定义1^{[1, 3]}  设L是复数域$\mathbb{C}$上的线性空间, σ：L→L是一个线性映射. 若二元运算L×L→L：$(x, y) \longmapsto[x, y]$是双线性的, 且对任意x, y, z∈L满足：

(a) [x, y]=-[y, x]；

(b) [σ(x), [y, z]]+[σ(y), [z, x]]+[σ(z), [x, y]]=0.

则称三元组(L, [, ], σ)是一个Hom-李代数. (b)称为Hom-Jacobi等式.

若L的子空间N₁满足σ(N₁)⊆N₁, [N₁, N₁]⊆N₁, 则称(N₁, [, ], σ|_N1)是(L, [, ], σ)的Hom-李子代数, 简称子代数. 若L的子空间N₂满足σ(N₂)⊆N₂, [L, N₂]⊆N₂, 则称(N₂, [, ], σ|_N2)是(L, [, ], σ)的理想.

定义2^[4]  设(L₁, [, ]₁, σ₁), (L₂, [, ]₂, σ₂)是两个Hom-李代数, f：L₁→L₂是一个线性映射. 若对任意x, y∈L₁, 都有f([x, y]₁)=[f(x), f(y)]₂和$f \circ \sigma_{1}=\sigma_{2} \circ f$, 则称f是Hom-李代数的同态映射.若f是双射, 则称f是Hom-李代数同构, 而Hom-李代数(L₁, [, ]₁, σ₁), (L₂, [, ]₂, σ₂)是同构的.

设f是Hom-李代数L₁到L₂的同态映射, 则Ker f={x∈L₁|f(x)=0}称为同态f的核, Im f={f(x)|x∈L₁}称为同态f的像.显然, Ker f是L₁的理想, Im f是L₂的子代数.

命题1  设f：(L₁, [, ]₁, σ₁)→(L₂, [, ]₂, σ₂)是Hom-李代数同态, I是L₁的理想, 则f(I)是f(L₁)的理想.

命题1的证明容易得到, 证明过程略.

设R是Hom-李代数L上的等价关系, 若对任意z∈L, k∈$\mathbb{C}$, 由(x, y)∈R可推出(x+z, y+z), (kx, ky), ([x, z], [y, z])∈R, 则称R是L上的一个同余关系.

设I是Hom-李代数L的理想. 在L上定义二元关系R_I={(x, y)|x-y∈I, ∀x, y∈L}. 显然, R_I是一个等价关系, 满足反身性、对称性和传递性.

命题2  R_I是Hom-李代数L上的一个同余关系.

命题2的证明容易得到, 证明过程略.

此时称x, y是同余的, 记为xR_Iy.记R_I(x)表示包含x的R_I同余类, 显然R_I(x)=x+I.

命题3  设I是Hom-李代数L的理想, 对任意x, y∈L, 有：

(ⅰ) R_I(x)+R_I(y)=R_I(x+y)；

(ⅱ) R_I(kx)=kR_I(x), ∀k∈$\mathbb{C}$, k≠0；

(ⅲ) [R_I(x), R_I(y)]⊆R_I([x, y]).

由于I是理想, 也是子空间, 有I+I=I, kI=I(k≠0)和[I, I]⊆I. 再结合R_I(x)=x+I, 命题3容易证明.

定义3  设I是Hom-李代数L的理想, M是L的非空子集. 定义M关于I的下近似为R_I(M)={x∈L|R_I(x)⊆M}, M关于I的上近似为R_I(M)={x∈L|R_I(x)∩M≠∅}.

定理1  设I是Hom-李代数L的理想, M是L的子空间, 则R_I(M)=M+I, R_I(M)=M或R_I(M)=∅.

证  对任意x∈R_I(M), 有R_I(x)∩M≠∅, 即(x+I)∩M≠∅.因此存在y∈I, z∈M, 满足z=x+y, 得到x=z-y∈M+I, 也就是有R_I(M)⊆M+I. 对任意z+y∈M+I(z∈M, y∈I), 有-y∈I, 满足z+y+(-y)∈(z+y+I)∩M, 得到z+y∈R_I(M), 即M+I⊆R_I(M). 因此得到R_I(M)=M+I.

当I⊆M时. 若x∈M, 有R_I(x)=x+I⊆M, 即x∈R_I(M). 若x∈R_I(M), 则x∈R_I(x)⊆M. 因而R_I(M)=M.

当I⊄M时. 此时存在x∈I, x∉M. 若有元素y∈R_I(M), 即有R_I(y)=y+I⊆M, 进而有y+x∈M. 又因y∈R_I(M), 即R_I(y)=y+I⊆M, 得y∈M. 因为M是线性空间, 则有x∈M, 与假设矛盾. 故有R_I(M)=∅.

定义4  设I是Hom-李代数L的理想, M是L的子空间. 如果R_I(M)是L的一个子代数(理想), 则称M是一个下粗子代数(理想)；如果R_I(M)是L的一个子代数(理想), 则称M是一个上粗子代数(理想)；如果M同时是上粗子代数(理想)和下粗子代数(理想), 则称M是一个粗子代数(理想).

定理2  设I是Hom-李代数L的理想, 如果M是L的子代数(理想), 则M是L的一个上粗子代数(理想). 进而, 如果I⊆M, 则M是L的一个粗子代数(理想).

证  由定理1知R_I(M)=M+I. 由于I是理想, M是子代数, 则有

和

因此, R_I(M)是子代数, 即M是L的一个上粗子代数.

如果还有I⊆M, 则对任意的x∈M, 有R_I(x)=x+I⊆M, 即x∈R_I(M). 因而R_I(M)=M是L的一个子代数. 故M是L的一个粗子代数.

对理想的情形类似可证, 过程略.

定理3  设I是Hom-李代数L的理想, 如果M, N是L的下粗子代数(理想), 则M∩N和[M, M]是L的下粗子代数(理想).

证  由M, N是L的下粗子代数和定理1知, R_I(M)=M和R_I(N)=N是子代数, 此时有I⊆M, I⊆N. 进而有I⊆M∩N, 得到R_I(M∩N)=M∩N是子代数, 即M∩N是L的下粗子代数.

同理可证, [M, M]是L的下粗子代数.

对理想的情形类似可证, 过程略.

定理4  设I是Hom-李代数L的理想, 如果M是L的上粗子代数, 则[M, M]是L的上粗子代数.

证  由于M是上粗子代数, 则R_I(M)=M+I是子代数, 进而有[M, M]⊆M+I. 因此得到

和

故R_I[M, M]是L的子代数, 即[M, M]是L的上粗子代数.

定理5  设I是Hom-李代数L的理想, 如果J, M分别是L的上粗理想和上粗子代数, 则J+M是上粗子代数.

证  由于J, M分别是L的上粗理想和上粗子代数, 则R_I(J)=J+I是L的理想, R_I(M)=M+I是L的子代数. 可以得到

因此R_I(J+M)是子代数, 即J+M是上粗子代数.

定理6  设I是Hom-李代数L的理想. 若K, J是L的上粗理想, 则K+J也是L的上粗理想.

由定理1和定义4知定理6易证.

设f：L₁→L₂是Hom-李代数同态, 由命题1, 类似地有R_f(I)是f(L₁)上关于理想f(I)的一个同余关系.

定理7  设f：L₁→L₂是Hom-李代数同态, I是L₁的理想, M是L₁的子空间, 则f(R_I(M))=R_f(I)(f(M)).

证  由定理1知, f(R_I(M))=f(M+I)=f(M)+f(I)=R_f(I)(f(M)).

定理8  设f：L₁→L₂是Hom-李代数单同态, I是L₁的理想, M是L₁的子空间, 则f(R_I(M))=R_f(I)(f(M)).

证  对任意x∈f(R_I(M)), 存在y∈R_I(M), 使得x=f(y), 此时y+I⊆M. 进而有f(y)+f(I)⊆f(M), 得到x=f(y)∈R_f(I)(f(M)). 故f(R_I(M))⊆R_f(I)(f(M)).

对任意x∈R_f(I)(f(M)), 有R_f(I)(x)⊆f(M), 即x+f(I)⊆f(M), 则存在y∈L₁, 使得x=f(y). 进而f(y)+f(I)⊆f(M), 得到f(y+I)⊆f(M). 由于f是单射, 则有y+I⊆M, 即R_I(y)⊆M, 也即是y∈R_I(M). 故x=f(y)∈f(R_I(M)), 即R_f(I)(f(M))⊆f(R_I(M)).

因此f(R_I(M))=R_f(I)(f(M)).

关于Hom-李代数的同态, 同样有粗子代数和粗理想的结论.

定理9  设f：L₁→L₂是Hom-李代数单同态, I是L₁的理想, M是L₁的子空间, 则M是L₁的粗子代数当且仅当f(M)是L₂的粗子代数.

证  必要性  由于M是L₁的粗子代数, 则R_I(M), R_I(M)是L₁的子代数. 首先, R_I(M)是L₁的子代数, 即

进而得到

也就是f(R_I(M))是L₂的子代数. 由定理7知, R_f(I)(f(M))是L₂的子代数. 其次, 由R_I(M)是L₁的子代数, 类似可证R_f(I)(f(M))是L₂的子代数. 故f(M)是L₂的粗子代数.

充分性  由于f(M)是L₂的粗子代数, 则R_f(I)(f(M))和R_f(I)(f(M))是L₂的子代数. 首先, f(R_I(M))=R_f(I)(f(M))是L₂的子代数, 得到

由于f是单同态, 则[R_I(M), R_I(M)] ⊆R_I(M). 又因σ₂(R_f(I)(f(M)))⊆R_f(I)(f(M)), 得到

由于f是单同态, 有σ₁(R_I(M))⊆R_I(M), 进而得到R_I(M)是L₁的子代数. 同样可以证明R_I(M)是L₁的子代数, 故M是L₁的粗子代数.

对于粗理想的情形, 与定理9的证明类似, 有如下结论成立：

定理10  设f：L₁→L₂是Hom-李代数同构, I是L₁的理想, M是L₁的子空间, 则M是L₁的粗理想当且仅当f(M)是L₂的粗理想.

令L={R_I(x)|x∈L}表示Hom-李代数(L, [, ], σ)关于理想I的全体同余类集合. 在L上定义加法、数量乘法和方括号运算分别为

对任意x, y∈L, r∈$\mathbb{C}$, 容易证明上述运算是合理的, 与代表元的选取无关.

在L上定义映射σ(R_I(x))=σ(x+I)=σ(x)+I, 此时σ(R_I(x))=R_I(σ(x)). 容易验证σ是线性映射, 且σ([R_I(x), R_I(y)])=[σ(R_I(x)), σ(R_I(y))].

定理11  设L为Hom-李代数, 则L关于上述加法、数量乘法和方括号运算以及线性映射σ构成Hom-李代数.

证  容易验证L关于加法和数量乘法运算构成线性空间, 零元素为R_I(0). 又因为

故L是一个Hom-李代数.

定理11中的Hom-李代数L称为Hom-李代数L关于同余R_I的商代数, 记为L/R_I, 即L =L/R_I.

设f：L₁→L₂是Hom-李代数同态, 则Ker f是L₁的理想, R_{Ker f}是L₁上的同余关系, 有如下结论成立：

定理12  设f：L₁→L₂是Hom-李代数同态, 则L₁/R_{Ker f}与Im f同构.

证  定义ϕ：L₁/R_{Ker f}→Im f, ϕ(R_{Ker f}(x))=f(x), ∀R_{Ker f}(x)∈L₁/R_{Ker f}.

首先证明ϕ是一个映射. 若R_{Ker f}(x)=R_{Ker f}(y), 有x+Ker f=y+Ker f, 即x-y∈Ker f, 得到f(x)=f(y), 即ϕ是一个映射.

其次证明ϕ是同态. 对任意R_{Ker f}(x), R_{Ker f}(y)∈L₁/R_{Ker f}, 有

同理可证ϕ保持数量乘法和方括号运算.

再次证明$\phi \circ \bar{\sigma}=\sigma_{2} \circ \phi$. 对任意R_{Ker f}(x)∈L₁/R_{Ker f}, 有

由于f是Hom-李代数同态, 满足f∘σ₁=σ₂∘f, 则有

即ϕ∘σ =σ₂∘ϕ成立.

最后证明ϕ是双射. 对任意f(x)∈Im f(这里x∈L₁), 有R_{Ker f}(x)∈L₁/R_{Ker f}, 满足ϕ(R_{Ker f}(x))=f(x), 即ϕ是满射. 对任意R_{Ker f}(x), R_{Ker f}(y)∈L₁/R_{Ker f}, 若f(x)=f(y), 则有f(x-y)=f(x)-f(y)=0, 得到x-y∈Ker f, 进而可以得到R_{Ker f}(x)=R_{Ker f}(y), 即ϕ是单射.

因此, ϕ是L₁/R_{Ker f}到Im f的同构映射, L₁/R_{Ker f}与Im f同构.

定理13  设I为Hom-李代数L的理想, 若M是L的粗子代数, 则R_I(M)/R_I和R_I(M)/R_I是L/R_I的子代数.

证  因为M是L的粗子代数, 则R_I(M), R_I(M)是L的子代数.

对任意R_I(x), R_I(y)∈R_I(M)/R_I, 有

又因为σ(R_I(x))=R_I(σ(x))∈R_I(M)/R_I, 故R_I(M)/R_I是L/R_I的子代数. 同理可证R_I(M)/R_I是L/R_I的子代数.

定理14  设I为Hom-李代数L的理想, 若J是L的粗理想, 则R_I(J)/R_I和R_I(J)/R_I是L/R_I的理想.

与定理13的证明过程类似, 过程略.

由定理14知, R_I(J)/R_I是L/R_I的理想, 记R_I(J)/R_I=I′.

定理15  设I为Hom-李代数L的理想, J是L的上粗理想, 则(L/R_I)/R_I′与L/R_I+J同构.

证  由于J是L的上粗理想, 则R_I(J)=I+J是L的理想, 故R_I+J是L上一个同余.

定义ϕ：L/R_I→L/R_I+J, ϕ(R_I(x))=R_I+J(x), ∀R_I(x)∈L/R_I.

容易验证ϕ是一个满射, 即Im ϕ=L/R_I+J. 设π₁, π₂分别是L到L/R_I, L/R_I+J的映射, 即π₁(x)=R_I(x), π₂(x)=R_I+J(x), 容易证明π₁, π₂是满同态. 对任意x∈L, 有

也就得到ϕπ₁=π₂.

对任意R_I(x)∈R_I(J)/R_I(x∈R_I(J)), 有

即R_I(x)∈Ker ϕ, 得到R_I(J)/R_I⊆Ker ϕ. 由于π₁是满同态, 对任意π₁(x)=R_I(x)∈Ker ϕ, 有R_I+J(x)= π₂(x)=ϕ(π₁(x))=I+J, 即x∈I+J=R_I(J), 得到R_I(x)∈R_I(J)/R_I, 也就是有Ker ϕ⊆R_I(J)/R_I. 因而有Ker ϕ=R_I(J)/R_I=I′.

对任意π₁(x), π₁(y)∈L/R_I(x, y∈L), 有

得到ϕ是一个同态. 由定理12可以得到(L/R_I)/R_I′与L/R_I+J同构.

本文定义了Hom-李代数上基于理想的同余关系, 给出了同余类的表示形式和运算性质, 讨论了Hom-李代数的粗子代数、粗理想和商代数等粗糙代数结构. 把粗糙集的思想应用到代数理论中研究代数上的粗糙集性质, 具有一定的研究意义.