本文建立的阶段结构模型分为卵、幼年、成年3个阶段：卵孵化后成为幼年，未能成功孵化的卵死亡；部分幼年个体成长为成年个体，剩下的幼年个体死亡；成年个体的繁殖受Allee效应的影响，Allee效应作用下的繁殖率函数采用文献[5]给出的函数. 令x₁，x₂，x₃分别代表卵、幼年以及成年个体的数量；m₁，m₂分别为卵成长为幼年的转化率、幼年成长为成年的转化率；d₁，d₂，d₃分别为卵、幼年、成年个体的死亡率.$\frac{{Ab}}{{{{\left( {{x_3} - T} \right)}^2} + b}}$为Allee效应下的交配率函数，A，b，T为常参数，表示配对率在成年个体数量为T时达到最大值A，而函数形状受到b调节. 这种交配率函数在实际应用中非常重要，例如文献[8]研究沃尔巴克体在蚊子种群中传播时就采用这种出生率函数. 根据上面这些假设得到如下数学模型：

模型中的参数A，b，T，m₁，m₂，d₁，d₂，d₃均为为正实数.

容易知道系统(1)始终存在灭绝平衡点E₀=(0，0，0). 设

定理 1  当α＜T²时，系统(1)的灭绝平衡点E₀=(0，0，0)是渐近稳定的；当α>T²时，系统(1)的灭绝平衡点E₀=(0，0，0)是不稳定的；进而当α＜0时，系统(1)的灭绝平衡点E₀=(0，0，0)是全局渐近稳定的.

证  计算系统(1)在E₀处的Jacobian矩阵得

计算得矩阵J₀的特征方程为

其中：

注意到a₃>0的条件为α＜T². 又有

则由Routh-Hurwitz稳定性判据可知，当α＜T²时特征方程(2)的所有根均具有负实部，从而E₀是局部渐近稳定的.

下面证明当α＜0时E₀是全局稳定的. 构造如下Lyapunov函数：

V₀(t)沿着系统(1)解的导数为

由于

容易看出当α＜0时，

并且这个式子成为等式当且仅当x₁(t)≡0，x₂(t)≡0，x₃(t)≡0. 由Lyapunov-LaSalle不变原理可知，当α＜0时E₀是全局渐近稳定的.

容易得到系统(1)只存在一个正平衡点和两个正平衡点的条件如下：

1) 当α>T²时，系统(1)存在唯一的正平衡点E₁=(x₁₁^*，x₁₂^*，x₁₃^*)，其中

2) 当且仅当0＜α＜T²时，系统(1)存在两个正平衡点E₁=(x₁₁^*，x₁₂^*，x₁₃^*)和E₂=(x₂₁^*，x₂₂^*，x₂₃^*)，其中

当系统(1)只存在唯一的正平衡点E₁时，其局部稳定性由下面定理描述.

定理 2  当α>T²时，系统(1)的唯一正平衡点E₁是局部渐近稳定的.

证  系统在E₁处的特征方程为

其中

利用x₁₃^*=T+$\sqrt a $，化简得到

直接计算得

由于α>T²，则

所以Δ₂>0. 注意到b₁，b₂，b₃>0. 利用Routh-Hurwitz稳定性判据知道特征方程(3)的所有根均具有负实部，因而E₁局部渐近稳定.

当系统(1)的两个正平衡点E₁和E₂同时存在时，设

有如下定理：

定理 3  设0＜α＜T². 则有：

(i) 当$\sqrt a $＜T＜T^*时，E₁局部渐近稳定；当T>T^*时，E₁不稳定；系统(1)在T=T^*处产生Hopf分支；

(ii) E₂不稳定.

证  (i) 当两个正平衡点同时存在时，系统(1)在E₁处的特征方程同定理2证明中E₁的特征方程，因此，b₃，b₂，b₁>0. 不同的是，此时是在条件0＜α＜T²下，不能判断出Δ₂=b₁b₂-b₃的符号. 为了探讨Δ₂的符号，令Δ₂=0，可以解出T关于其他参数的表达式得T=T^*. 不难证明：T^*>$\sqrt a $；当$\sqrt a $＜T＜T^*时，Δ₂>0；当T^*＜T时，Δ₂＜0. 于是由文献[9]知系统(1)在T=T^*处产生Hopf分支. 再利用Routh-Hurwitz稳定性判据可知E₁的稳定性.

(ii) 系统(1)在E₂处的特征方程为

其中

注意x₂₃^*=T-$\sqrt a $，而T>$\sqrt a $，因此化简得到

而c₂，c₁>0，因此特征方程(4)存在具有正实部的根，所以E₂不稳定.

图 1给出了系统(1)平衡点关于分支参数T的分支曲线. 其中参数值为：b=0.9；A=20；m₁=0.85；m₂=0.85；d₁=0.2；d₂=0.14；d₃=0.12. 虚线代表不稳定，实线代表稳定. 从图 1可以看出，随着分支参数T的变化，正平衡点的个数由一个变为两个，并且平衡点的稳定性也随之改变. 当一个正平衡点存在时，灭绝平衡点是不稳定的. 当有两个平衡点时，灭绝平衡点是稳定的. 小的正平衡点始终是不稳定的，大的正平衡点始终是稳定的.

图 2给出了当Δ₂＜0时出现稳定的周期解和稳定的绝灭平衡点双稳定现象. 粗实线和虚线分别是大、小正平衡点. b=3；A=10；T=180；m₁=0.85；m₂=0.85；d₁=0.25；d₂=0.14；d₃=0.12.

下面讨论当α>T²时，系统(1)唯一正平衡点E₁的全局稳定性. 首先考虑下面的系统(5)：

其中，

定理 4  假设

则系统(1)的唯一正平衡点E₁是全局稳定的.

证  可以知道此时系统(5)有唯一的正平衡点E₁，且该平衡点处于函数g严格单调上升部分. 因而系统(5)与系统(1)在绝灭平衡点E₀=(0，0，0)和生存平衡点E₁处有着相同的Jacobian矩阵. 于是由定理1的证明知道系统(5)在E₀=(0，0，0)的Jacobian矩阵有一个正特征值，系统(5)的正平衡点E₁是渐近稳定的.

注意到

因此g′(x₃)≥0. 从而模型(5)是一个合作系统. 进而选取充分大的正数α₁，α₂，α₃使得

容易看出，系统(5)在(α₁，α₂，α₃)处满足：

由合作系统的性质^[10]知，从原点附近出发的正解将单调上升趋向于E₁，而从(α₁，α₂，α₃)出发的解将单调减趋向于E₁. 故系统(5)的唯一正平衡点E₁是全局稳定的. 再由比较定理^[11]，当t充分大后，系统(1)的解(x₁(t)，x₂(t)，x₃(t))满足

其中ε是充分小的正数. 而限制在这个区域上的系统(1)是合作系统. 由于系统(1)在E₀=(0，0，0)的Jacobian矩阵有一个正特征值，从原点附近出发的正解将单调上升趋向于E₁^[10]. 再一次利用比较定理就可以断定E₁是全局稳定的.