给出模型如下：

先对模型的参数作一些假设.

(H1) 对∀φ∈[0，∞)，g(φ)>0且连续可微.

(H2) 对∀φ∈[0，∞)，v(φ)>0且连续可微.

(H3) 对∀φ∈[0，∞)，μ(φ)>0且连续可微.

(H4) 对∀φ∈[0，∞)，β(φ)>0连续可微且有界，即β(φ(t))≤β_M.

(H5) J(a_max，t)(>0)∈L^∞[0，T].

(H6) J₀(a)(>0)∈L¹[0，a_max]，A₀(x)(>0)∈L¹[x_min，x_max].

我们可以通过特征线法^[4-5]求出模型(1)J(a，t)，A(x，t)的解析表达式为

其中J，A的特征线由下列常微分方程组给出

由方程组(6)可解出a=t+c，进而得到(2)式与(3)式，对于方程组(6)第2式由(H1)中关于g>0的假设可知，x关于t是严格单增的，从而方程组(6)第2式对于任意初值(t₀，x₀)有唯一解X(t；t₀，x₀)，且对应有唯一反函数Γ(x；x₀，t₀)，而(t，X(t；0，x_min))则表示一条过点(0，x_min)且将平面分为两部分的特征线，因此结合初边值条件可得到(4)式与(5)式. 再对(2)-(3)式与(4)-(5)式分别关于a与x进行积分，得到如下关于φ(t)的表达式：

在(7)式的右端作两次变量代换：x→η(X(t；η，x_min)=x，即η=Γ(x_min；x，t))，以及x→ξ：=X(0；t，x). 因此，如果φ(t)是(7)式的非负连续解，则(1)式有连续解.

由于已经建立(1)式与(7)式的对应关系，因此要研究原模型解的存在唯一性，只需要关注问题(7)的可解性. 首先令K>‖J₀‖_L¹+‖A₀‖_L¹=$\int_0^{{a_{\max }}} {{J_0}} \left( a \right){\rm{d}}a + \int_{{x_{\min }}}^{{x_{\max }}} {{A_0}\left( x \right)} {\rm{d}}x$，S_T，K= {f∈C[0，T]|f(0) =‖J₀‖_L¹+‖A₀‖_L¹，0≤f(x)≤K }，再定义算子O：S_T，K→S_T，K，由于S_T，K是Banach空间C[0，T]的闭子空间，故也是完备的，因此仍可取范数为C[0，T]的范数，最后定义(Oφ)(t) 为等式(7)右端函数组.

定理 1  假设(H1)-(H6)成立，则存在充分小的T₀满足T>T₀>0，使得问题(1)在[0，T₀]存在唯一解.

证  首先令(Oφ)(t)∈S_T，K. 由于对任意的φ∈S_T，K，有

当T充分小时，总可以使得(Oφ)(t)≤K. 因此O：S_T，K→S_T，K.

注意到(4)-(5)式与(7)式的后两项，得到：

为了简便可记

再证明算子O是压缩映射. 对任意的φ₁，φ₂∈S_T，K. 此时对应有B₁，B₂，则有

注意到

其中β_K=sup_φ∈[0，K]|β′(φ)|，μ_K=sup_φ∈[0，K]|μ′(φ)|. 从而

其中

当T充分小时(即在[0，T₀]内)，可得出O是压缩的，从而存在唯一的不动点φ^*使得Oφ^*=φ^*，此即说明(7)式有唯一解，故而(1)式有唯一解，证毕.

进一步，为了建立问题(1)在[0，T]上的解的存在唯一性，我们先证明φ(t)有上界. 由于

由Gronwall不等式可知

故而由文献[5]中定理3的证明可知问题(1)在[0，T]内有唯一解.

本文中，我们利用不动点定理证明了模型(1)的解的存在唯一性，值得注意的是，我们仅考虑了各种参数依赖于种群总量φ(t)，后续值得进一步研究的问题如下：①可将参数设为依赖大小x，年龄a，时间t来建立模型从而考虑用差分方式来证明解的存在唯一性；②选取适当的函数应用到死亡率、增长率、繁殖率中再通过有限差分法进行数值模拟，清晰刻画种群动力学变化，即种群的持久与灭绝；③现实中，种群所在的环境大多存在污染物，可建立有关模型考虑不同的污染物浓度是怎样影响种群的动力学行为的.