-
本文所涉及的群均为有限群，所有术语和符号都是标准的(见文献[1]). 通过子群的广义正规性以及同阶子群来研究有限群的结构，一直是群论研究的主要课题之一，并且已有许多结果，如文献[2-11]. 设H为有限群G的一个子群，如果H和G的所有Sylow子群可置换，即对任意G的Sylow子群S有HS=SH，则称H为G的S-拟正规子群[5]. 在此基础上，文献[6]引入了S-拟正规嵌入子群的概念：设H为G的一个子群，如果H的每个Sylow子群都是G的某个S-拟正规子群的Sylow子群，则称H为G的S-拟正规嵌入子群. 文献[6]证明了：如果G的每个Sylow子群的所有极大子群都是G的S-拟正规嵌入子群，则G是超可解群. 随后，文献[7]将该结论推广到了群系. 文献[8]介绍了SS-拟正规子群的定义：设H为G的一个子群，如果存在G的子群B，使得G=HB，且H与B的每个Sylow子群S都可置换，则称H为G的SS-拟正规子群. 作为进一步推广，文献[9]引入了CSS-子群的概念：设H为G的一个子群，如果存在G的正规子群K，使得G=HK，且H∩K是G的SS-拟正规子群，则称H为G的CSS-子群. 通过这个概念，文献[9-11]研究了Sylow子群的所有极大子群以及G的极小子群对群结构的影响. 文献[12]定义了：设d为p-群P的最小生成元个数，
$\mathscr{M} $ d(P)={P1，…，Pd}为P的极大子群的集合，且$\bigcap\limits_{i = 1}^d {{P_i}} = \mathit{\Phi }(P)$ ，其中Φ(P)为P的Frattini子群.本文假设
$\mathscr{M} $ d(P)中的元为G的CSS-子群或者S-拟正规嵌入子群，将研究群G的结构.引理1[6] 设U为群G的S-拟正规嵌入子群，H≤G，K为G的正规子群，则：
(i) 如果U≤H，那么U为H的S-拟正规嵌入子群；
(ii) UK是G的S-拟正规嵌入子群，且UK/K是G/K的S-拟正规嵌入子群.
引理2[9] 设H为群G的CSS-子群，则：
(i) 如果H≤M≤G，那么H为M的CSS-子群；
(ii) 设N
$\trianglelefteq$ G且N≤H，则H是G的CSS-子群当且仅当H/N是G/N的CSS-子群；(iii) 设π为素数集合，N为G的正规π′-子群，如果H为G的π-子群，则HN/N是G/N的CSS-正规子群.
引理3[8] 设p为素数，P为G的一个p-子群. 如果P是G的SS-拟正规子群，则P与G的每个Sylow q-子群可置换，其中q≠p.
引理4[13] 设N为群G的一个正规子群(N≠1). 如果N∩Φ(G)=1，则N的Fitting子群F(N)是G的包含在F(N)里的极小正规子群的直积.
定理1 设p为|G|的素因子，P为G的Sylow p-子群. 如果G为p-可解群，且某固定的
$\mathscr{M} $ d(P)中的每个元是G的CSS-子群或S-拟正规嵌入子群，则G为p-超可解群.证 假设定理1结论不成立，且设G为极小阶反例. 设
我们按下列步骤证明定理1：
步骤1 Op′(G)=1.
假设Op′(G)≠1. 由于POp′(G)/Op′(G)是G/Op′(G)的Sylow p-子群，并且
因此可得
由引理2和引理1知，PiOp′(G)/Op′(G)(i=1，…，d)是G/Op′(G)的CSS-子群或S-拟正规嵌入子群，从而G/Op′(G)满足定理条件. 由G的极小性知G/Op′(G)为p-超可解群，故G为p-超可解群，矛盾.
步骤2 Φ(P)G=1，从而Op(G)为初等交换群.
假设Φ(P)G≠1，则
由引理2和引理1知，Pi/Φ(P)G(i=1，…，d)是G/Φ(P)G的CSS-子群或S-拟正规嵌入子群. 从而G/Φ(P)G满足定理条件，由G的极小性知G/Φ(P)G为p-超可解群. 故G/Φ(G)为p-超可解群，从而G为p-超可解群，矛盾.
步骤3 所有包含在Op(G)中的G的极小正规子群都是p阶循环群.
由步骤1及G为p-可解群知Op(G)>1. 任取G的极小正规子群N且N≤Op(G). 如果N≤Φ(P)，则由步骤2可知N≤Φ(P)=1，矛盾. 所以N
$\nleqslant$ Φ(P). 不妨设N$\nleqslant$ P1∈$\mathscr{M} $ d(P). 令N1=N∩P1，则根据假设，P1为G的CSS-子群或S-拟正规嵌入子群. 我们断言N是p阶循环群.
情形1若P1是G的CSS-子群，则存在G的正规子群K，使得G=P1K，且P1∩K是G的SS-拟正规子群. 由N的极小性知N∩K=1，N.
如果N∩K=1，则NK/K是G/K的极小正规子群. 由于
为p-群，于是N
$ \cong $ NK/K为p阶循环群.如果N∩K=N，即N≤K，则
是K的Sylow p-子群. 令Kq为K的Sylow q-子群，其中q≠p，则Kq也是G的Sylow q-子群. 由引理3知
于是
由步骤2知，N为交换群，故N1
$\trianglelefteq$ N. 因此易知
所以
由N的极小性知N1=1，且N为p阶循环群.
情形2 若P1是G的S-拟正规嵌入子群，则存在G的S-拟正规子群H，使得P1是H的Sylow p-子群. 于是对任一Q∈Sylq(G)，其中q≠p，有HQ=QH，即HQ是G的一个子群. 则
且由步骤2可得N为初等交换群，从而N1
$\trianglelefteq$ N. 于是由N的极小性知N1=1，且N为p阶循环群.
步骤4 极小阶反例不存在.
由步骤1、步骤2及已知可得
如果存在G的极小正规子群N，使得
由步骤2和步骤3可知，N在P中有补. 根据文献[14]的定理17.4，假设N在G中有补M. 又因N≤Φ(G)，故G=NM=M，矛盾. 于是
再由引理4知
其中Ni为G的极小正规子群，且|Ni|=p(i=1，…，r). 由G/CG(Ni)≤Aut(Ni)知，G/CG(Ni)为p-超可解群. 故
为p-超可解群，于是G为p-超可解群，矛盾.
注1 在定理1中，假设“G是p-可解群”是必不可少的. 比如，取G=A5，p=5. 则G的每个Sylow 5-子群的极大子群都是单位元群，显然是G的CSS-子群，也是S-拟正规嵌入子群. 但是G不是5-超可解群.
推论1 设p为|G|的任一素因子，P为G的Sylow p-子群. 如果G为可解群，且某固定的
$\mathscr{M} $ d(P)中的每个元是G的CSS-子群或S-拟正规嵌入子群，则G是超可解群.定理2 设p为|G|的素因子且p为奇素数，P为G的Sylow p-子群. 假设NG(P)是p-幂零群且某固定的
$\mathscr{M} $ d(P)中的每个元是G的CSS-子群或S-拟正规嵌入子群，则G为p-幂零群.证 假设定理2结论不成立，且设G为极小阶反例. 设
我们按下列步骤证明该定理：
步骤1 Op′(G)=1.
证明同定理1.
步骤2 若P≤H < G，则H是p-幂零群.
因为NG(P)是p-幂零群，且NH(P)≤NG(P)，所以NH(P)是p-幂零群. 根据引理2和引理1知，Pi(i=1，…，d)是H的CSS-子群或S-拟正规嵌入子群. 即H满足定理2的条件. 由G的极小性知，H是p-幂零群.
步骤3 G=PQ，其中Q为G的Sylow q-子群，q≠p.
如果对P的所有特征子群T，NG(T)都是p-幂零的. 显然P≤NG(T). 于是
由T
$\trianglelefteq$ NG(T)知所以NG(T)/CG(T)是p-群. 根据文献[15]知G为p-幂零群，矛盾. 故存在P的非平凡特征子群T，使得NG(T)是非p-幂零的. 选取T，使得T的阶足够大. 从而对于任意满足T < K≤P的P的特征子群K，NG(K)都是p-幂零的. 显然T
$\trianglelefteq$ NG(P)，则因为NG(T)是非p-幂零群，则由步骤2可得，NG(T)=G，即T
$\trianglelefteq$ G. 于是对于满足的P的特征子群K，NG(K)都是p-幂零的. 故NG(K)/CG(K)是p-群，从而NG/Op(G)(K/Op(G))/CG/Op(G)(K/Op(G))也是p-群. 再次根据文献[15]可知，G/Op(G)是p-幂零的，从而G是p-可解的. 由文献[16]的定理6.3.5知，对任意q∈π(G)，q≠p，存在G的Sylow q-子群Q，使得PQ≤G. 若PQ < G，则由步骤2知PQ是p-幂零的，于是
又因G为p-可解群且Op′(G)=1，于是
矛盾，故G=PQ.
步骤4 极小阶反例不存在.
由步骤1和步骤3知Op(G)> 1. 设N为G的任一包含在Op(G)里的极小正规子群. 若N≤Φ(P)，则N≤Φ(G). 易证商群G/N满足定理2的条件，则由G的极小性知，G/N为p-幂零群. 从而G为p-幂零群，矛盾. 于是N
$\nleqslant$ Φ(P). 不妨设N$\nleqslant$ P1，即P=NP1. 同定理1可证N为p阶循环群. 所以N在P中有补. 根据文献[14]的定理17.4可知，N在G中有补，即存在M≤G，使得G=N$\rtimes$ M. 显然N$\nleqslant$ Φ(G). 故再由引理4知
其中Ni为G的极小正规子群，且
于是
从而
故P=Op(G)，从而G=NG(P)为p-幂零群，矛盾.
Finite Groups with Some CSS-Subgroups
-
摘要: 设H为有限群G的一个子群，如果存在G的正规子群K，使得G=HK，且H∩K是G的SS-拟正规子群，则称H为G的CSS-子群. 该文研究了有限群G的Sylow子群的部分极大子群为CSS-子群或S-拟正规嵌入子群时群的结构，得到了有限群为p-超可解群及p-幂零群的一些充分条件，推广了已有的结论.Abstract: Let H be a subgroup of a finite group G. H is called a CSS-subgroup of G if there exists a normal subgroup K of G such that G=HK and H∩K is a SS-quasinormal subgroup. In this paper, we investigate the structure of G by supposing that some maximal subgroups of the Sylow subgroups of G are CSS-subgroups or S-quasinormally embedded subgroups, and obtain some sufficient conditions for a finite group to be p-supersolvable or p-nilpotent, generalizing some known results.
-
Key words:
- CSS-subgroups /
- S-quasinormally embedded subgroups /
- p-supersolvable groups /
- p-nilpotent groups .
-
-
[1] ROBINSON D J S. A Course in the Theory of Groups[M]. New York: Springer, 1982. [2] 袁媛, 唐康, 刘建军. S-拟正规嵌入子群与有限群的p-幂零性[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2020, 45(6): 1-4. doi: http://xbgjxt.swu.edu.cn/article/doi/10.13718/j.cnki.xsxb.2020.06.001 [3] 高建玲, 毛月梅. 有限群的δ-置换子群[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2021, 43(10): 105-109. doi: https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-XNND202110014.htm [4] 钱焱, 陈贵云. 同阶交换子群个数之集为{1, 3}的有限群[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2021, 43(10): 100-104. doi: https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-XNND202110013.htm [5] KEGEL O H. Sylow-Gruppen und Subnormalteiler Endlicher Gruppen[J]. Mathematische Zeitschrift, 1962, 78(1): 205-221. doi: 10.1007/BF01195169 [6] BALLESTER-BOLINCHES A, PEDRAZA-AGUILERA M C. Sufficient Conditions for Supersolubility of Finite Groups[J]. Journal of Pure and Applied Algebra, 1998, 127: 113-118. doi: 10.1016/S0022-4049(96)00172-7 [7] ASAAD M, HELIEL A A. On S-Quasinormal Embedded Subgroups of Finite Groups[J]. Journal of Pure and Applied Algebra, 2001, 165(2): 129-135. doi: 10.1016/S0022-4049(00)00183-3 [8] LI S R, SHEN Z C, LIU J J, et al. The Influence of SS-Quasinormality of Some Subgroups on the Structure of Finite Groups[J]. Journal of Algebra, 2008, 319(10): 4275-4287. doi: 10.1016/j.jalgebra.2008.01.030 [9] ZHAO X H, ZHOU L Q, LI S R. On the p-Nilpotence of Finite Groups[J]. Italian Journal of Pure and Applied Mathematics, 2019, 41: 97-103. [10] ZHAO X H, SUI J Z, CHEN R F, et al. On the Supersolvablity of Finite Groups[J]. Bulletin of the Iranian Mathematical Society, 2020, 46(5): 1485-1491. doi: 10.1007/s41980-019-00337-w [11] HELIEL A E, HIJAZI R, AL-SHAMMARI S. Finite Groups with Minimal CSS-Subgroups[J]. European Journal of Pure and Applied Mathematics, 2021, 14(3): 1002-1014. [12] LI S R, HE X L. On Normally Embedded Subgroups of Prime Power Order in Finite Groups[J]. Communications in Algebra, 2008, 36(6): 2333-2340. [13] WANG Y M. Finite Groups with Some Subgroups of Sylow Subgroups c-Supplemented[J]. Journal of Algebra, 2000, 224(2): 467-478. doi: 10.1006/jabr.1999.8079 [14] HUPPERT B. Endliche Gruppen I[M]. Berlin-New York: Springer-Verlag, 1967. [15] THOMPSON J G. Normal p-complements for finite groups[J]. Journal of Algebra, 1964, 1(1): 43-46. doi: 10.1016/0021-8693(64)90006-7 [16] GORENSTEIN D. Finite Groups[M]. New York: Chelsea Publishing Company, 1968. -
计量
- 文章访问数: 676
- HTML全文浏览数: 676
- PDF下载数: 298
- 施引文献: 0
下载: