考虑如下一类超临界增长的Schrödinger-Poisson系统

其中$B \subset \mathbb{R}^{3}$是一个光滑单位球，0 < α < 1，r=|x|.

由Lax-Milgram定理知，对每一个u∈H_0，rad¹(B)，存在ϕ_u使得-Δϕ_u =|u|².故系统(1)的能量泛函为

其中H_0，rad¹(B)是径向函数的一阶Sobolev空间，其范数定义为：$\|u\|^{2}=\int_{B}|\nabla u|^{2} \mathrm{~d} x$.

近年来，很多学者研究了Schrödinger-Poisson系统，其中许多文献研究了其正解的存在性、唯一性和多重性问题^[1-6].文献[7-11]研究了带有临界指数、分数阶和位势的Schrödinger-Poisson系统的正解，文献[12]讨论了超临界Sobolev不等式及相关椭圆方程，在文献[7-12]研究的基础上，本文考虑系统(1)正解存在性问题，主要结果为：

定理1  若0 < α < 1，r=|x|，则存在λ_* >0使得对于任意的λ∈(0，λ_*)，系统(1)至少有一个正解.

在证明定理1之前，需要证明如下引理：

引理1  若存在ρ>0，β>0，则I(u)满足山路结构，即u∈S_ρ时I(u)>β，‖u‖ >ρ时I(u) < 0，其中S_ρ表示球面.

证 对任意u∈H_0，rad¹(B)，u≠0，有

因此存在ρ>0适当小，使得当‖u‖=ρ时，有I(u)>β.此外，

当t→∞时存在e∈H_0，rad¹(B)，当‖e‖ >ρ时I(e) < 0.证毕

引理2  假设$c < \frac{1}{3} S^{\frac{3}{2}}$，则I满足(PS)_c条件.

证 设{u_n}⊂H_0，rad¹(B)满足

由(2)式可知

从而{u_n}在H_0，rad¹(B)有界.因此存在其子列(仍记为{u_n})，根据集中紧性原理^[11]有函数u∈H_0，rad¹(B)使得

其中J至多是一个可数集，δ_xj表示x_j上的一个Dirac质量，现构造一个关于x_j的一个光滑切断函数φ_ε，j使得0≤φ_ε，j(x)≤1，在$B\left(x_{j}, \frac{\varepsilon}{2}\right)$中有φ_ε，j(x)=1，在${{\mathbb{R}}^{3}}\backslash B\left({{x}_{j}}, \varepsilon \right)$中有φ_ε，j(x)=0，$\left|\nabla \varphi_{\varepsilon, j}(x)\right| \leqslant \frac{4}{\varepsilon}$成立，对任意小的ε>0.首先，我们断言：当ε→0时，

同理有$\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{B} \phi_{u_{n}}\left|u_{n}\right|^{2} \varphi_{\varepsilon, j} \mathrm{~d} x=0$成立.

事实上：

又因为$\mu_{j} \geqslant S \eta_{j}^{\frac{1}{3}}$，得$\mu_{j} \geqslant S^{\frac{3}{2}}$.

所以

此与引理假设$c < \frac{1}{3} S^{\frac{3}{2}}$矛盾，故J=Ø，所以I满足(PS)_c条件.证毕.

考虑如下函数

其中ε是一个正常数.我们知道v_ε是问题-Δu=u⁵在${{\mathbb{R}}^{3}}$的一个正解，且有$\int_{ {\mathbb{R}}^{3}}\left|\nabla v_{\varepsilon}\right|^{2} \mathrm{~d} x=\int_{ {\mathbb{R} }^{3}}\left|v_{\varepsilon}\right|^{6} \mathrm{~d} x=S^{\frac{3}{2}}$.令η是一个光滑切断函数η∈C₀^∞(B)使得0≤η(x)≤1.在x=0附近η(x)=1是径向对称的.设|u_ε(x)|=v_ε(x)η(x).根据文献[5]有

引理3  假设0 < α < 1，则有$\sup _{t \geqslant 0} I\left(t u_{\varepsilon}\right) < \frac{1}{3} S^{\frac{3}{2}}$成立.

证  由文献[12]可知，{u_ε}⊂H_0，rad¹(B)满足

注意到$\int_{B} \phi_{u_{\varepsilon}}\left|u_{\varepsilon}\right|^{2} \mathrm{~d} x \leqslant c \varepsilon$，由于当t→0⁺时，I(tu_ε) 0⁺；当t→+∞时，I(tu_ε)→-∞.从而，当ε充分小时有

定理1的证明  由引理1知I满足山路结构，由引理2，3知I满足(PS)_c条件.应用山路引理^[6]，存在子列{u_n}⊂H_0，rad¹(B)使得当n→∞时，I′(u_n)→0且I(u_n)→c>0，其中

由引理2，3知，{u_n}有一个收敛子列(仍记为{u_n})，且存在u_*∈H_0，rad¹(B)使得u_n→u_*.故得到系统(1)的一个函数对解(u_*，ϕ_u*)满足

因此，得到u_*$\not \equiv$0且u_* ∈B，所以利用强极大值原理得u_*>0，故(u_*， ϕ_u*)是系统(1)的一对函数解.证毕.