对于含独立变量τ，ρ，t的非线性方程

其中u是未知函数，L是u及u的关于τ，ρ，t各阶偏导数的多项式.使用扩展试探方程法求解方程(1)的主要步骤如下：

步骤1  通过行波变换将独立变量τ，ρ，t转化为行波变量ξ.

其中ω₁，ω₂，ω₃是非零变量.利用(2)式及适形分数导数的性质，方程(1)可转化为只含行波变量ξ的常微分方程

其中N是含U及U的关于ξ各阶导数的多项式.

步骤2   假设方程(3)的解可表示为 $U(\xi)=\sum\limits_{k=0}^{m} a_{k} Y^{k}(\xi)$和 $U(\xi)=\sum\limits_{k=-m}^{m} a_{k} Y^{k}(\xi)$，其中a_k(k=-m，-m+1，…，-1，0，1，…，m)是待定常数，正整数m由齐次平衡法确定. Y(ξ)满足方程

其中h₀，h₁，h₂，h₃是任意常数.

步骤3   求解方程(4)，得到Y的值.

当h₃=0时，方程(4)有如下解：

Δ=h₁²-4h₂h₀>0时，

Δ=h₁²-4h₂h₀=0时， $Y_{3}=-\frac{1}{h_{2}\left(\xi+\xi_{0}\right)}-\frac{h_{1}}{2 h_{2}}$；

Δ=h₁²-4h₂h₀ < 0时，

当h₀=h₂=0时，方程(4)有如下解：

当h₀=h₁=h₂=0时，方程(4)有如下解：

步骤4   将步骤2中的解U(ξ)代入方程(3)，运用方程(4)来合并Y的相同幂次项，则方程(3)的左端变成一个关于Y的多项式.令该多项式的Y的各阶幂次的系数为0，导出一组关于a_k(k=-m，-m+1，…，-1，0，1，…，m)，h_j(j=0，1，2，3)，ω_l(l=1，2，3)，θ₁，θ₂，θ₃的代数方程组.

步骤5   求解步骤4中建立的代数方程组，将解得的a_k(k=-m，-m+1，…，-1，0，1，…，m)，h_j(j=0，1，2，3)，ω₃，θ₃和方程(4)的通解代入到步骤2的解U(ξ)中，再通过(2)式，即得到方程(1)的解.

空间-时间分数阶(2+1)-维Maccari方程组形式如下：

其中q是复函数，r是实函数，τ，ρ是群速度分量，t是时间分量^[13].

对方程组(5)引入下列行波变换：

则方程组(5)变为

对方程组(6)中的第二个方程积分，并令积分常数为0，则得到

(7) 将方程组(6)中第一个方程的实部与虚部分离，得到

将方程(7)代入到方程(8)，得到

在方程(10)中，利用齐次平衡法，得到3m=m+4，即m=2.

情形1   $Q(\xi)=\sum\limits_{k=0}^{m} a_{k} Y^{k}(\xi)$，Y′=h₀+h₁Y+h₂Y²+h₃Y³.

将Q(ξ)代入方程(10)进行计算，得到一组关于a_k(k=0，1，2)，h_j(j=0，1，2，3)，ω_l(l=1，2，3)，θ₁，θ₂，θ₃的代数方程组

通过解代数方程组(11)，得到相应系数a_k(k=0，1，2)，h_j(j=0，1，2，3)，ω₃，θ₃的值，即可得到方程组(5)的解：

第1组： $a_{0}=\pm h_{1} \quad \sqrt{2 \omega_{1}\left(\omega_{2}-2 \omega_{1} \theta_{1}\right)}$, $a_{2}=\pm 2 h_{3} \quad \sqrt{2 \omega_{1}\left(\omega_{2}-2 \omega_{1} \theta_{1}\right)}$，h₀=h₂=0，a₁=0，ω₃=-2ω₁θ₁，θ₃=-2ω₁²h₁²-θ₁².

或

第2组： $a_{2}=\pm 2 h_{3} \quad \sqrt{2 \omega_{1}\left(\omega_{2}-2 \omega_{1} \theta_{1}\right)}$，h₀=h₁=h₂=0，a₀=a₁=0，ω₃=-2ω₁θ₁，θ₃=-θ₁².

情形2    $Q(\xi)=\sum\limits_{k=-m}^{m} a_{k} Y^{k}(\xi)$，Y′=h₀+h₁Y+h₂Y²+h₃Y³.

将Q(ξ)代入方程(10)进行计算，得到a_k(k=-2，-1，0，1，2)，h_j(j=0，1，2，3)，ω_l(l=1，2，3)，θ₁，θ₂，θ₃应满足如下的方程：

通过求解这些方程，得到相应系数a_k(k=-2，-1，0，1，2)，h_j(j=0，1，2，3)，ω₃，θ₃的值，即可得到方程组(5)的解：

第3组： $a_{-1}=\pm h_{0} \quad \sqrt{2 \omega_{1}\left(\omega_{2}-2 \omega_{1} \theta_{1}\right)}$， $a_{0}=\pm \frac{h_{1} \sqrt{\omega_{1}\left(\omega_{2}-2 \omega_{1} \theta_{1}\right)}}{\sqrt{2}}$，h₃=0，a_-2=a₁=a₂=0，ω₃=-2ω₁θ₁， $\theta_{3}=\frac{1}{2}\left(4 h_{0} h_{2} \omega_{1}^{2}-h_{1}^{2} \omega_{1}^{2}-2 \theta_{1}^{2}\right)$.

或

或

或

或

第4组： $a_{0}=\pm \frac{h_{1} \sqrt{\omega_{1}\left(\omega_{2}-2 \omega_{1} \theta_{1}\right)}}{\sqrt{2}}$， $a_{1}=\pm h_{2} \quad \sqrt{2 \omega_{1}\left(\omega_{2}-2 \omega_{1} \theta_{1}\right)}$，h₃=0，a_-2=a_-1=a₂=0，ω₃=-2ω₁θ₁，$\theta_{3}=\frac{1}{2}\left(4 h_{0} h_{2} \omega_{1}^{2}-h_{1}^{2} \omega_{1}^{2}-2 \theta_{1}^{2}\right)$.

或

或

或

或

第5组： $a_{0}=\pm \frac{\sqrt{-\theta_{1}^{2}\left(\omega_{2}+\omega_{3}\right)}}{\sqrt{\omega_{1}}}$，h₃=0，a_-2=a_-1=a₁=a₂=0，θ₃=0.

空间-时间(2+1)-维Maccari方程组历来受到广泛关注.多线性变量分离法、广义F-展开法、扩展扇形方程法、Kadomtsev-Petviashvili(KP)分级还原法等均被用于空间-时间整数阶(2+1)-维Maccari方程组，获得了周期解、孤子解、双曲函数解、三角函数解等多种形式^{[13, 15-17]}.而随着对空间-时间分数阶(2+1)-维Maccari方程组的研究的推进，e^-φ(η)展开法^[12]、扩展试探方程法^[14]等解法也被使用.由于空间-时间分数阶(2+1)-维Maccari方程组与空间-时间整数阶(2+1)-维Maccari方程组在方程表达式及行波变换形式上的不同，其得到的解集也不同.本文在沿用扩展试探方程法的基础上，对解的形式作出了两种合理改进，并得到试探方程Y′=h₀+h₁Y+h₂Y²+h₃Y³不同的解，使得空间-时间分数阶(2+1)-维Maccari方程组的解更加多样.

本文通过使用扩展试探方程法，经改进后应用于空间-时间分数阶(2+1)-维Maccari方程组，获得了该方程组5组新的精确解.这些通解分为3类，即有理数解、双曲函数解和指数函数解，在光纤学、量子力学、海洋学和光学等科学中具有多种应用.本文拓展了扩展试探方程法的应用，丰富了空间-时间分数阶(2+1)-维Maccari方程组的解系.