}}}$时，广义多尺度区间值决策系统可以对应协调的也可以对应不协调的情形，而此时保持似然分布协调与保持上分布协调获得的最优尺度组合相同、保持信任分布协调与保持下分布协调获得的最优尺度组合也相同. 不同之处：任取一个θ值可以找到关于该值的区间范围，阈值在区间内变化最优尺度组合不发生改变.

基于文献[26]中，依据西瓜属性判断西瓜好坏的背景，构造了一个广义多尺度区间值决策系统MS-IVDS=(U，C∪{d}). 其中，对象集U={x₁，…，x₅}，表示5种不同品种的西瓜，C={a₁，a₂，a₃}为条件属性集，分别表示西瓜的色泽、根蒂、纹理. d表示专家判断这5种西瓜是否是好瓜，0代表不是好瓜、1代表是好瓜(表 2).

条件属性的尺度粗细表现在不同数量的西瓜样本，检测样本数量越多尺度越细，样本数量越少尺度越粗. 条件属性取值取决于西瓜在某个特征上好的可能性程度. 在概率论中，固定置信水平，检测样本数量越多，所能提供的信息就越多，但耗费人力、物力就越多. 因此，可以利用挑选最优尺度组合的思想，在得到相同信息量的前提下，尽可能采用较少的西瓜样本.

当θ=0.6时，依据算法1得到MS-IVDS的最优尺度组合(a₁²，a₂¹，a₃³)，(a₁¹，a₂²，a₃¹).

通过最优尺度组合的结果可以发现，在保持概率分布一致的前提下，检测西瓜根蒂的数量最多，色泽和纹理的数量最少时，与分别检测这3种属性取最多西瓜数量时的信息量相同. 或者，检测色泽和纹理的西瓜数量最多，西瓜根蒂的数量最少时，也可以得到相同的信息量.

依据推论1，当θ∈[0，0.13]时，MS-IVDS获得的信任分布最优尺度组合与下分布最优尺度组合相同，似然分布最优尺度组合与上分布最优尺度组合相同. 当θ∈(0.68，1)时，获得的上分布、下分布、信任分布、似然分布最优尺度组合相同.

依据性质8.1可以得到θ∈(0.59，0.68]时，(a₁²，a₂¹，a₃³)保持是MS-IVDS的一个概率分布最优尺度组合. θ∈(0.59，0.61]，(a₁¹，a₂²，a₃¹)也保持是MS-IVDS的一个概率分布最优尺度组合. 依据性质8.2，θ∈(0.59，0.61]时，这两个尺度组合均是MS-IVDS的概率分布最优尺度组合.

多尺度信息系统是单尺度信息系统的扩展，它可以从不同角度、不同层次描述现象、分析问题，呈现出从细粒度到粗粒度的一种规律. 本研究基于广义多尺度信息系统，定义了广义多尺度区间值信息系统的概念并构造了θ-相容关系. 讨论了θ的取值范围，使关于MS-IVDS的4种分布协调性相互等价. 证明了任取一个θ值，可以找到关于θ的区间范围，θ在区间范围内变化，最优尺度组合不发生改变. 在未来的工作中需要考虑如何找到θ的取值范围，使尺度组合具有粗细关系时，θ-相容类具有包含关系.