为了使结果的证明过程简单明了，先给出下面的引理.

引理1^[16-17]   令y≥0，p≥q≥0和p≠0，则对任意K>0有关系式

引理2   假设函数u(t)，a(t)，b(t)，c(t)，d(t)都是定义在[t₀，∞)上的非负连续函数，且满足不等式

如果u(0)>0，(exp(-(ln(u(0)+∫_t0^ta(s)ds)-∫_t0^t b(s)ds))- ∫_t0^tc(s)ds)²-∫_t0^t2d(s)ds>0，则有未知函数u(t)的估计式

证   对于任意非负实数T∈[t₀，∞)，由(11)式可以看出

由(13)式右端定义函数v(t)，即

由定义式(14)可看出

再求函数v(t)的导函数，利用(15)式得

把不等式(16)两边同时除以v(t)得到

先把(17)式中的t替换成s，然后两边关于s从t₀到t积分，得到

将不等式(18)的右端定义为函数w(t)，即

由(18)式和(19)式可以看出w(t)是非负连续增函数，且满足

求函数w(t)的导函数得到

不等式(21)两边同除以-exp(w(t))得到

然后把不等式(22)中的t改写成s，两边再关于s从0到t积分，得

将不等式(23)的右端定义为函数z(t)，即

由(23)式和(24)式可以看出z(t)是连续减函数，且满足

求函数z(t)的导函数得到

不等式(26)两边同乘z(t)得到

然后把不等式(27)中的t改写成s，两边再关于s从0到t积分，得

综合(15)，(20)，(25)和(28)式推出

在(29)式中令t=T，得到

因为T是任意的，可以把(30)式写成

这正是所要证明的估计式(12).

定理1   假设q(t)，p(t)，f(t)，g(t)，h(t)都是定义在[t₀，∞)上的非负连续已知函数，$\theta=\frac{\theta_{2}}{\theta_{1}} <1$是正常数，u(t)和$\dot{u}(t)$是定义在[t₀，∞)上的满足不等式(9)的非负未知函数，u(t₀)＞0.对于任意t∈[t₀，∞)，如果

则对于任意K>0，有未知函数u(t)的估计式

其中

证   由不等式(9)定义函数z(t)

由(9)式和(41)式可看出z(t)是非减函数，且有

求(41)式定义的函数z(t)的导函数

把(42)式代入(43)式得到

再定义函数r(t)

从定义式(45)可以看出r(t)是非减函数，且有

把(45)式和(46)式代入(44)式得

再求函数r(t)的导函数得

再把(46)式和(47)式代入(48)式得

为了进一步简化，再定义函数m(t)

从定义式(50)可以看出m(t)是非减函数，且

求函数m(t)的导函数，利用(49)，(50)和(51)式得

对于任意K>0，利用引理1可以推出

把(53)式代入(52)式可得

其中：A(t)，B(t)，C(t)，D(t)由定理1中的(37)，(38)，(39)和(40)式定义.先把不等式(54)中的t改写成s，然后对不等式两边关于s从t₀到t积分，得到

利用(42)，(46)，(51)式将(55)式改写成

由于(56)式具有引理2中不等式(11)的形式，且相关函数满足引理2中的相应条件，我们利用引理2就可以得到不等式(56)中m的估计

其中M(t)由定理1中的(36)式定义.把(51)式和(57)式代入(49)式可得

由(42)，(46)和(58)式得到

其中R(t)由定理1中(35)式定义.把(59)式代入(44)式可得

即

(61) 式两边同乘exp (-∫_t0^t(p(s)+f(s))ds得

对(62)式两边积分，利用(42)式得到

其中Z(t)由定理(1)中(34)式定义.由(63)式得到定理(1)所要求的u(t)估计式(33).

本文结果可以用来研究相应类型的微分-积分方程解的性质.考虑微分-积分方程

推论1   假设方程(64)中|c|是正常数，q(t)，p(t)和定理1中q(t)，p(t)的定义相同. F∈C($\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}, \mathbb{R}$)满足下列条件

其中：f(t)，g(t)，h(t)和θ如定理1中的定义.假设|c|，q(t)，p(t)，f(t)，g(t)，h(t)和θ满足

如果x(t)是方程(64)的解，则对于任意K>0，方程(64)解的模的估计式

其中

A(t)，B(t)，C(t)，D(t)由定理1中的(37)，(38)，(39)和(40)式定义.

证   利用条件(65)，由方程(64)推出

由于式(67)具有不等式(9)的形式，且满足定理1中的相应条件，利用定理1就可以得到所求的方程解的模的估计式(66).