一个特殊矩阵的两类逆问题

雷英杰; 吉雁斐; 郭雪娟

doi:10.13718/j.cnki.xsxb.2021.10.004

摘要: 研究了一个特殊矩阵A的两类逆问题，其中矩阵A是由图为扫帚形的矩阵推广而来的. 问题1利用箭形矩阵和Jacobi矩阵的相关性质，将求解此类矩阵的逆特征值问题转换为求解线性方程组问题，最后得到了该问题有唯一解的充分必要条件. 问题2将该矩阵的每个顺序主子式的最小和最大特征值作为其特征数据，利用矩阵顺序主子式之间的递推关系来解决. 两个问题最后均给出了解的表达式以及数值模拟实例，验证了结果的准确性，推广了箭形矩阵和Jacobi矩阵的逆特征值问题.

Abstract: In this paper, two kinds of inverse problems have been studied of a special matrix A, where the matrix A is generalized from a matrix whose graph is a broom. The first problem is related to the usage of the related properties of the arrow matrix and the Jacobi matrix to convert the problem of solving the inverse eigenvalue of this type of matrix into the problem of solving a system of linear equations, and finally, the sufficient and necessary conditions for the problem to have a unique solution are obtained. The second problem is related to the minimum and maximum eigenvalues of each sequential principal minors of the matrix as its eigen data and we use the recurrence relations among sequential principal minors to solve it. At the end of the two questions, the understood expressions and numerical simulation examples are given to verify the accuracy of the results, and the inverse eigenvalue problems of the arrow matrix and the Jacobi matrix are generalized.

Key words:

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矩阵的特征值问题是求取一个矩阵的特征值和特征向量. 文献[1]对矩阵的特征值、特征向量以及特征对进行了定义. 文献[2]提出了特征值问题的高精度数值算法. 文献[3]定义了矩阵的最小特征值. 从一组规定的特征数据重构特殊结构的矩阵的问题统称为逆特征值问题. 逆特征值问题的难度等级取决于要重构的矩阵的结构以及可用的特征信息的类型. 文献[4]详细描述了各种逆特征值问题. 文献[5]研究了一些特殊类型(如对角矩阵、Jacobi矩阵和箭形矩阵)的逆特征值问题. 文献[6-9]研究了一些由特殊图描述构建的矩阵的逆特征值问题, 特别地, 文献[6-7]研究了图为路的非循环矩阵和图为扫帚的矩阵. 文献[10-13]研究了机械振动、控制理论、极点分配和图论等各种领域中矩阵的逆特征值问题. 文献[10]从力学角度详细阐述了振动中的一些逆特征值问题, 其中弹簧质量系统等振动结构参数识别问题往往可以归结为Jacobi矩阵的逆特征值问题, 星形弹簧质量系统的振动问题则归结为箭形矩阵的逆特征值问题. 文献[14-16]分别研究了箭形矩阵、Jacobi矩阵以及由箭形矩阵和Jacobi矩阵构成的特殊矩阵的逆特征值问题.

2. 预备知识

现作如下约定：

引理1  对给定的具有形如(1)式的矩阵A, 其特征多项式序列{P_j(λ)=det(λI_j-A_j)}_j=1^m+n满足下列递推关系：

其中, P₀(λ)=1, b₀=0.

引理2^[16]  若a_i(i=2, …, m)互不相同, A_j(j=1, 2, …, m)的特征值为λ₁^(j)≤λ₂^(j)≤…≤λ_j^(j), 则λ_i^(j)(i=1, 2, …, j)为互不相同的实数, 且λ₁^(j) < a₂ < λ₂^(j) < … < λ_j-1^(j) < a_j < λ_j^(j).

引理3^[16]  若a_i(i=2, 3, …, m)互不相同, 则相邻的两个特征多项式P_j-1(λ), P_j(λ)(j=1, 2, …, n)不能同时为0.

引理4^[16]  设A_j-1的特征值为λ₁^(j-1), λ₂^(j-1), …, λ_j-1^(j-1), A_j的特征值为λ₁^(j), λ₂^(j), …, λ_j^(j), 则λ₁^(j) < λ₁^(j-1) < λ₂^(j) < λ₂^(j-1) < … < λ_j-1^(j) < λ_j-1^(j-1) < λ_j^(j), 即A_j-1的特征值与A_j的特征值是严格隔离的.

引理5^[6]  对j=1, 2, …, m+n, 若λ₁^(j), λ_j^(j)分别为A_j的最小、最大特征值, 则：

(ⅰ) 若μ < λ₁^(j), 则(-1)^jP_j(μ)>0；

(ⅱ) 若μ>λ_j^(j), 则P_j(μ)>0.

3. 主要结果

3.1. 问题1有唯一解的充分必要条件

定理1  问题1有唯一解的充分必要条件是：

(ⅰ) $\begin{cases}E_{i} \neq 0 & i=2, \cdots, m-1 \\ M_{i} \neq 0 & i=m+2, \cdots, m+n; \\ \omega \neq 0\end{cases}$

(ⅱ) $\left\{\begin{array}{l}\left(\lambda_{1}-\mu\right) \sum\limits_{i=1}^{m} x_{i} y_{i}+b_{m} x_{m} y_{m+1}=0 \\ \left(\lambda_{2}-\mu\right) \sum\limits_{i=m+1}^{m+n-1} x_{i+1} y_{i+1}+b_{m-1} x_{m} y_{1}=0\end{array} \right.$;

(ⅲ) $b_{m}=\frac{\left[-\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right) x_{m} y_{1}+\left(\mu-\lambda_{2}\right) x_{1} y_{m}\right] x_{m}}{\omega}>0$.

证  充分性  因为(λ₁, x₁), (λ₂, x₂), (μ, y)分别是A_{1, m}, A_{m, m+n}和A的特征对, 所以有

当i=2, …, m-1时, 由A_{1, m}x₁=λ₁x₁, Ay=μy得线性方程组

由条件(ⅰ)E_i≠0(i=2, …, m-1)知a_i, b_i-1有唯一解：

下证(5)式中a_i的两个表达式等价. 由b_i-1的表达式得

所以(5)式中a_i的两个表达式等价得证.

当i=m时, 由A_{1, m}x₁=λ₁x₁, Ay=μy, A_{m, m+n}x₂=λ₂x₂解得

其中ω=x₁x_my_m+1-x₁x_m+1y_m+x_my_m+1y₁且ω≠0.

当i=1时, 由A_{1, m}x₁=λ₁x₁, Ay=μy解得

下证a₁的两个表达式等价. 利用条件(ⅱ)中(λ₁-μ)$\sum\limits_{i=1}^{m}$x_iy_i+b_mx_my_m+1=0得

即λ₁x₁y₁$\sum\limits_{i=1}^{m-1}$b_ix_i+1y₁=μy₁x₁-$\sum\limits_{i=1}^{m-1}$b_iy_i+1x₁, 两边同时除以x₁y₁, 得证a₁的两个表达式等价.

当i=m+2, …, m+n时, 由A_{m, m+n}x₂=λ₂x₂, Ay=μy解得

其中M_i≠0. 此处a_i的两个表达式等价证明同(5)式.

当i=m+1时, 由A_{m, m+n}x₂=λ₂x₂, Ay=μy解得

下证a_m+1的两个表达式等价. 利用条件(ⅱ)中(λ₂-μ)$\sum\limits_{i=m+1}^{m+n-1}$x_i+1y_i+1+b_m-1x_my₁=0得

则有

即λ₂x_m+1-b_mx_m-$\sum\limits_{i=m+1}^{m+n-1}$b_ix_i+1=μy_m+1-b_my_m-$\sum\limits_{i=m+1}^{m+n-1}$b_iy_i+1, 两边同时除以x_m+1y_m+1, a_m+1, 表达式等价得证.

由条件(ⅰ)和(ⅱ)可知, a_i, b_i-1是问题1的唯一解, 且给出解的表达式(5), (6), (7), (8), (9), 充分性得证.

必要性  若问题1有唯一解, 则线性方程组(4)有唯一解, 则可推出条件(ⅰ)成立. 又因矩阵A的顺序主子式A_{m, m+2}为Jacobi矩阵, 若问题1有解, 则条件(ⅲ)成立. 下证条件(ⅱ)成立.

若问题1有解, 则要满足A_{1, m}x₁=λ₁x₁, Ay=μy, 通过计算得(λ₁-μ)$\sum\limits_{i=1}^{m}$x_iy_i=-b_mx_my_m+1, 条件(ⅱ)中(λ₁-μ)$\sum\limits_{i=1}^{m}$x_iy_i+b_mx_my_m+1=0得证.

若问题1有解还需同时满足A_{m, n}x₂=λ₂x₂, Ay=μy, 同理可证条件(ⅱ)中(λ₂-μ)$\sum\limits_{i=m+1}^{m+n-1}$x_i+1y_i+1+b_m-1x_my₁=0.因此必要性得证.

3.2. 问题2有唯一解的充分必要条件

定理2  给定2n+2m-1个实数λ₁^(j)(j=1, 2, …, m+n)和λ_j^(j)(j=2, …, m+n), 存在唯一的A, 使得λ₁^(j)和λ_j^(j)分别为A_j(j=1, …, m+n)的最小、最大特征值的充分必要条件为：

证  充分性  每个对角元素a_i也是A的1×1主子矩阵, 因此λ₁^(j)≤a_i≤λ_j^(j)(1≤i≤j), 所以λ₁^(j)和λ_j^(j)分别是A_j的最小、最大特征值, 则问题2有解等价于求解P_j(λ₁^(j))=0, P_j(λ_j^(j))=0, 存在解a_j, b_j-1², 且b_j-1²>0(j=1, 2, …, m+n). 下面用引理1的递推关系解决该问题.

当j=1时, P₁(λ₁⁽¹⁾)=0, 即λ₁⁽¹⁾-a₁=0, 则有a₁=λ₁⁽¹⁾.

当j=2时, 由P₂(λ₁⁽²⁾)=0, P₂(λ₂⁽²⁾)=0得

令D₂表示此方程组中a₂和b₁²的系数矩阵的行列式, 则D₂=P₁(λ₁⁽²⁾)-P₁(λ₂⁽²⁾), 因此得

当j=3, …, m时, 由P_j(λ₁^(j))=0, P_j(λ_j^(j))=0得a_j和b_j-1²的线性方程组为

D_j=P_j-1(λ₁^(j))$\prod\limits_{i=2}^{j-1}$(λ_j^(j)-a_i)-P_j-1(λ_j^(j))$\prod\limits_{i=2}^{j-1}$(λ₁^(j)-a_i), 由引理5知(-1)^j-1P_j-1(λ₁^(j))>0, P_j-1(λ_j^(j))>0.

由引理2知$\prod\limits_{i=2}^{j-1}$(λ_j^(j)-a_i)>0, (-1)^j-2$\prod\limits_{i=2}^{j-1}$(λ₁^(j)-a_i)>0, 故(-1)^j-1D_j>0, 则方程(11)存在唯一解a_j, b_j-1², 且

当j=m+1和j=m+2时, 由P_j(λ₁^(j))=0, P_j(λ_j^(j))=0得a_j和b_j-1²的线性方程组为

m_j=P_j-1(λ₁^(j))P_j-2(λ_j^(j))-P_j-1(λ_j^(j))P_j-2(λ₁^(j)), 由引理5得(-1)^j-1m_j>0, 则方程(13)存在唯一解a_j, b_j-1², 且

当j=3, …, n时, λ₁^m+j和λ_m+j^m+j分别为A_m+j的最小、最大特征值, 则P_m+j(λ₁^m+j)=0, P_m+j(λ_m+j^m+j)=0, 即

由柯西交错定理得

因此$\prod\limits_{i=2}^{j-1}$(λ_m+j^(m+j)-a_m+i)≥0且(-1)^j-1$\prod\limits_{i=2}^{j-1}$(λ₁^(m+j)-a_m+i)≥0, 则

由引理5得(-1)^m+j-1D_m+j≥0(j=3, …, n), 因此若使D_m+j=0, 则有(-1)^m+j-1D_m+j=0, 即

下面对(17)式进行讨论. 若P_m(λ₁^(m+j))=0, 因为λ₁^(m+j)≤λ₁^(m+j-1)≤…≤λ₁^(m), 且λ₁^(m)是P_m=0时的最小特征值, 所以λ₁^(m+j)=λ₁^(m+j-1)=…=λ₁^(m), 则P_m(λ₁^(m+j))=P_m-1(λ₁^(m+j))=0, 这与引理3矛盾, 所以P_m(λ₁^(m+j))≠0, 同理可证P_m(λ_m+j^(m+j))≠0.

若$\left\{\begin{array}{l}P_{m+j-1}\left(\lambda_{1}^{(m+j)}\right)=0 \\ P_{m+j-1}\left(\lambda_{m+j}^{(m+j)}\right)=0\end{array}\right.$, 则由b_n+j-1≠0和(15)式得$\prod\limits_{i=2}^{j-1}$(λ₁^(m+j)-a_m+i)=0, $\prod\limits_{i=2}^{j-1}$(λ_m+j^(m+j)-a_m+i)=0, 即a_m+i=λ₁^(m+j), a_m+i=λ_m+j^(m+j)(i=2, 3, …, n). 而由(16)式得λ₁^(m+j)=λ₁^(m+j-1)=…=λ₁^(m+1), λ_m+1^(m+1)=λ_m+2^(m+2)=…=λ_m+j^(m+j), 因此有P_m+3(λ₁^(m+3))=0且P_m+2(λ₁^(m+2))=0, 则有P_m+3(λ₁^(m+j))=0且P_m+2(λ₁^(m+j))=0. 由引理1得P_m+3(λ₁^(m+j))=(λ₁^(m+j)-a_m+3)P_m+2(λ₁^(m+j))-b_m+2²P_m(λ₁^(m+j))(λ₁^(m+j)-a_m+2). 由P_m+3(λ₁^(m+j))=0且P_m+2(λ₁^(m+j))=0得λ₁^(m+j)=a_m+2. 同理可得λ_m+j^(m+j)=a_m+2. 而λ₁^(m+j)≤a_m+2≤λ_m+j^(m+j), 所以有λ₁^(m+j)=λ_m+j^(m+j). 由引理4可知λ₁^(m+j)=λ_m+j^(m+j)不成立, 因此$\left\{\begin{array}{l}P_{m+j-1}\left(\lambda_{1}^{(m+j)}\right)=0 \\ P_{m+j-1}\left(\lambda_{m+j}^{(m+j)}\right)=0\end{array}\right.$不成立. 同理, $\prod\limits_{i=2}^{j-1}$(λ₁^(m+j)-a_m+i)=0且$\prod\limits_{i=2}^{j-1}$(λ_m+j^(m+j)-a_m+i)=0也不成立.

若$\left\{\begin{array}{l}P_{m+j-1}\left(\lambda_{1}^{(m+j)}\right)=0 \\ \prod\limits_{i=2}^{j-1}\left(\lambda_{1}^{(m+j)}-a_{m+i}\right)=0\end{array}\right.$, 则(15)式的系统增广矩阵的秩为1, 因此该系统将有无穷多个解. 同理, 若$\left\{\begin{array}{l}P_{m+j-1}\left(\lambda_{m+j}^{(m+j)}\right)=0 \\ \prod\limits_{i=2}^{j-1}\left(\lambda_{m+j}^{(m+j)}-a_{m+i}\right)=0\end{array}\right.$, 该系统也会有无穷多个解. 然而, 若加上附加条件λ₁^(m+j) < λ₁^(m+j-1)和λ_m+j-1^(m+j-1) < λ_m+j^(m+j)(j=3, …, n), 则有P_m+j-1(λ₁^(m+j))≠0和P_m+j-1(λ_m+j^(m+j))≠0, 与$\left\{\begin{array}{l}P_{m+j-1}\left(\lambda_{1}^{(m+j)}\right)=0 \\ \prod\limits_{i=2}^{j-1}\left(\lambda_{1}^{(m+j)}-a_{m+i}\right)=0\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}P_{m+j-1}\left(\lambda_{m+j}^{(m+j)}\right)=0 \\ \prod\limits_{i=2}^{j-1}\left(\lambda_{m+j}^{(m+j)}-a_{m+i}\right)=0\end{array}\right.$不符, 因此$\left\{\begin{array}{l}P_{m+j-1}\left(\lambda_{1}^{(m+j)}\right)=0 \\ \prod\limits_{i=2}^{j-1}\left(\lambda_{1}^{(m+j)}-a_{m+i}\right)=0\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}P_{m+j-1}\left(\lambda_{m+j}^{(m+j)}\right)=0 \\ \prod\limits_{i=2}^{j-1}\left(\lambda_{m+j}^{(m+j)}-a_{m+i}\right)=0\end{array}\right.$不成立.

综上所述, D_m+j≠0当且仅当λ₁^(m+j) < … < λ₁^(m+1) < a_m+i < λ_m+1^(m+1) < … < λ_m+j^(m+j), 即(-1)^m+j-1D_m+j>0, 则方程组(15)存在唯一解a_m+j, b_m+j-1²(j=3, …, n), 且

必要性  假定存在唯一的m+n阶矩阵A使得λ₁^(j), λ_j^(j)分别为A_j(j=1, 2, …, m+n)的最小、最大特征值, 由柯西交错定理和引理4得λ₁^(m+n) < λ₁^(m+n-1) < … < λ₁⁽²⁾ < λ₁⁽¹⁾<λ₂⁽²⁾ < … < λ_m+n-1^(m+n-1) < λ_m+n^(m+n). 必要性得证.

4. 数值算法

问题1的算法

1. 输入λ₁, λ₂, μ, x₁, x₂, y, 以及m, n；

2. 若λ₁, λ₂, μ, x₁, x₂, y满足条件(ⅰ)和(ⅱ), 则继续；否则算法结束；

3. 当i=2, …, m-1时, 由(5)式计算a_i, b_i-1；

4. 当i=m时, 由(6)式计算b_m-1, b_m, a_m；

5. 当i=1时, 由(7)式计算a₁；

6. 当i=m+2, …, m+n时, 由(8)式计算a_i, b_i-1；

7. 当i=m+1时, 由(9)式计算a_m+1；

8. 输出：矩阵A, a_i, b_i-1.

问题2的算法

1. 输入m, n, 将2m+2n-1个特征值按大小顺序排列；

2. 令a₁=λ₁⁽¹⁾, 当j=2时, 由(10)式计算a₂和b₁；

3. 当j=3, …, m时, 由(12)式计算a_j和b_j-1；

4. 当j=m+1, m+2时, 由(14)式计算a_j和b_j-1；

5. 当j=3, …, n时, 由(18)式计算a_m+j和b_m+j-1；

6. 输出：矩阵A, a_j, b_j-1.

5. 实例分析

例1 给定实数λ₁=-0.825 7, λ₂=-0.596 0, μ=-0.717 2, m=4, n=3, 给定实向量x₁=(-0.566 7, 0.096 1, -0.390 3, -0.719 3)^T, x₂=(-0.719 3, -2.598 9, -0.455 6, -0.267 6)^T, y=(0.410 9, -0.075 2, 0.308 0, -0.442 6, 0.122 5, 0.656 8, 0.297 2)^T.

根据问题1的算法, 通过MATLAB2017a编程计算a_i, b_i, 形成矩阵A为

易验证(λ₁, x₁)是A_{1, 4}的一个特征对, (λ₂, x₂)是A_{4, 7}的一个特征对, (μ, y)是A的一个特征对, A即为所求.

例2 给定m=4, n=4, 再给出15个实数2.75, 3.9, 4.39, -2.5, 6.1, -4.7, 7.8, -6.64, 10.53, -7.58, 11.8, -8.3, 13, -9.2, 15.7. 将其按以下顺序排列：λ₁⁽⁸⁾ < λ₁⁽⁷⁾ < λ₁⁽⁶⁾ < λ₁⁽⁵⁾ < λ₁⁽⁴⁾ < λ₁⁽³⁾ < λ₁⁽²⁾ < λ₁⁽¹⁾ < λ₂⁽²⁾ < λ₃⁽³⁾ < λ₄⁽⁴⁾ < λ₅⁽⁵⁾ < λ₆⁽⁶⁾ < λ₇⁽⁷⁾ < λ₈⁽⁸⁾, 即-9.2 < -8.3 < -7.58 < -6.64 < -4.7 < -2.5 < 2.75 < 3.9 < 4.39 < 6.1 < 7.8 < 10.53 < 11.8 < 13 < 15.7.

根据问题2的算法, 通过MATLAB2017a编程计算a_j, b_j-1和a_m+j, b_m+j-1, 形成矩阵A₄₊₄为

重新计算A₈的顺序主子阵A_j(j=1, 2, …, 8)的谱Λ(A_j), 得：

以上数据说明问题2的算法是有效的.

参考文献 (16)

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