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本文涉及的群均为有限群. clG(x)表示x在G中的共轭类，N(G)表示群G的所有共轭类类长的集合，li(G)表示群G的第i大共轭类长，特别地，
设n为正整数，p为素数，π(n)表示整除n的所有互异素因子集合，特别地，π(G)=π(|G|). Gp表示群G的某个Sylow p-子群. 给定群G，G的素图Γ(G)定义为：以π(G)作为图的顶点，两顶点x，y∈π(G)有边相连当且仅当存在z∈G使得xy||z|，并记为x~y. 设t(G)是Γ(G)的连通分支的个数，则
若2∈π(G)，则总假设2∈π1. 其他未说明的符号和术语都是标准的(见文献[1]).
有限群的数量刻画一直是有限论研究领域的热点，许多群论研究者都进行过相关的研究. 文献[2]讨论了一类共轭类特殊长度之集对群结构的影响. 文献[3]证明了不存在同阶交换子群个数之集为{1，2}的有限群，并刻画了同阶交换子群个数之集为{1，3} 的群的结构. 文献[4]利用准素数子群的δ-置换性得到超可解群的若干性质.
本文继续研究群的数量性质对群结构的影响，研究的问题与Thompson教授提出的猜想相关：
Thompson猜想 设L是非交换单群，如果群G满足Z(G)=1且N(G)=N(L)，则G≌L.
Thompson猜想指出：有限非交换单群能够被其共轭类长的集合唯一刻画. 陈贵云教授在文献[5-7]中证明了Thompson猜想对所有素图不连通的有限非交换单群成立. 文献[8]减弱了Thompson猜想的条件，用群的阶与某些共轭类长刻画了散在单群和单K3-群. 文献[9]用群的阶以及某些特殊共轭类长刻画了单K4-群. 文献[10-12]用群的阶以及某些特殊共轭类长刻画了Ap，Cn(2)及Sp+1等.
本文继续这一研究，主要结果如下：
定理1 设G是有限群，则G≌O10+(2)当且仅当|G|=|O10+(2)|且l5(G)=l5(O10+(2)).
定理2 设G是有限群，则G≌O10-(2)当且仅当|G|=|O10-(2)|且l1(G)=l1(O10-(2)).
定理1的证明
必要性是显然的，下面只证充分性.
由文献[1]知
因此G存在31阶元x，使得CG(x)=〈x〉. 于是，{31}是群G的一个素图分支，即t(G)≥2.
下面先证明：G既不是Frobenius群又不是2-Frobenius群.
断言：G不是Frobenius群.
否则，设G是以H为核，K为补的Frobenius群. 由文献[13]的引理2.6(1)知t(G)=2.
如果31∈π(H)，则
从而220·35·52·7·17|30，矛盾.
如果31∈π(K)，则
设H7∈Syl7(H)，由H幂零得H7
$ \trianglelefteq $ G，且由文献[14]的定理4.5.3得|Aut(H7)|=6. 则由文献[9]的引理2.12得7~31，矛盾.
再证明：G不是2-Frobenius群.
如果G是2-Frobenius群，则由文献[15]的定理2得t(G)=2. 此时G有一正规群列1
$ \trianglelefteq $ H$ \trianglelefteq $ K$ \trianglelefteq $ G，使得且|G/K|||Aut(K/H)|. 由于t(G)=2，且{31}是群G的一个素图分支，则
从而|G/K||30，且7∈π(H). 设H7∈Syl7(H)，由H幂零得H7
$ \trianglelefteq $ G，且|Aut(H7)|=6. 于是且7~31，矛盾.
因此，G既不是一个Frobenius群，又不是一个2-Frobenius群.
由文献[16]的定理A知，G有一正规群列1
$ \trianglelefteq $ H$ \trianglelefteq $ K$ \trianglelefteq $ G，其中H幂零，K/H为非交换单群，H和G/K为π1-群，|G/K|||Out(K/H)|且G的每个奇阶素图分支也是K/H的奇阶素图分支，即{31}为K/H的一个素图分支. 由文献[1]知K/H只可能同构于L2(31)，L5(2)或O10+(2).若K/H≌L2(31)，L5(2)，则|Out(K/H)|=2. 由|G/K|||Out(K/H)|得17∈π(H). 设H17∈Syl17(H)，则H17
$ \trianglelefteq $ G. 由于由文献[9]的引理2.12得17~31，矛盾.
如果K/H≌O10+(2)，则通过比较阶得G≌O10+(2). 综上所述，定理1得证.
定理2的证明
必要性是显然的，下面只证充分性.
由定理的条件知
因此G中存在17阶元y，使得CG(y)=〈y〉，则{17}是群G的一个素图分支，且t(G)≥2.
断言：G不是Frobenius群.
否则，设G是以H为核，K为补的Frobenius群. 由文献[13]的引理2.6(1)知：
如果17∈π(H)，则
从而220·36·52·7·11|16，矛盾.
如果17∈π(K)，则
且
设H11∈Syl11(H)，由H幂零及文献[14]的定理4.5.3得
于是(17，|Aut(H11)|)=1. 由文献[9]的引理2.12得17~11，矛盾.
再证明：G不是2-Frobenius群.
否则，由G是2-Frobenius群及文献[15]的定理2知t(G)=2. 此时G有一正规群列1
$ \trianglelefteq $ H$ \trianglelefteq $ K$ \trianglelefteq $ G，使得且|G/K|||Aut(K/H)|. 由于t(G)=2，且{17}是群G的一个素图分支，则
从而|G/K||16且11∈π(H). 设H11∈Syl11(H)，由H幂零得H11
$ \trianglelefteq $ G且|Aut(H11)|=10. 进一步，有17~11，矛盾.从而，G既不是Frobenius群，又不是2-Frobenius群.
G有一正规群列1
$ \trianglelefteq $ H$ \trianglelefteq $ K$ \trianglelefteq $ G，其中H幂零，K/H为非交换单群，H和G/K为π1-群，|G/K|||Out(K/H)|，且G的每个奇阶素图分支也是K/H的奇阶素图分支，即{17}为K/H的一个素图分支. 由文献[1]知K/H只可能同构于L2(17)，L2(16)，S4(4)，O8-(2)，L4(4)，S8(2)或O10+(2).断言：K/H
$ \ncong $ L2(17)，L2(16)，S4(4)，O8-(2)，L4(4)，S8(2).否则，由于11∉π(K/H)，且|Out(K/H)|=2n(n≤2)，得11∈π(H). 设H11∈Syl11(H)，则H11
$ \trianglelefteq $ G. 因为所以由文献[9]的引理2.12得17~11，矛盾.
如果K/H≌O10-(2)，则通过比较阶得G≌O10-(2)，从而定理2得证.
A New Characterization of Orthogonal Groups O10±(2)
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摘要: 众所周知, 有限群的共轭类长对群的结构有重要的影响. 该文继续研究了群的共轭类长与群结构之间的关系, 并利用群的阶与群的某特殊共轭类长成功地刻画了两个正交群O10±(2).Abstract: It is well-known that the conjugacy class sizes of a finite group has an important influence on the structure of a group. In this paper, we continue to investigate this topic, and study the relationship between the conjugacy class sizes and the structure of a finite group. In particular, we successfully characterize the two orthogonal groups O10±(2) using their orders and one special conjugacy class sizes.
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Key words:
- orthogonal group /
- order of finite group /
- prime graph /
- conjugacy class size .
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