设(X, d)是度量空间，X的一切子集构成的集族记为2^X, X的一切非空有限子集构成的集族记为〈X〉, 对任意A∈〈X〉的元素个数记为|A|. 下面介绍最佳邻近点问题^[29].

设A是度量空间(X, d)的非空子集，映射f: $A \longrightarrow X$有不动点x∈A, 即满足f(x)=x, 等价地，可描述为d(x, f(x))=0. 所以若f在A上有不动点，则f(A)∩A≠Ø. 但是反之未必成立. 显然如果不动点方程f(x)=x无解，则对任意x∈A, 都有d(x, f(x)) > 0. 此时求解使得d(x, f(x))最小的点x∈A的问题称为最佳邻近点问题，也就是一个极小化优化问题，即求解 $\min\limits_{x \in A} d(x, f(x))$. 一般地，设A, B是度量空间(X, d)的两个非空子集，映射f: $A \longrightarrow B$决定了一个最佳邻近点问题是求x^*∈A, 使得d(x^*, f(x^*))= $\min\limits_{x \in A} d(x, f(x))$, 等价地，可以描述为d(x^*, f(x^*))=d(A, B). 特别地，当d(A, B)=0时，x^*∈A为f在A上的不动点. 本文将研究抽象凸度量空间(X, d)的两个非空邻近对子集A, B之间的集值映射F: $A \longrightarrow 2^{B}$ 决定的最佳邻近点问题：求x^*∈A, 使得d(x^*, F(x^*))=d(A, B).

下面回顾抽象凸空间的相关概念^{[6, 7, 24-25]}.

定义1  若度量空间(X, d)的子集族C⊂2^X满足条件：

① Ø, X∈C;

② 对任意子集族D⊂C, 都有∩_A∈DA⊂C;

③ 对任意A∈C, ε > 0, 都有{x∈X: d(x, A) < ε}∈C, 则称度量空间(X, d)为抽象凸度量空间，记为(X, d, C); 则C称为度量空间(X, d)上的一个抽象凸结构，C中的元称为抽象凸集.

注1  对可缩集代替线性凸集的情形，文献[6-7]将抽象凸度量空间称之为l.c.空间. 当且仅当co_CA=A时，任意A⊂X为抽象凸集，其中co_CA=∩_A⊂B{B: B∈C} 表示集合A⊂X的抽象凸包.

定义2  如果对任意A={x₀, x₁, …, x_n}∈〈X〉, 存在连续映射f: Δ_N→co_CA(其中N={0, 1, …, n}), 使得对任意J⊂N, 都有f(Δ_J)⊂co_C{x_j: j∈J}成立. 其中Δ_N表示n+1维欧氏空间中的标准n单纯形. 此时称抽象凸度量空间(X, d, C)满足H0条件，或称(X, d, C)为满足H0条件的抽象凸度量空间.

下面两个定义在文献[27-29]的基础上改进得来.

定义3  设P, Q是抽象凸度量空间(X, d, C)的两非空子集，如果对任意(x, y)∈P×Q, 都存在(x^′, y^′)∈P×Q, 使得d(x, y^′)=d(x^′, y)=d(P, Q)成立，则称(P, Q)为邻近对. 进而若P, Q还是抽象凸集，则称(P, Q)为抽象凸邻近对.

定义4  设P, Q是抽象凸度量空间(X, d, C)的两非空子集，且(P, Q)为邻近对，称非自映射F: $P \longrightarrow 2^{Q}$是R-KKM映射，如果对任意{x₀, x₁, …, x_n}∈〈P〉, 都存在{y₀, y₁, …, y_n}∈〈Q〉满足条件：

使得对任意非空子集J⊂N都有：co_C{y_j: j∈J}⊂F({x_j: j∈J}).

注2  R-KKM映射的名称沿用自文献[29]. 显然当映射F: $P \longrightarrow 2^{Q}$是R-KKM映射时，对任意x∈P, 都有d(x, F(x))=d(P, Q), 而且当P=Q时，R-KKM映射就是KKM映射.

定理1  设P, Q是满足H0条件的抽象凸度量空间(X, d, C)的两非空子集，且(P, Q)为邻近对，非自映射F: $P \longrightarrow 2^{Q}$是非空闭值R-KKM映射，则{F(x): x∈P}有有限交性质.

证  用反证法. 假设{F(x): x∈P}没有有限交性质，则存在{x₀, x₁, …, x_n}∈〈P〉, 使得 $\bigcap\limits_{i=0}^{n} F\left(x_{i}\right)=\varnothing$.

因为F是R-KKM映射，对{x₀, x₁, …, x_n}∈〈P〉, 存在{y₀, y₁, …, y_n}∈〈Q〉满足条件：

使得对任意非空子集J⊂N, 都有co_C{y_j: j∈J}⊂F({x_j: j∈J}).

记Y=co_C{y₀, y₁, …y_n}, 定义函数β: $Y \longrightarrow[0, 1]$为 $\beta_{i}(y)=\frac{d\left(y, F\left(x_{i}\right) \cap Y\right)}{\sum\limits_{i=0}^{n} d\left(y, F\left(x_{i}\right) \cap Y\right)} i=0, 1, \cdots , n $, ∀y∈Y.

由于 $\bigcap_{i=0}^{n} F\left(x_{i}\right)=\emptyset$, 所以有 $\sum\limits_{i=0}^{n} d\left(y, F\left(x_{i}\right) \bigcap Y\right)>0$, ∀y∈Y, 且β_i(y)≥0, i=0, 1, …, n, ∀y∈Y, 以及 $\sum\limits_{i=0}^{n} \beta_{i}(y)=1$. 于是定义映射g: $Y \longrightarrow \Delta_{n}$为 $g(y)=\sum\limits_{i=0}^{n} \beta_{i}(y) \boldsymbol{e}^{i}$, ∀y∈Y, 其中eⁱ表示第i个坐标分量为1而其它坐标分量为0的n+1维单位向量.

由H0条件知存在连续映射h: $\Delta_{n} \longrightarrow Y$, 使得对任意J⊂N, 都有h(Δ_J)⊂co_C{y_j: j∈J}.

于是连续复合映射 $g \circ h: \Delta_{n} \longrightarrow \Delta_{n}$存在不动点，即存在e∈Δ_n, 使得 $\boldsymbol{e}=g \circ h(\boldsymbol{e})$. 也即存在点y^*=h(e), 使得 $\boldsymbol{e}=g\left(y^{*}\right)=\sum\limits_{i=0}^{n} \beta_{i}\left(y^{*}\right) \boldsymbol{e}^{i}$.

记I(y^*)={i: β_i(y^*) > 0, i=0, 1, …, n}={i: d(y, F(x_i)∩Y) > 0, i=0, 1, …, n}. 从而对任意i∈I(y^*), 都有d(y, F(x_i)∩Y) > 0, 因此对任意i∈I(y^*), 都有y^*∉F(x_i)∩Y, 即y^*∉ ∪_i∈I(y^*)(F(x_i)∩Y).

另一方面有 $y^{*}=h(\boldsymbol{e})=h\left(g\left(y^{*}\right)\right)=h\left(\sum\limits_{i=0}^{n} \beta_{i}\left(y^{*}\right) \boldsymbol{e}^{i}\right)=h\left(\sum\limits_{i \in I\left(y^{*}\right)} \beta_{i}\left(y^{*}\right) \boldsymbol{e}^{i}\right) \subset c o_{C}\left\{y_{i}: i \in I\left(y^{*}\right)\right\}$.

因此y^*=h(e)⊂co_C{y_i: i∈I(y^*)}⊂∪_i∈I(y^*)(F(x_i)∩Y). 这就导致了矛盾. 定理得证.

定理2  设P, Q是满足H0条件的抽象凸度量空间(X, d, C)的两非空子集，且(P, Q)为邻近对，非自映射F: $P \longrightarrow 2^{Q}$是非空闭值R-KKM映射，且存在x∈P, 使得F(x)是紧集(或者存在某些x∈P, 使得F(x)的交是紧集), 则{F(x): x∈P}有任意交性质.

定义5  设(P, Q)是抽象凸度量空间(X, d, C)的两非空抽象凸邻近对，若

其中x_i∈P, y_i∈Q, N={0, 1, …, n}则有(co_C{x₀, x₁, …, x_n}, co_C{y₀, y₁, …, y_n})也是邻近对. 那么称该性质为抽象凸邻近对性质，简记为CPP性质.

注3  由CPP性质，显然有d(co_C{x₀, x₁, …, x_n}, co_C{y₀, y₁, …, y_n})=d(P, Q).

定理3  设P, Q是满足H0条件的抽象凸度量空间(X, d, C)的两非空紧抽象凸子集，且(P, Q)为满足CPP性质的邻近对，非自映射F: $P \longrightarrow 2^{Q}$是非空抽象凸值、非空开逆值R-KKM映射，则一定存在x^*∈P, 使得d(x^*, F(x^*))=d(P, Q)成立.

证  定义集值映射G: $Q \longrightarrow 2^{P}$为G(y)=P\F^-1(y), ∀y∈Q.

若存在y₀∈Q₀, 使得G(y₀)=Ø, 则F^-1(y₀)⊃P, 于是对任意x∈P, 都有y₀∈F(x). 由y₀∈Q及邻近对条件可知存在x₀∈P, 使得d(x₀, y₀)=d(P, Q).

特殊地，当y₀∈F(x₀)时，d(P, Q)≤d(x₀, F(x₀))≤d(x₀, y₀)=d(P, Q), 即x₀是P上的最佳邻近点.

若对任意y∈Q, 都有G(y)≠Ø, 则由F满足的条件有G为非空闭值集值映射.

又因为∪_y∈QF^-1(y)是P的开覆盖，所以有

由定理2知G不是R-KKM映射，则存在{x₀, x₁, …, x_n}∈〈P〉, 对任意{y₀, y₁, …, y_n}∈〈Q〉, 满足条件d(x_j, y_j)=d(P, Q), ∀j∈N={0, 1, …, n}, 都存在非空子集J⊂N, 使得

为了叙述方便，不妨设J=N, 使得 $c o_{C}\left\{x_{j}: j \in N\right\} \not \subset G\left(\left\{y_{j}: j \in N\right\}\right)=\bigcup\limits_{i=0}^{n} G\left(y_{i}\right)$.

于是存在x^*∈co_C{x_i: i∈N}, 但是x^*∉∪_i∈NG(y_i), 从而x^*∈∩_i∈NF^-1(y_i). 所以对任意i∈N, 都有y_i∈F(x^*). 由F(x^*)是抽象凸，有co_C{y_i: i∈N}⊂F(x^*). 由CPP性质可知，存在点y^*∈co_C{y_i: i∈N}使得d(x^*, y^*)=d(P, Q).

因此d(P, Q)≤d(x^*, F(x^*))≤d(x^*, y^*)=d(P, Q), 即d(x^*, F(x^*))=d(P, Q). 得证.

定理4  设P是满足H0条件的抽象凸度量空间(X, d, C)的两个非空紧抽象凸子集，且(P, Q)为满足CPP性质的邻近对，映射F: $P \longrightarrow 2^{P}$是非空抽象凸值、开逆值的，则一定存在x^*∈P, 使得d(x^*, F(x^*))=0成立，即F存在不动点x^*∈P.

注4  本文在满足H0条件的抽象凸度量空间中建立了邻近对上的非自映射的KKM引理，作为应用证明了最佳邻近点的存在性. 该文将文献[29] 的结论推广到了抽象凸度量空间.