人类主要是通过接触动物或者环境中的布鲁氏菌而被感染，而且恢复之后不产生持久免疫，因此，本文将人群分为两类：易感者S_h(t)与可传染者I_h(t).动物种群一般分为3类：易感者S(t)、潜伏者E(t)、可传染者I(t).总种群用N(t)表示，则有N(t)=S(t)+E(t)+I(t). M表示通过疾病流行和媒体报道而产生的有效信息的数量.易感的人和动物虽然也可通过摄取环境中的布鲁氏菌而被传染，但本文重点研究检测行为对布病传播的影响，所以本文忽略环境感染.虽然血清学检测会出现假阳性(易感动物检测呈阳性)，但动物检测呈阳性还要再进行确认检测，假阳性率是比较低的，这里不考虑假阳性的情形. ϕ表示疾病意识引起的检测比率.本文以染病人数作为检测信息，并假定单位信息引起对动物种群检测的数量是$ \phi N$，所以检测到有效的染病动物为$ \phi N\frac{I}{N}M = \phi IM$.由于布病在中国是自然疫源疾病，而且国家有固定的监测点，因此，假定信息量有一个固定的输入Λ.模型建立如下：

其中：A₁表示人的补充率；β₁表示动物对人的传染率；μ₁表示人的自然死亡率；γ表示人的恢复率；A₂表示动物的补充率；β₂表示动物之间的传染率；μ₂表示动物的淘汰率；σ表示潜伏期动物的转移率；m表示染病动物的真阳性率；对国家的固定检测点，信息量以Λ速率增加，η是染病人数转移成有效信息的转移率；d表示信息量的衰减率.

模型(1)的可行域为$ \mathit{\Omega}=\left\{\left(S_{h}, I_{h}, S, E, I, M\right) | S_{h} \geqslant 0, I_{h} \geqslant 0, S \geqslant 0, E \geqslant 0, I \geqslant 0, S_{h}+I_{h} \leqslant \frac{A_{1}}{\mu_{1}}\right.$, $ \left.S+E+I \leqslant \frac{A_{2}}{\mu_{2}}, \frac{\mathit{\Lambda}}{d} \leqslant M \leqslant \frac{1}{d}\left(\mathit{\Lambda}+\eta \frac{A_{1}}{\mu_{1}}\right)\right\}$.

模型(1)有唯一的无病平衡点$ \boldsymbol{E}_{0}=\left(S_{h}^{0}, I_{h}^{0}, S^{0}, E^{0}, I^{0}, M^{0}\right)=\left(\frac{A_{1}}{\mu_{1}}, 0, \frac{A_{2}}{\mu_{2}}, 0, 0, \frac{\mathit{\Lambda}}{d}\right)$.根据下一代矩阵法^[11]，模型的基本再生数为

为求模型(1)的地方病平衡点的存在性，令模型(1)的右端为0，则有

且I^*是如下二次方程的正根

其中

则有：当R₀≤1时，方程(3)没有正根，即模型(1)不存在正平衡点；当R₀>1时，方程(3)仅有一个正根I^*，即模型(1)存在唯一正平衡点$\boldsymbol{E}_{*}=\left(S_{h}^{*}, I_{h}^{*}, S^{*}, E^{*}, I^{*}, M^{*}\right) $，其中

基于以上讨论，可得以下结论：

定理1   当R₀≤1时，模型(1)有一个无病平衡点E₀；当R₀>1时，模型(1)存在唯一正平衡点E_*.

定理2   如果R₀≤1时，模型(1)的无病平衡点E₀在Ω内是全局渐近稳定的；如果R₀>1时，无病平衡点是不稳定的.

证  模型(1)在无病平衡点E₀处的Jacobian矩阵为：

矩阵J (E₀)的特征方程为：

其中

由此可知λ₁=－μ₁ < 0，λ₂=－μ₁－γ < 0，λ₃=－μ₂ < 0，λ₄=－d < 0，由韦达定理可知：当R₀≤1时，λ₅λ₆>0，λ₅+λ₆ < 0，所以λ₅ < 0，λ₆ < 0，模型(1)的无病平衡点是局部渐近稳定的；当R₀>1时，这里存在正根，即无病平衡点不稳定.

构造Lyapunov函数：

L沿着模型(1)的解的轨线方程求导：

1) 当R₀ < 1时，L′ < 0.

2) 当R₀≥1时，有S=S⁰，I=I⁰或S=S⁰，M=M⁰.

对于情况1)：I′=σE≡0，意味着E=0；$ I_{h}^{\prime}=-\mu_{1} I_{h}-\gamma I_{h}$，意味着$ \lim \limits_{t \rightarrow \infty} I_{h}=0$，从而有S_h=S_h⁰；M′=Λ－dM，意味着$ \lim \limits_{t \rightarrow \infty} M=M^{0}$，因此让L′=0的集合只包含无病平衡点.对于情况2)，由M=M⁰得出$ I_{h}=0 . \quad I_{h}^{\prime}=\beta_{1} S_{h} I \equiv 0$，得出I=0，同前一种情况.

因此，在这两种情况下，L′=0的最大不变集包含唯一的点E₀，由LaSalle不变集原理^[12]可知，当R₀ < 1时，无病平衡点在Ω内是全局渐近稳定的.

定理3   对于模型(1)，R₀>1，疾病是一致持续的，即在Ω内，存在一个正数ε，$\mathop {\lim \inf }\limits_{t \to \infty } (E(t), I(t)) \ge \left( {\varepsilon , \varepsilon } \right) $.

证   定义

为了证明疾病的一致持续性，在$ \mathop {\Omega} \limits^ {\circ} $中，说明模型(1)的解与$ \partial \mathit{\Omega} $的交集是空集.

首先，容易看出Ω是正不变集，$ \partial \mathit{\Omega} $是闭集.根据第1个方程有

这意味着

于是得出结论

根据模型(1)的第3个方程有

意味着

于是得出结论

同理根据模型(1)的第6个方程有

因此，模型(1)是点耗散.

设

满足模型(1)且

我们现在证明$ {M_\partial } = \left\{ {\left( {{S_h}(t), 0, S(t), 0, 0, M(t)} \right):{S_h} \le \frac{{{A_1}}}{{{\mu _1}}}, S \le \frac{{{A_2}}}{{{\mu _2}}}, M \le \frac{1}{d}\left( {\mathit{\Lambda} + \eta \frac{{{A_1}}}{{{\mu _1}}}} \right)} \right\}$.假设对所有t≥0，恒有$ \left(S_{h}(t), I_{h}(t), S(t), E(t), I(t), M(t)\right) \in M_{\partial}$.这就证明对所有t≥0，有E(t)=0和I(t)=0.假设不成立，即存在t₀≥0，可分以下2种情况讨论.

1) E(t₀)=0，I(t₀)>0，有

由此可见，存在δ>0，当t₀≤t≤t₀+δ时，有E′(t)>0.这说明t₀≤t≤t₀+δ时，$ \left( {{S_h}(t), {I_h}(t), S(t)} \right., E(t), I(t), M(t)) \notin {M_\partial }$，出现了矛盾.

2) E(t)>0，I(t₀)=0，有

由此可见，存在δ>0，当t₀≤t≤t₀+δ时，有I′(t₀)>0.这说明t₀≤t≤t₀+δ时，$\left( {{S_h}(t), {I_h}(t), S(t)} \right., E(t), I(t), M(t)) \notin {M_\partial } $，出现了矛盾.

这就证明了${M_\partial } = \left\{ {\left( {{S_h}(t), 0, S(t), 0, 0, M(t)} \right):{S_h}(t) \le \frac{{{A_1}}}{{{\mu _1}}}, S \le \frac{{{A_2}}}{{{\mu _2}}}, M \le \frac{1}{d}\left( {\mathit{\Lambda} + \eta \frac{{{A_1}}}{{{\mu _1}}}} \right)} \right\} $.

无病平衡点E₀在${M_\partial } $中是唯一的平衡点，下面证明当R₀>1时，${W^s}\left( {{\mathit{\boldsymbol{E}}_0}} \right) \cap \mathop {\Omega} \limits^ {\circ} = \mathit{\emptyset} $成立.现在考虑模型(1)的几个方程

由R₀>1，容易得出$\beta_{2} S^{0} \sigma>\left(\mu_{2}+m \phi M^{0}\right)\left(\mu_{2}+\sigma\right) $.

选足够小的ε>0，得到

通过直接计算，对于足够小的ε₁>0，E < ε₁和I < ε₁，有

考虑模型(1)的任意正解$ \left(S_{h}(t), I_{h}(t), S(t), E(t), I(t), M(t)\right)$.假定

存在T>0，对所有的t≥T，有E(t)≤ε₁，I(t)≤ε₁.从模型(1)的第3个方程得到，对t≥T，有

对充分小的ε₁>0，存在T₁>0，对所有的t≥T+T₁，有

考虑一个辅助系统

注意到辅助方程关于E和I的系数矩阵有正的非对角元素.由式(6)意味着矩阵有一个正的特征值和正的特征向量ν，很容易看到当t→∞时模型(8)的任意正解趋于无穷.通过比较原则，当t→∞时，(E(t)，I(t))→(0，∞).这意味着对所有的t≥T+T₁，有E′(t)=β₂S(t)I(t)>0.这与对所有的t≥T有E(t)≤ε₁，I(t)≤ε₁矛盾.所以有E₀在${M_\partial } $是全局稳定的，而且E₀是孤立不变集和非周期的.根据文献[13]可以得到在$\mathop {\Omega} \limits^ {\circ} $中，模型(1)的解是一致持续的.说明当R₀>1时，疾病是一致持续的.

对动物布病的检测可以有效控制其流行，但一般需要很大的控制力度，这关系到检测扑杀处理的费用，包括检测试剂、检测过程、扑杀带来的损失等.为了在达到控制目的的同时降低控制成本，利用最优控制理论对疫情进行时变控制.

在模型(1)中，为了分析动物布鲁氏菌病检测扑杀所需的最佳策略，修改(1)式引入依赖时间的控制量μ₁(t)和μ₂(t)^[14]，如下式所示：

控制量μ₁(t)(0≤μ₁(t)≤1)通过提高有效信息的数量来提高兽群中布病检测扑杀效率.控制量μ₂(t)(0≤μ₂(t)≤1，0表示无控制作用，1表示100%的控制作用，即所有受感染动物将通过检测从兽群中清除)模拟了检测并清除种群中受感染动物所需的努力.通过扑杀受感染的动物来控制布鲁氏菌病，需要检测动物是否受感染，这就需要业主的合作和政府适当的补偿.为了成功控制布鲁氏菌病，政府部门必须适当规划、协调和提供资源.

目标函数是将一个兽群中受感染动物(I)的数量降到最低，同时将与控制量μ₁(t)和μ₂(t)相关的成本尽可能降到最低. U={(μ₁，μ₂)|μ₁，μ₂在[0，T]上是勒贝格可测的}.因此，目标函数J包含一组可行的控制量μ₁(t)和μ₂(t)且满足有限的时间区间[0，T](T>0)，即

其中B₁和B₂是对应的控制措施成本(权重因子).

因此，最优控制问题可以描述为

为了确定模型(9)的最优控制解，首先保证其存在最优控制解.通过以下定理给出：

定理4   考虑模型(9)的控制问题，存在一个最优控制$ \overrightarrow{\boldsymbol{\mu}}^{*}=\left(\mu_{1}^{*}, \mu_{2}^{*}\right)$，其中$\mu_{1}^{*}, \mu_{2}^{*} \in U $，使得

证   这里应用最优存在理论^[15]来证明这个定理.

(ⅰ)对任何控制变量μ₁，μ₂∈U和模型(9)的初始状态变量都是非空的；

(ⅱ)控制集U是闭集且是凸集；

(ⅲ)模型(9)的右边的线性函数满足初始条件，所以在控制集U上是有界的；

(ⅳ)目标函数(10)中的被积函数在控制集U上是凸集，且存在常数c₁，c₂>0使得

因为$I \geqslant 0, \frac{1}{2} B_{1} \mu_{1}^{2}+\frac{1}{2} B_{2} \mu_{2}^{2} \geqslant \frac{1}{2} \min \left\{B_{i}\right\}\|\mu\|^{2} $，所以取$ c_{1}=\frac{1}{2} \min \left\{B_{i}\right\}, c_{2}=2$可以满足(12)式.综上所述，模型(9)存在最优控制解.

由文献[16]导出了最优控制必须满足的必要条件.定义(11)式的哈密顿量H为

其中$ \lambda s_{h}, \lambda_{I_{h}}, \lambda_{S}, \lambda_{E}, \lambda_{I}$和λ_M是各状态的伴随变量.

通过对H各状态变量微分，可以得到各伴随变量的微分方程，即

从而得出

而且满足横截条件

通过求哈密顿方程(13)对各控制变量的偏导数可以得到导数等于零的控制点，从而有最优控制解，即

结合各控制量的边界条件，通过求解方程(16)得到

其中λ_I，λ_M可以通过解方程组(14)得到.

权重的真实值需要通过大量的实地调查和数据挖掘获得.在已知真实权重值的情况下，在目标函数中加入补助项可以改善计算结果.在研究中J中包含I(t)项不会对这个最优控制问题的总体结论产生重大影响，但对我们未来的控制问题很有帮助.

利用数值模拟的方法分析模型(1)在地方病平衡点E_*处的动力学性质.所取参数A₁=1，β₁=0.1，μ₁=0.06，γ=0.001，A₂=60，β₂=0.03，μ₂=0.3，σ=0.1，m=1，Λ=0.12，η=0.1，d=0.02.图 1是数值模拟图，其中：(a)，(c)，(e)分别表示ϕ值不同时关于I的时间序列图；(b)，(d)，(f)表示ϕ值不同时M和I的相图.图 1(a)是ϕ=0.03时关于I的时间序列图，曲线最后趋于一条直线，平衡点是全局稳定的；图 1(c)是ϕ=0.07时关于I的时间序列图，曲线产生周期性的震荡；图 1(d)中曲线最后趋于一个环，由此可知在这种情况下模型(1)在地方病平衡点E_*处会出现分支；图 1(e)是ϕ=0.12时关于I的时间序列图，周期解消失，曲线再次趋于一条直线.ϕ的值从小到大，周期解从无到有，然后再消失，说明检测比率的变化对模型的动力学有很大的影响，从而对疾病的控制起到极其重要的影响.对于模型(9)，由于没有进行实地的考察和调研，对权重因子没有一个有价值的估计，所以模拟的结果没有大的实用价值.

本文基于布病传播的具体特点，建立反映检测行为的动力学模型，通过分析这个模型，发现检测对模型的动力学性质有显著的影响.周期震荡行为的出现会严重影响防控措施的有效执行(例如疫病在周期运行的最低点，人们可能误认为疫病开始消失).因此，在对动物进行检测时，结合最优控制解，适当提高动物的检测比率，可使布病得到较好控制.